2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价15导数的概念与运算含解析新人教A版

这是一份2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价15导数的概念与运算含解析新人教A版，共7页。试卷主要包含了已知函数f ＝x3＋x－16.等内容，欢迎下载使用。
A组 全考点巩固练
1．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为( )
A．(1－e)x－y＋1＝0
B．(1－e)x－y－1＝0
C．(e－1)x－y＋1＝0
D．(e－1)x－y－1＝0
C 解析：因为y′＝ex－eq \f(1,x)，所以y′|x＝1＝e－1.故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.
2．(2020·山东百师联盟测试二)已知函数f (x)＝x3＋2xf ′(1)－1，则f ′(1)＝( )
A．eq \f(3,2) B．3 C．－3 D．－eq \f(3,2)
C 解析：f ′(x)＝3x2＋2f ′(1)，则f ′(1)＝3＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－3.
3．若f (x)＝a－2＋asin 2x为奇函数，则曲线y＝f (x)在x＝0处的切线的斜率为( )
A．－2 B．－4 C．2 D．4
D 解析：因为f (x)是奇函数，所以a－2＝0，a＝2.所以f (x)＝2sin 2x，f ′(x)＝4cs 2x.所以f ′(0)＝4.所以曲线y＝f (x)在x＝0处的切线的斜率为4.
4．函数y＝f (x)，y＝g(x)的导函数的图象如图所示，那么y＝f (x)，y＝g(x)的图象可能是( )
D 解析：由y＝f ′(x)的图象知，y＝f ′(x)在(0，＋∞)上是单调递减的，说明函数y＝f (x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也是单调递减的，故可排除A，C；
又由图象知y＝f ′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f (x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相等，故可排除B.故选D．
5．(多选题)(2020·青岛三模)已知曲线f (x)＝eq \f(2,3)x3－x2＋ax－1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于0，则实数a可能的取值为( )
A．eq \f(19,6) B．3 C．eq \f(10,3) D．eq \f(9,2)
AC 解析：f ′(x)＝2x2－2x＋a.
因为曲线y＝f (x)上存在两条斜率为3的不同切线，
所以f ′(x)＝3有两个不同的根，即2x2－2x＋a－3＝0有两个不同的根．
所以Δ＝(－2)2－4×2×(a－3)>0.①
设两切点的横坐标分别为x1，x2.
因为切点的横坐标都大于0，
所以x1>0，x2>0，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(－2,2)＝1>0，,x1·x2＝\f(a－3,2)>0.)) ②
联立①②，解得30)上，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值为________．
6＋4eq \r(2) 解析：设A(s，t)，y＝x3－2x2＋2的导数为y′＝3x2－4x，可得切线的斜率为3s2－4s.
由切线方程为y＝4x－6，可得3s2－4s＝4，t＝4s－6，
解得s＝2，t＝2或s＝－eq \f(2,3)，t＝－eq \f(26,3).
由点A在直线mx＋ny－1＝0(其中m>0，n>0)上，
得2m＋2n＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(s＝－\f(2,3)，t＝－\f(26,3)舍去))，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)＝(2m＋2n)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(2,n)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(n,m)＋\f(2m,n)))≥2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋2\r(\f(n,m)·\f(2m,n))))＝6＋4eq \r(2)，
当且仅当n＝eq \r(2)m时，得最小值为6＋4eq \r(2).
14．(2020·北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f (t)，用－eq \f(f b－f a,b－a)的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是________________．
①②③ 解析：－eq \f(f b－f a,b－a)表示区间端点连线斜率的相反数，
在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强，①正确；
在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强，②正确；
在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标，③正确；
甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，甲企业在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1，t2]的污水治理能力最强，④错误．
15．已知函数f (x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f ′(－1)＝0.
(1)求a的值．
(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f (x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)由已知得f ′(x)＝3ax2＋6x－6a.
因为f ′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2.
(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)．若直线m是曲线y＝g(x)的切线，
则可设切点坐标为(x0,3xeq \\al(2,0)＋6x0＋12)．
因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3xeq \\al(2,0)＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)．
将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.
当x0＝－1时，切线方程为y＝9；
当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.
由(1)知f (x)＝－2x3＋3x2＋12x－11.
①由f ′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，
解得x＝－1或x＝2.
在x＝－1处，y＝f (x)的切线方程为y＝－18；
在x＝2处，y＝f (x)的切线方程为y＝9.
所以y＝f (x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.
②由f ′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，
解得x＝0或x＝1.
在x＝0处，y＝f (x)的切线方程为y＝12x－11；
在x＝1处，y＝f (x)的切线方程为y＝12x－10.
所以y＝12x＋9不是y＝f (x)与y＝g(x)的公切线．
综上所述，y＝f (x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.