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    2022版新教材高考数学一轮复习8函数的奇偶性与周期性训练含解析新人教B版

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    这是一份2022版新教材高考数学一轮复习8函数的奇偶性与周期性训练含解析新人教B版,共5页。

    八 函数的奇偶性与周期性

    (建议用时:45分钟)

    A组 全考点巩固练

    1(多选题)已知yf(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是

    (  )

    Ayf(|x|)      Byf(x)

    Cyxf(x)   Dyf(x)x

    BD 解析:由奇函数的定义f(x)=-f(x)验证.

    对于选项Af(|x|)f(|x|),为偶函数;

    对于选项Bf((x))f(x)=-f(x),为奇函数;

    对于选项C,-xf(x)=-x·[f(x)]xf(x),为偶函数;

    对于选项Df(x)(x)=-[f(x)x],为奇函数.故选BD.

    2(2020·全国卷)设函数f(x)x3,则f(x)(  )

    A.是奇函数,且在(0,+)上单调递增

    B.是奇函数,且在(0,+)上单调递减

    C.是偶函数,且在(0,+)上单调递增

    D.是偶函数,且在(0,+)上单调递减

    A 解析:因为f(x)x3,则f(x)=-x3=-f(x),即f(x)为奇函数.

    根据幂函数的性质可知,yx3(0,+)上单调递增,故y1(0,+)上单调递减,y2=-(0,+)上单调递增,所以当x0时,f(x)x3单调递增.

    3.已知函数f(x)x1f(a)3,则f(a)的值为(  )

    A.-3   B.-1  

    C1   D2

    B 解析:由题意得f(a)f(a)a1(a)12, 所以f(a)2f(a)23=-1.故选B.

    4.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)f(7)(  )

    A3   B.-3

    C2   D.-2

    B 解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,

    f(x)

    所以f(7)=-f(7)=-log2(71)=-3.

    5.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex,则g(x)

    (  )

    A.exex   B.(exex)

    C.(exex)   D.(exex)

    D 解析:因为f(x)g(x)ex

    所以f(x)g(x)f(x)g(x)ex

    所以g(x)(exex)

    6.已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)x2x,则当x<0时,函数f(x)的最大值为________

     解析:x<0,则-x>0,所以f(x)x2x.又函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(x)=-x2x=-2,所以当x<0时,函数f(x)的最大值为.

    7.已知函数f(x)是偶函数,当x0时,f(x)ln x,则f 的值为_____

    ln 2 解析:由已知可得f ln=-2,所以f f(2).又因为f(x)是偶函数,所以f f(2)f(2)ln 2.

    8.已知奇函数f(x)的图像关于直线x3对称,当x[0,3]时,f(x)=-x,则f(16)________.

    2 解析:根据题意,函数f(x)的图像关于直线x3对称,则有f(x)f(6x)

    又函数f(x)为奇函数,则f(x)=-f(x)

    所以f(x)=-f(6x)f(x12)

    所以f(x)的最小正周期是12.

    f(16)f(4)=-f(4)=-f(2)=-(2)2.

    9.若函数f(x)axbx[a4a]的图像关于原点对称,则a________;函数g(x)bxx[4,-1]的值域为________

    2  解析:由函数f(x)的图像关于原点对称,可得a4a0,即a2.则函数f(x)2xb,其定义域为[2,2],所以f(0)0,所以b0,所以g(x).易知g(x)[4,-1]上单调递减,故值域为[g(1)g(4)],即.

    10.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x2)=-f(x).当x[0,2]时,f(x)2xx2.

    (1)求证:f(x)是周期函数;

    (2)x[2,4]时,求f(x)的解析式.

    (1)证明:因为f(x2)=-f(x)

    所以f(x4)=-f(x2)f(x)

    所以f(x)是周期为4的周期函数.

    (2)解:因为x[2,4],所以-x[4,-2]

    所以4x[0,2]

    所以f(4x)2(4x)(4x)2=-x26x8.

    因为f(4x)f(x)=-f(x)

    所以-f(x)=-x26x8,即f(x)x26x8x[2,4]

    B组 新高考培优练

    11(2020·新高考全国卷)若定义在R上的奇函数f(x)(0)单调递减,且f(2)0,则满足xf(x1)0x的取值范围是(  )

    A[1,1][3,+) 

    B[3,-1][0,1]

    C[1,0][1,+) 

    D[1,0][1,3]

    D 解析:f(x)的大致图像如图:

    x0时,不等式xf(x1)0等价为f(x1)0

    此时此时1x3

    x0时,不等式xf(x1)0等价为f(x1)0

    得-1x0

    综上,-1x01x3,即实数x的取值范围是[1,0][1,3]

    12.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0f(x2)对任意xR恒成立,则f(2 023)________.

    1 解析:因为f(x)>0f(x2),所以f(x4)f[(x2)2]f(x),即函数f(x)的周期是4

    所以f(2 023)f(506×41)f(1).因为函数f(x)为偶函数,所以f(2 023)f(1)f(1).当x=-1时,f(12),得f(1). f(x)>0,得f(1)1,所以f(2 023)f(1)1.

    13.定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)0,且f(4x)f(x).现有以下三种叙述:

    8是函数f(x)的一个周期;

    f(x)的图像关于直线x2对称;

    f(x)是偶函数.

    其中正确的序号是________

    ①②③ 解析:f(x)f(x2)0

    f(x2)=-f(x),则f(x4)=-f(x2)f(x),即4f(x)的一个周期,8也是f(x)的一个周期,故正确;由f(4x)f(x),得f(x)的图像关于直线x2对称,故正确;由f(4x)f(x)f(x4)f(x),得f(4x)f(x)f(x)f(x),即函数f(x)为偶函数,故正确.

    14.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x都有f =-f 成立.

    (1)证明yf(x)是周期函数,并指出其周期.

    (2)f(1)2,求f(2)f(3)的值.

    (3)g(x)x2ax3,且y|f(x)|·g(x)是偶函数,求实数a的值.

    解:(1)f =-f

    f(x)=-f(x)

    f(3x)f

    =-f =-f(x)f(x)

    所以yf(x)是周期函数,且T3是其一个周期.

    (2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,

    所以f(0)0,且f(1)=-f(1)=-2

    T3yf(x)的一个周期,

    所以f(2)f(3)f(1)f(0)=-20=-2.

    (3)因为y|f(x)|·g(x)是偶函数,

    |f(x)||f(x)||f(x)|

    所以|f(x)|为偶函数.

    g(x)x2ax3为偶函数,即g(x)g(x)恒成立,于是(x)2a(x)3x2ax3恒成立.于是2ax0恒成立,所以a0.

     

     

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