2021年湖南省衡阳市中考数学全真模拟试卷（一）

这是一份2021年湖南省衡阳市中考数学全真模拟试卷（一），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省衡阳市中考数学全真模拟试卷（一）
一、选择题（每小题3分，共36分．每小题只有一个正确答案．）
1．（3分）出水浮萍的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076g，将数0.000000076用科学记数法表示为（　　）
A．0.76×10﹣7 B．7.6×10﹣7 C． 7.6×10﹣8 D．76×10﹣10
2．（3分）体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（　　）
A．平行线间的距离相等 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
3．（3分）如图是一个三视图，则此三视图所对应的直观图是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）下列运算一定正确的是（　　）
A．a+a＝a2 B．a2•a3＝a6
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（2a2）3＝6a6
5．（3分）下列说法中，错误的是（　　）
A．菱形的对角线互相垂直
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．矩形的四个内角都相等
D．四个内角都相等的四边形是矩形
6．（3分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类
②去图书馆收集学生借阅图书的记录
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是（　　）
A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．②→④→③→①
7．（3分）小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
8．（3分）下列各式从左到右的变形一定正确的是（　　）
A．＝ B．＝x﹣y
C．＝ D．＝
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，若AB＝8，∠P＝30°，则AC＝（　　）


A．4 B．4 C．4 D．3
10．（3分）疫情复课之前，某校七年级（1）班购置了一批防疫物资，其中有10支水银温度计，若干支额温枪．水银温度计每支5元，额温枪每支230元，如果总费用超过1000元，那么额温枪至少有（　　）
A．3支 B．4支 C．5支 D．6支
11．（3分）如图，直线AB与反比例函数y＝（k＞0）交于点A（m，4），B（﹣4，n），与x轴，y轴交于点C，D，连接OA，OB，若tan∠AOD+tan∠BOC＝3，则k＝（　　）

A．24 B．20 C．16 D．12
12．（3分）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，BE＜BC，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）若ab＝3，a﹣b＝1，则代数式a2b﹣ab2的值等于　 　．
14．（3分）为最大程度减少因疫情延迟开学带来的影响，实现“离校不离教、停课不停学”，我市全面开展了形式多样的“线上教学”活动．为了解教学效果，某校对“线上教学”的满意度进行了抽样调查，将抽样调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息，计算表示“非常满意”和“满意”的总人数为　 　．

15．（3分）如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则∠AFE＝　 　度．

16．（3分）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是　 　．
17．（3分）若一个圆锥的母线长是它底面半径的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是　 　．
18．（3分）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则An的坐标为　 　．

三、解答题（共66分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3+．
21．（8分）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．
（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．

22．（8分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”．如10＝3+7．
（1）从7，11，13，17这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是13的概率是　 　；
（2）从7，13，23，29这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于36的概率．
23．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+6＝p（p+1）．
（1）请判断该方程实数根的情况；
（2）若原方程的两实数根为x1，x2，且满足x12+x22＝3p2+5，求p的值．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作DE⊥AC交AC延长线于点E，交AB延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若DE＝，tan∠BDF＝，求DF的长．

25．（10分）如图，已知点A（1，2）、B（5，n）（n＞0），点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”
（1）当n＝1时．
①求线段AB所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．

26．（12分）如图，正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，△MBE为等边三角形，过点E作ME的垂线分别与边AD、BC相交于点F、G，点P、Q分别在线段EF、BC上运动，且满足∠PMQ＝60°，连接PQ．
（1）求证：△MEP≌△MBQ；
（2）当点Q在线段GC上时，试判断PF+GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由；
（3）设∠QMB＝α，点B关于QM的对称点为B′，若点B′落在△MPQ的内部，试写出α的范围，并说明理由．


2021年湖南省衡阳市中考数学全真模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分．每小题只有一个正确答案．）
1．（3分）出水浮萍的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076g，将数0.000000076用科学记数法表示为（　　）
A．0.76×10﹣7 B．7.6×10﹣7 C． 7.6×10﹣8 D．76×10﹣10
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000076＝7.6×10﹣8 ．
故选：C．
2．（3分）体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（　　）
A．平行线间的距离相等 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【分析】此题为数学知识的应用，由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选：C．
3．（3分）如图是一个三视图，则此三视图所对应的直观图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由三视图判断几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
【解答】解：由图可得，此三视图所对应的直观图是．
故选：B．
4．（3分）下列运算一定正确的是（　　）
A．a+a＝a2 B．a2•a3＝a6
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（2a2）3＝6a6
【分析】分别按照合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、平方差公式及积的乘方的运算法则计算分析即可．
【解答】解：A、a+a＝2a，故A错误；
B、a2•a3＝a5，故B错误；
C、按照平方差公式可知，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故C正确；
D、（2a2）3＝23×（a2）3＝8a6，故D错误．
故选：C．
5．（3分）下列说法中，错误的是（　　）
A．菱形的对角线互相垂直
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．矩形的四个内角都相等
D．四个内角都相等的四边形是矩形
【分析】根据菱形的判定与性质以及矩形的判定与性质分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A、∵菱形的对角线互相垂直，
∴选项A不符合题意；
B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵矩形的四个角都是直角，
∴矩形的四个内角都相等，
∴选项C不符合题意；
D、∵四个内角都相等的四边形是四个角都是直角，
∴四个内角都相等的四边形是矩形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
6．（3分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类
②去图书馆收集学生借阅图书的记录
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是（　　）
A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．②→④→③→①
【分析】根据题意和频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，
故选：D．
7．（3分）小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】直接利用用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本，得出等式求出答案．
【解答】解：设软面笔记本每本售价为x元，
根据题意可列出的方程为：＝．
故选：A．
8．（3分）下列各式从左到右的变形一定正确的是（　　）
A．＝ B．＝x﹣y
C．＝ D．＝
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：A、该式左到右的变形不符合分式的基本性质，原变形错误，故本选项不符合题意；
B、分子、分母约分时出现错误，正确的是原式＝x+y，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、该式左到右的变形不符合分式的基本性质，原变形错误，故本选项不符合题意；
D、该式左到右的变形正确，原变形正确，故本选项符合题意．
故选：D．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，若AB＝8，∠P＝30°，则AC＝（　　）


A．4 B．4 C．4 D．3
【分析】先根据切线的性质得∠OAP＝90°，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到AP＝OA＝4，接着计算出∠C＝30°，从而得到AC＝AP＝4．
【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，
∴∠AOP＝60°，AP＝OA＝4，
∵∠AOP＝∠C+∠OAC＝60°，
而∠C＝∠OAC，
∴∠C＝30°，
∴AC＝AP＝4．
故选：A．

10．（3分）疫情复课之前，某校七年级（1）班购置了一批防疫物资，其中有10支水银温度计，若干支额温枪．水银温度计每支5元，额温枪每支230元，如果总费用超过1000元，那么额温枪至少有（　　）
A．3支 B．4支 C．5支 D．6支
【分析】设购进额温枪x支，根据总价＝单价×数量结合总费用超过1000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中最小的整数值即可得出结论．
【解答】解：设购进额温枪x支，
依题意，得：5×10+230x＞1000，
解得：x＞4．
又∵x为正整数，
∴x的最小值为5．
故选：C．
11．（3分）如图，直线AB与反比例函数y＝（k＞0）交于点A（m，4），B（﹣4，n），与x轴，y轴交于点C，D，连接OA，OB，若tan∠AOD+tan∠BOC＝3，则k＝（　　）

A．24 B．20 C．16 D．12
【分析】在Rt△AOE中，tan∠AOE＝＝，在Rt△BOF中，tan∠BOF＝＝﹣，而tan∠AOD+tan∠BOC＝3，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，

在Rt△AOE中，tan∠AOE＝＝，
在Rt△BOF中，tan∠BOF＝＝﹣，
而tan∠AOD+tan∠BOC＝3，
所以+＝3①，
而根据点的对称性：m+n＝0②，
联立①②并解得：m＝6，n＝﹣6，
则A（6，4），B（﹣4，﹣6），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4×6＝24，
故选：A．
12．（3分）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，BE＜BC，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
【分析】过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH＝AB＝6，由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，则AD＝12，可得出答案．
【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC于H，

由三角形面积公式得：y＝＝30，
解得EH＝AB＝6，
∴AE＝＝＝8，
由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，

∴AD＝AE+DE＝8+4＝12，
∴矩形的面积为12×6＝72．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）若ab＝3，a﹣b＝1，则代数式a2b﹣ab2的值等于　3　．
【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式，再把已知代入即可．
【解答】解：a2b﹣ab2＝ab（a﹣b），
把ab＝3，a﹣b＝1代入上式得：
原式＝3×1＝3．
故答案为：3．
14．（3分）为最大程度减少因疫情延迟开学带来的影响，实现“离校不离教、停课不停学”，我市全面开展了形式多样的“线上教学”活动．为了解教学效果，某校对“线上教学”的满意度进行了抽样调查，将抽样调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息，计算表示“非常满意”和“满意”的总人数为　70　．

【分析】由两个统计图可知，“满意、不满意、较差”的人数为40+50+10＝100人，占调查人数的1﹣15%﹣35%＝50%，可求出调查人数，进而求出“非常满意”的人数，最后计算“非常满意”和“满意”人数之和即可．
【解答】解：调查的总人数：（40+50+10）÷（1﹣15%﹣35%）＝200（人），
“非常满意”的人数：200×15%＝30（人），
因此“非常满意、满意”的人数为：30+40＝70（人），
故答案为：70．
15．（3分）如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则∠AFE＝　72　度．

【分析】根据五边形的内角和公式求出∠EAB，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB＝∠ABC＝，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
同理∠ABE＝36°，
∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝36°+36°＝72°．
故答案为：72
16．（3分）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是　1　．
【分析】根据新定义可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得出结论．
【解答】解：∵3※x＝3x﹣3+x﹣2＜2，
∴x＜，
∵x为正整数，
∴x＝1．
故答案为：1．
17．（3分）若一个圆锥的母线长是它底面半径的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是　120°　．
【分析】根据扇形的侧面展开图是扇形，圆锥的母线长等于扇形的半径，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，从而根据扇形弧长l＝，可得出圆心角的度数．
【解答】解：由题意可设，圆锥的底面半径为r，则母线＝3r，
从而可得出扇形的弧长＝2πr，扇形的半径＝3r，
又∵l＝，R＝3r，l＝2πr，
∴可得n＝120°，即侧面展开图的圆心角是120°．
故答案为：120°．
18．（3分）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则An的坐标为　（2，0）　．

【分析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，先在△OCB1中，表示出OC和B1C的长度，表示出B1的坐标，代入反比例函数解析式，求出OC的长度和OA1的长度，表示出A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，即可发现一般规律．
【解答】解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，
∵△OA1B1为等边三角形，
∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，
∴B1C＝OC，
设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，t），
把B1（t，t）代入y＝得t•t＝，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），
∴OA1＝2OC＝2，
∴A1（2，0），
设A1D的长度为m，同理得到B2D＝m，则B2的坐标表示为（2+m，m），
把B2（2+m，m）代入y＝得（2+m）×m＝，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍去），
∴A1D＝，A1A2＝，OA2＝，
∴A2（，0）
设A2E的长度为n，同理，B3E为n，B3的坐标表示为（2+n，n），
把B3（2+n，n）代入y＝得（2+n）•n＝，
∴A2E＝，A2A3＝，OA3＝，
∴A3（，0），
综上可得：An（，0），
故答案为：．

三、解答题（共66分）
19．（6分）计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝
＝．
20．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3+．
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝•
＝x﹣3，
当x＝3+时，
原式＝．
21．（8分）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．
（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．

【分析】（1）根据题意得：BD∥AE，从而得到∠BAD＝∠ADB＝45°，利用BD＝AB＝60，求得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；
（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，根据AF＝BD＝DF＝60，在Rt△AFC中利用∠FAC＝30°求得CF，然后即可求得CD的长．
【解答】解：（1）根据题意得：BD∥AE，
∴∠ADB＝∠EAD＝45°，
∵∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠ADB＝45°，
∴BD＝AB＝60（米），
∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；

（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，
∴AF＝BD＝DF＝60米，
在Rt△AFC中，∠FAC＝30°，
∴CF＝AF•tan∠FAC＝60×＝20（米），
又∵FD＝60米，
∴CD＝（60﹣20）（米），
∴建筑物CD的高度为（60﹣20）米．

22．（8分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”．如10＝3+7．
（1）从7，11，13，17这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是13的概率是　　；
（2）从7，13，23，29这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于36的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，其中抽到的两个素数之和等于36的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从7，11，13，17这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是13的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，抽到的两个素数之和等于36的结果有4个，
∴抽到的两个素数之和等于36的概率为＝．
23．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+6＝p（p+1）．
（1）请判断该方程实数根的情况；
（2）若原方程的两实数根为x1，x2，且满足x12+x22＝3p2+5，求p的值．
【分析】（1）方程整理为一般形式，表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；
（2）利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，已知等式变形后代入计算即可求出p的值．
【解答】（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p＝0，
∵△＝（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p），
＝25﹣24+4p2+4p＝4p2+4p+1＝（2p+1）2，
∵无论p取何值，（2p+1）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：由韦达定理知：x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2﹣p，
∵x12+x22＝3p2+5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3p2+5，
即52﹣2（6﹣p2﹣p）＝3p2+5，
∴p2﹣2p﹣8＝0，
解得：p＝﹣2或4，
∴p＝﹣2或4．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作DE⊥AC交AC延长线于点E，交AB延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若DE＝，tan∠BDF＝，求DF的长．

【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠DAE推出∠E＝∠ODF，根据平行线的性质得到∠ODF＝90°，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，求得∠BDF＝∠DAE，解直角三角形得到AB＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠FAC，
∴∠BAD＝∠DAE
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠DAE＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∴∠E＝∠ODF，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE+∠BDF＝90°，
∵∠E＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°
∴∠BDF＝∠DAE，
∵∠BAD＝∠DAE，
∴∠BDF＝∠DAE＝∠BAD，
∵tan∠BDF＝，
∴tan∠BDF＝tan∠DAE＝tan∠BAD＝，
∴，
∵DE＝，
∴AE＝，AD＝，
∴BD＝，
∴AB＝6，
又∠F＝∠F，∠BDF＝∠BAD，
∴△FBD∽△FDA，
∴，
∴DF＝2BF，FD2＝FB•FA，
∴（2BF）2＝BF•（FB+BA），又BA＝6，
∴BF＝2，
∴DF＝4．

25．（10分）如图，已知点A（1，2）、B（5，n）（n＞0），点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”
（1）当n＝1时．
①求线段AB所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．

【分析】（1）①把n＝1代入确定出B的坐标，利用待定系数法求出线段AB所在直线的解析式即可；
②不完全同意小明的说法，理由是：借助于①中求出的线段AB所在直线的解析式，设出点P的坐标，建立（反比例函数解析式的）k关于点P的横坐标的二次函数关系，借助于二次函数的性质说明k随点p的变化而变化的情况；
（2）若小明的说法完全正确，把A与B坐标代入反比例解析式，并列出不等式，求出解集即可确定出n的范围．
【解答】解：（1）①当n＝1时，B（5，1），
设线段AB所在直线的函数表达式为y＝mx+n，
把A（1，2）和B（5，1）代入得：，
解得：，
则线段AB所在直线的函数表达式为y＝﹣x+；
②不完全同意小明的说法，理由为：
k＝xy＝x（﹣x+）＝﹣（x﹣）2+，
∵1≤x≤5，
∴当x＝1时，kmin＝2；
当x＝时，kmax＝，
则不完全同意；
（2）当n＝2时，A（1，2），B（5，2），符合；
当n≠2时，y＝x+，
k＝x（x+）＝（x﹣）2+，
当n＜2时，k随x的增大而增大，则有≥5，
此时≤n＜2；
当n＞2时，k随x的增大而增大，则有≤1，
此时n＞2，
综上，n≥．
26．（12分）如图，正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，△MBE为等边三角形，过点E作ME的垂线分别与边AD、BC相交于点F、G，点P、Q分别在线段EF、BC上运动，且满足∠PMQ＝60°，连接PQ．
（1）求证：△MEP≌△MBQ；
（2）当点Q在线段GC上时，试判断PF+GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由；
（3）设∠QMB＝α，点B关于QM的对称点为B′，若点B′落在△MPQ的内部，试写出α的范围，并说明理由．

【分析】（1）由题意可得ME＝MB，∠ABC＝∠MEP＝90°，再证∠BMQ＝∠PME，即可证明两三角形全等；
（2）如果PF+GQ的值不变，那么在变化过程中的任意位置PF+GQ的值都不变，可通过特殊位置求出相应的值即PF＝QK，再尝试在任意位置下证明PF＝QK然后求值即可；
（3）通过分析B'的运动轨迹可以发现只要确定两个临界位置时的角度即可求出B'点在△MPQ内部时α的取值范围．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，AM＝BM＝3，
∵△MBE是等边三角形，
∴MB＝ME＝BE，∠BME＝∠PMQ＝60°，
∴∠BMQ＝∠PME，
又∵∠ABC＝∠MEP＝90°，
∴△MBQ≌△MEP（ASA）．
（2）解：PF+GQ的值不变，理由如下：
如图1，连接MG，过点F作FH⊥BC于H，
∵ME＝MB，MG＝MG，
∴Rt△MBG≌Rt△MEG（HL），
∴BG＝GE，∠BMG＝∠EMG＝30°，∠BGM＝∠EGM，
∴MB＝BG＝3，∠BGM＝∠EGM＝60°，
∴GE＝，∠FGH＝60°，
∵FH⊥BC，∠C＝∠D＝90°，
∴四边形DCHF是矩形，
∴FH＝CD＝6，
∵sin∠FGH＝＝＝，
∴FG＝4 ，
∵△MBQ≌△MEP，
∴BQ＝PE，
∴PE＝BQ＝BG+GQ，
∵FG＝EG+PE+FP＝EG+BG+GQ+PF＝2+GQ+PF，
∴GQ+PF＝2．
（3）解：如图2，当点B′落在PQ上时，
∵△MBQ≌△MEP，
∴MQ＝MP，
∵∠QMP＝60°，
∴△MPQ是等边三角形，
当点B′落在PQ上时，点B关于QM的对称点为B′，
∴△MBQ≌△MB′Q，
∴∠MBQ＝∠MB′Q＝90°，
∴∠QME＝30°，
∴点B′与点E重合，点Q与点G重合，
∴∠QMB＝∠QMB′＝α＝30°，
如图3，当点B′落在MP上时，
同理可求：∠QMB＝∠QMB′＝α＝60°，
综上，当30°＜α＜60°时，点B'落在△MPQ的内部．