2021届高考数学金榜押题卷（二）（新高考版）

2021届高考数学金榜押题卷（二）（新高考版）

【满分：150分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合，则(   )

A. B. C. D.

2.已知i是虚数单位，设复数，其中，则的值为(   )

A. B. C. D.

3.《九章算术》第三章“哀分”中有如下问题：“今有甲持钱四百八十，乙持钱三百，丙持钱二百二十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问乙出几何？”其意为：“今有甲带了480钱，乙带了300钱，丙带了220钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出(   )

A.50 B.32 C.31 D.30

4.已知，则a，b，c的大小关系为(   )

A. B. C. D.

5.已知首项为2的等比数列的前n项和为，若，则(   )

A.0 B.1 C.2 D.3

6.已知直线与曲线相切，则的最小值是(   )
A. B. C. D.

7.如图，正方体中，分别为棱的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是(   )

A. B. C. D.

8.已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知，设所成的角为，则(   )
A. B. C. D.

10.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数，则下列不等式不一定成立的是(   )

A. B. C. D.

11.在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长MF与抛物线相交于点N，则下列结论正确的是(   )

A.抛物线的准线方程为 B.

C.的面积为  D.

12.已知函数，则下列说法正确的有(   )

A.是偶函数

B.是周期函数

C.在区间上，有且只有一个极值点

D.过点作曲线的切线，有且仅有3条

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知，若，则_________.

14.的展开式中的系数为_____________.

15.已知三棱锥中，点A在平面BCD上的射影与点D重合，.若，则三棱锥的外接球的体积为____________.

16.已知双曲线的右焦点为F，左顶点为A，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M.若，则C的离心率为_______________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.

在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，_______________.

（1）求角A；

（2）若的面积为，求的周长.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（12分）已知数列的前n项和，满足，数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足：，且为数列的前n项和，求.

19.（12分）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，分别是棱BC，PC的中点，且.

（1）求证：平面平面FED；

（2）若点P在平面ABCD内的射影H恰为AB的中点，设，求二面角的余弦值.

20.（12分）随着手机游戏的发展，在给社会带来经济利益的同时，也使许多人深陷其中，从而产生一些负面的影响.A，B两所学校为了解学生每天玩游戏的时间，各自抽取了100名学生进行调查，得到的数据如表所示：

A学校

B学校

（1）以样本估计总体，计算A学校学生日游戏时间的平均数以及B学校学生日游戏时间的中位数.

（2）为了调查家长对孩子玩游戏的态度，学校相关领导随机抽取了200名男性家长和200名女性家长进行调查，并将所得结果统计如表所示，判断是否有99.9%的把握认为家长对孩子玩游戏的态度与家长性别有关？

附：，其中.

21.（12分）已知椭圆的离心率，原点到过点的直线的距离是.

（1）求椭圆C的方程；

（2）如果直线交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求实数k的值.

22.（12分）已知函数.

（1）若曲线在处的切线与直线平行，求实数k的值；

（2）若对于任意，且恒成立，求实数k的取值范围.

答案以及解析

一、单项选择题

1.答案：A

解析：，即，解得，所以，所以，故选A.

2.答案：D

解析：因为，所以，所以.故选D.

3.答案：D

解析：根据分层抽样原理，抽样比例为，所以乙应交关税为钱.故选D.

4.答案：C

解析：，所以a，b，c的大小关系为，故选C.

5.答案：C

解析：设等比数列的公比为.因为，所以，解得，所以.故选C.

6.答案：A

解析：由得，则单调递减，故直线与曲线只有一个切点，设切点为，则曲线在点P处的切线方程为，即，所以，则，设，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，为，即的最小值为.

7.答案：A

解析：如图，取的中点N，连接EN，FN，AN，由E，N分别为，的中点，则且，在正方体中且，所以且，所以四边形ANED为平行四边形，所以，则(或其补角)为异面直线DE与AF所成角.设正方体的棱长为2，则在中，，所以故选A.
 

8.答案：D

解析：由，可得，函数在区间上恰有3个零点，等价于函数在区间上恰有3个零点，故，解得.故选D.

二、多项选择题

9.答案：ABD

解析：因为所成的角为，故选项C错误；由题意得，所以，故选项A正确；，故选项B，D正确.故选ABD.

10.答案：ACD

解析：对于选项A：当时，满足，此时，故A不一定成立；对于选项B：因为，所以，即，所以一定成立，故B一定成立；对于选项C：当时，满足，此时，故C不一定成立；对于选项D：当时，满足，此时，故D不一定成立.故选ACD.

11.答案：AD

解析：点在抛物线上，
，焦点为，
准线为，A正确，因为，故，故直线MF为：，
联立或，B错误；，D正确；
的面积为，故C错误.故选AD.
 

12.答案：ACD

解析：对于选项A：因为函数的定义域为R，显然，所以函数是偶函数，故A正确.

对于选项B：若是周期函数，则存在非零常数T，使得，令，则，因为，所以，则且.则且，故不存在非零常数T，使得，故B错误.

对于选项C：，令，则.当时，，故单调递减.又，故在上有且仅有一个解，故有且只有一个极值点，故C正确.

对于选项D：设切点的坐标为，则切线方程为，将代入，得，解得或.若，则切线方程为；若，则切线方程为，故D正确.

故选ACD.

三、填空题

13.答案：.

解析：由题可知，即.

14.答案：112

解析：的展开式的通项，令，解得，故所求系数为.

15.答案：

解析：如图，设的外接圆圆心为，半径为r，三棱锥的外接球球心为O，半径为R，则平面BCD，故.在中，由正弦定理得，故，则.故球O的体积.

16.答案：

解析：如图所示，双曲线的右焦点，左顶点.由双曲线的对称性不妨取渐近线方程为，则过点且与直线垂直的直线FM的方程为.联立解得，即.作于点N，在中，由，可得，整理得，所以，整理得，即，解得或（舍去），故双曲线C的离心率为.

四、解答题

17.答案：（1）选择①：因为，

所以由正弦定理可得，

即，

则由余弦定理可得，

所以.

因为，所以，即.

因为，所以.

选择②：由，

得，

即，

由正弦定理得.

由余弦定理得.

因为，所以.

选择③：由，结合正弦定理得

.

因为，所以，

则，

所以.

因为，所以，故.

因为，所以.

（2）由（1）知.

因为，所以.

由余弦定理得，，

即，所以，

所以的周长为.

18.答案：(1)，①
当时，，解得；
当时，②
①-②，得，即，
数列是首项为1，公比为2的等比数列，
从而.
.
(2)由（1）得，
①
，②
①-②，得

.
.

19.答案：（1）是BC的中点，.

，

四边形ABED是平行四边形，.

又平面平面平面PAB.

分别是棱BC，PC的中点，.

又平面平面平面PAB.

是平面FED内两条相交直线，

平面平面FED.

（2）连接HE，AE，AC.

点P在平面ABCD内的射影H恰为AB的中点，

平面ABCD，

.

由是BC的中点，，

得，

，则.

故以H为坐标原点，HB，HE，HP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则.

设平面CEF的法向量，

，

即令，得.

平面平面平面EFD的一个法向量为.

由图可知二面角的平面角为锐角，

设二面角的平面角为，

则，

二面角的余弦值为.

20.答案：（1）A学校学生日游戏时间的平均数为（min）.

B学校学生日游戏时间的中位数为（ min）.

（2）由已知可得2×2列联表：

则，

所以没有99.9%的把握认为家长对孩子玩游戏的态度与家长性别有关.

21.答案：（1）因为，所以.

原点到直线的距离，

解得.

故椭圆C的方程为.

（2）由题意联立消去y整理得

，可知.

设的中点，

则.

因为E，F都在以B为圆心的圆上，且，

所以，

所以，即，即.

又因为，所以，解得.

经检验，满足题意.

22.答案：（1）由题意得，

又曲线在处的切线与直线平行，

所以，解得.

（2）因为，

所以.

记，

因为，且，

所以在上单调递增.

所以在上恒成立且等号不恒成立，

即在上恒成立且等号不恒成立.

记，则.

令，解得（舍去）

当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以在上，当时，取得最小值，

，

所以，故实数k的取值范围为.