2022版新教材高考数学一轮复习43直线方程训练含解析新人教B版

这是一份2022版新教材高考数学一轮复习43直线方程训练含解析新人教B版，共6页。试卷主要包含了已知直线l，直线l1等内容，欢迎下载使用。

A组 全考点巩固练
1．直线xcs α＋eq \r(3)y－2＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,6)))
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))
C 解析：设直线的倾斜角为θ，故tan θ＝－eq \f(cs α,\r(3))＝－eq \f(\r(3),3)cs α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，即θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π)).
2．(2020·长郡中学高三开学考试)已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )
A．1B．－1
C．－2或－1D．－2或1
D 解析：由直线的方程ax＋y－2－a＝0，得此直线在x轴和y轴上的截距分别为eq \f(a＋2,a)和2＋a.由eq \f(a＋2,a)＝2＋a得a＝1或a＝－2.故选D.
3．过点(－2,0)且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是( )
A.eq \f(x,－2)＋y＝1
B.eq \f(x,－2)＋eq \f(y,－5)＝1
C.eq \f(x,－2)＋eq \f(y,－1)＝1
D.eq \f(x,－2)＋y＝1或eq \f(x,－2)＋eq \f(y,－5)＝1
D 解析：由题可知，直线过点(－2,0)，所以直线在x轴上的截距为－2.
又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或－5，
则所求直线方程为eq \f(x,－2)＋y＝1或eq \f(x,－2)＋eq \f(y,－5)＝1.
4．(2020·贵州思南中学高三期中)设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )
A.(－∞，－4]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－4，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，4))
D.以上都不对
A 解析：根据题意，设直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y＋1－k＝0.
直线l过P(1,1)且与线段AB相交，则A，B在l的两侧或在直线上，
则有(2k＋3＋1－k)(－3k＋2＋1－k)≤0，
即(k＋4)(4k－3)≥0，
解得k≥eq \f(3,4)或k≤－4.故选A.
5．(2020·鲁山第一高级中学高三月考)直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图像只可能是( )
D 解析：对于A选项，由l1得a>0，b<0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于B选项，由l1得a<0，b>0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于C选项，由l1得a>0，b<0，而由l2得a<0，b>0，矛盾；对于D选项，由l1得a>0，b>0，而由l2得a>0，b>0.故选D.
6．(2020·青海平安一中高三月考)过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是________．
3x－2y＝0或x－y＋1＝0 解析：当直线过原点时，由于斜率为eq \f(3－0,2－0)＝eq \f(3,2)，故直线方程为y＝eq \f(3,2)x，即3x－2y＝0.
当直线不过原点时，设方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，把点P(2，3)的坐标代入可得a＝－1，
故直线方程为x－y＋1＝0.
综上所述，直线方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.
7．过点(3，－2)且与直线x－y＋4＝0相交成45°角的直线方程是________．
x＝3或y＝－2 解析：直线x－y＋4＝0的倾斜角α＝45°，所以过点(3，－2)且与直线x－y＋4＝0相交成45°角的直线方程的倾斜角为0°或90°，则直线方程为x＝3或y＝－2.
8．k取任意实数时，直线2(k－1)x＋(k－6)y－k－4＝0恒经过定点P，则点P的坐标为________．
(1，－1) 解析：直线方程可整理为(2x＋y－1)k－(2x＋6y＋4)＝0.
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－1＝0，,2x＋6y＋4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1，))即定点P的坐标为(1，－1)．
9．(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的eq \f(1,3)的直线方程；
(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
解：(1)设所求直线的斜率为k，
依题意k＝－4×eq \f(1,3)＝－eq \f(4,3).
又直线经过点A(1,3)，
因此，所求直线方程为y－3＝－eq \f(4,3)(x－1)，
即4x＋3y－13＝0.
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为eq \f(x,2a)＋eq \f(y,a)＝1.将(－5,2)代入方程，解得a＝－eq \f(1,2)，所以直线方程为x＋2y＋1＝0.
当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－eq \f(2,5)，所以直线方程为y＝－eq \f(2,5)x，即2x＋5y＝0.
故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
B组 新高考培优练
10．(2020·合肥期中高三检测)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点为A(0,0)，B(4,0)，C(3，eq \r(3))，则该三角形的欧拉线方程为
( )
A.eq \r(3)x－y－2eq \r(3)＝0
B．x－eq \r(3)y－2eq \r(3)＝0
C.eq \r(3)x－y－2＝0
D．x－eq \r(3)y－2＝0
A 解析：因为△ABC的顶点为A(0,0)，B(4,0)，C(3，eq \r(3))，所以重心Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，\f(\r(3),3))).设△ABC的外心为W(2，a)，则|AW|＝|WC|，即eq \r(22＋a2)＝eq \r(3－22＋\r(3)－a2)，解得a＝0，所以W(2,0)．所以该三角形的欧拉线即直线GW的方程为y－0＝eq \f(\f(\r(3),3)－0,\f(7,3)－2)(x－2)，化简得eq \r(3)x－y－2eq \r(3)＝0.故选A.
11．(多选题)(2021·青岛模拟)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为( )
A．x－y＋1＝0B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0D．x－y－1＝0
ABC 解析：当直线经过原点时，斜率为k＝eq \f(2－0,1－0)＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1,2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，求得k＝－1或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0，或x＋y－3＝0.综上可知，所求的直线方程可能为 2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.
12．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
[－2,2] 解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距．如图，
当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值，所以b的取值范围是[－2，2]．
13．求经过点P(2，－2)，并且在y轴上的截距比在x轴上的截距大1的直线l的方程为________．
x＋2y＋2＝0或2x＋y－2＝0 解析：显然直线不过原点，截距不为0，设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a＋1)＝1.
因为直线l过点P(2，－2)，所以eq \f(2,a)＋eq \f(－2,a＋1)＝1，解得a＝－2或1，所以直线l的方程为eq \f(x,－2)＋eq \f(y,－1)＝1或eq \f(x,1)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y＋2＝0或2x＋y－2＝0.
14．已知直线l经过点(0，－2)，其倾斜角为30°.
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．
解：(1)根据题意，直线l的倾斜角为30°，则其斜率k＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3).
又直线经过点(0，－2)，
则直线方程为y＋2＝eq \f(\r(3),3)(x－0)，即y＝eq \f(\r(3),3)x－2.
(2)由(1)知，直线l的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x－2，
与y轴的交点坐标为(0，－2)，与x轴的交点坐标为(2eq \r(3)，0)，
则直线l与两坐标轴围成三角形的面积S＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3).
15．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0.
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1.))
所以无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．
(2)解：由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－eq \f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解得k>0.
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)解：由题意可知k≠0，再由l的方程，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)且k>0.
因为S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|
＝eq \f(1,2)·eq \f(1＋2k2,k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq \f(1,2)×(2×2＋4)＝4，
等号成立的条件是k>0且4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)，
所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.