2022版新教材高考数学一轮复习13函数与方程训练含解析新人教B版

十三　函数与方程

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．函数f(x)＝ex＋x－3在区间(0,1)上的零点个数是(　　)

A．0   B．1 

C．2   D．3

B　解析：由题知函数f(x)是增函数．根据函数零点存在定理及f(0)＝－2＜0，f(1)＝e－2>0，可知函数f(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点．故选B.

2．已知a是函数f(x)＝2x－x的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足

(　　)

A．f(x0)＝0   B．f(x0)＞0

C．f(x0)＜0   D．f(x0)的符号不确定

C　解析：f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

若0＜x0＜a，

则f(x0)＜f(a)＝0.

3．若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是

(　　)

A．(1,3)   B．(1,2) 

C．(0,3)   D．(0,2)

C　解析：由条件可知f(1)f(2)＜0，即(2－2－a)·(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3.

4．(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　　)

A．2   B．3 

C．4   D．5

B　解析：令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，即2sin x－2sin xcos x＝0，所以2sin x(1－cos x)＝0，所以sin x＝0或cos x＝1.又x∈[0,2π]，由sin x＝0得x＝0，π或2π；由cos x＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．故选B.

5．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　)

A．0   B．1 

C．2   D．3

C　解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图像如图所示．

由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.

6．设f(x)在区间[－1,1]上单调递增，且f ·f <0，则方程f(x)＝0在区间[－1,1]内(　　)

A．可能有3个实数根   B．可能有2个实数根

C．有唯一的实数根   D．没有实数根

C　解析：因为f(x)在区间[－1,1]上单调递增，且f ·f <0，所以f(x)在区间上有唯一的零点. 所以方程f(x)＝0在区间[－1,1]内有唯一的实数根．

7．已知函数f(x)＝(a∈R)．若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1]   B．[1，＋∞)

C．(0,1)   D．(－∞，1]

A　解析：画出函数f(x)的大致图像如图所示．

因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需1－a≥0，即a≤1；当x>0时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，0<a≤1.

8．方程log0.5(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为________．

1　解析：若方程log0.5(a－2x)＝2＋x有解，则2＋x＝a－2x有解，即×x＋2x＝a有解．因为×x＋2x＝×＋2x≥2＝1，当且仅当x＝－1时，等号成立，故a的最小值为1.

9．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于________．

1　解析：考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝ln x分别与函数y＝的图像的公共点A，B的横坐标，而A，B两点关于直线y＝x对称，因此x1x2＝1.

10．已知函数f(x)＝若f(x0)＝－1，则x0＝________；若关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点，则实数k的取值范围是________．

－1　(0,1)　解析：由f(x0)＝－1，得或解得x0＝－1.关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点等价于y＝f(x)的图像与直线y＝k有两个不同交点，如图．观察图像可知，当0＜k＜1时y＝f(x)的图像与直线y＝k有两个不同交点，即k∈(0,1)．

11. 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足a＞b＞c，且f(1)＝0，函数g(x)＝f(x)＋bx.

(1)证明：函数y＝g(x)必有两个不相等的零点；

(2)设函数y＝g(x)的两个零点为x1，x2 ，求|x1－x2|的取值范围．

(1)证明：由f(1)＝0得a＋b＋c＝0，所以b＝－(a＋c)，g(x)＝f(x)＋bx＝ax2＋2bx＋c.

令g(x)＝0，即ax2＋2bx＋c＝0，则Δ＝4b2－4ac＝4(a＋c)2－4ac＝4(a2＋2ac＋c2－ac)＝4＋3c2＝42＋3c2＞0，即ax2＋2bx＋c＝0有两个不等实根．

所以函数y＝g(x)必有两个不相等的零点．

(2)解：由(1)知y＝g(x)的两个零点，即方程ax2＋2bx＋c＝0的两个实根，

所以所以|x1－x2|

＝

＝＝2＝2

＝2＝2.

因为f(1)＝a＋b＋c＝0，且a＞b＞c，

所以a＞0，c＜0.

当a＞0，c＜0且＝－时，|x1－x2|min＝.

所以|x1－x2|的取值范围为[，＋∞)．

B组　新高考培优练

12．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)

A．[－1,0)   B．[0，＋∞)

C．[－1，＋∞)   D．[1，＋∞)

C　解析：画出函数f(x)的图像，y＝ex在y轴右侧的去掉，如图，再画出直线y＝－x，之后上下移动直线y＝－x.可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程f(x)＝－x－a有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时－a≤1，即a≥－1.故选C.

13．设函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则函数g(x)＝|cos πx|－f(x)在区间上零点的个数为(　　)

A．3   B．4

C．5   D．6

C　解析：由f(－x)＝f(x)，得f(x)的图像关于y轴对称．由f(x)＝f(2－x)，得f(x)的图像关于直线x＝1对称．当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，所以f(x)在[－1,2]上的图像如图．

令g(x)＝|cos πx|－f(x)＝0，得|cos πx|＝f(x)，函数y＝f(x)与y＝|cos πx|的图像在上的交点有5个．

14．已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a，b满足2a＝3,3b＝2，则n＝________.

－1　解析：a＝log23>1,0<b＝log32<1.令f(x)＝0，得ax＝－x＋b.在同一平面直角坐标系中画出函数y＝ax和y＝－x＋b的图像，如图所示．

由图可知，两函数的图像在区间(－1,0)内有交点，所以函数f(x)在区间(－1,0)内有零点，所以n＝－1.

15．若曲线y＝log2(2x－m)(x>2)上至少存在一点与直线y＝x＋1上的一点关于原点对称，则m的取值范围为________．

(2,4]　解析：直线y＝x＋1关于原点对称的直线为y＝x－1.依题意方程log2(2x－m)＝x－1在(2，＋∞)上有解．则m＝2x－1在x∈(2，＋∞)上有解，所以m>2.又2x－m>0恒成立，则m≤(2x)min，即m≤4.所以实数m的取值范围为(2,4]．

16．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝kx－2有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．

[3，＋∞)　解析：由题意知函数f(x)的图像与恒过定点(0，－2)的直线y＝kx－2有两个交点，作出y＝f(x)与y＝kx－2的图像，如图所示．

当直线y＝kx－2过点(1,1)时，k＝3.

结合图像知，当k≥3时，直线与y＝f(x)的图像有两个交点．

17．已知a∈R，函数f(x)＝log2.

(1)当a＝5时，解不等式f(x)＞0；

(2)若函数g(x)＝f(x)＋2log2x只有一个零点，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝5时，f(x)＝log2.

由f(x)＞0，即log2＞0，可得＋5＞1，解得x＜－或x＞0.

即不等式f(x)＞0的解集为∪(0，＋∞)．

(2)g(x)＝f(x)＋2log2x＝log2＋2log2x＝log2(其中x＞0)．

因为函数g(x)＝f(x)＋2log2x只有一个零点，即g(x)＝0只有一个根，

即·x2＝1在(0，＋∞)上只有一个解，

即ax2＋x－1＝0在(0，＋∞)上只有一个解．

①当a＝0时，方程x－1＝0，解得x＝1，符合题意；

②当a≠0时，设函数y＝ax2＋x－1.

当a＞0时，此时函数y＝ax2＋x－1与x轴的正半轴，只有一个交点，符合题意；

当a＜0时，要使得函数y＝ax2＋x－1与x轴的正半轴只有一个交点，

则满足解得a＝－ .

综上可得，实数a的取值范围是∪[0，＋∞)．