广东省广大附中、铁一、广外三校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题+答案

这是一份广东省广大附中、铁一、广外三校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题+答案，共13页。试卷主要包含了选择题.，多项选择题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。

命题学校：广州外国语学校 命题人： 审题人：
本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分).
1．已知为虚数单位，集合，.若，则复数等于（ ）
A． B． C．1D．−1
2. 设为三个不同的平面，若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3. 已知向量，若，则（ ）
A．0B．C．6D．
4. 中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为，扇形OAB的面积为，当与的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时弧CD与弧AB的长度之比为（ ）
A．B．C．D．
5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
6. 在中国共产党建党100周年之际，某外国语学校组织了“党史知识竞赛”活动，已知该外国语学校共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人，则该校高一年级学生人数为（ ）
A．1680B．1020C．960D．720
7.祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上.以平行于平面的平面于距平面任意高d处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，短轴长为，长轴为的椭球体的体积是（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数，函数，若，，使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，漏选得2分，多选不得分）.
9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则共轭复数B． 若复数z为纯虚数，则
C．若复数，则D．若，则
10.已知，，，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
11．如图所示，点是函数(，)图象的最高点，､是图象与轴的交点，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
12. 定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确有（ ）
A．方程有且仅有三个解B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有八个解D．方程有且仅有一个解
三、填空题( 本大题共4小题，每小题5分，共20分).
13.函数的定义域是____________．
14.函数fx=sinx+φ−2sinφ⋅csx的最大值为_____________.
15. 2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产，设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x1，x2，x3，x4，x5(单位：十万只)，若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x12，x22，x32，x42，x52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩___________(单位：十万只).
16. 在三棱锥中，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为________．
四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18—22题每小题12分，共70分）.
17．中，角的对的边分别为，且
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
18.如图，已知平面，平面，为等边三角形，，F为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值．
19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
（1）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
20. 如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面.
（1）证明：平面平面；
（2）设，，求二面角的余弦值.
21. 已知函数的图像如下图所示，点，，为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，若将其图像向右平移个单位后得到函数的图像，而函数的最小正周期为，且在处取得最小值．
（1）求参数和的值；
（2）若，求向量与向量之间夹角的余弦值；
（3）若点为函数图像上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围．
22. 已知函数，，.
（1）若函数在上有零点，求的取值范围；
（2）若对任意的，总存在，使得，求的取值范围.
（3）设，记为函数在上的最大值，求的最小值.
2020-2021学年下学期期中三校联考
高一数学参考答案
命题学校：广州外国语学校 命题人： 审题人：
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题.
二、多项选择题.
三、填空题.
13. 0,+∞ 14. 1 ; 15. 1.6 ; 16.163π
四、解答题.
17.解：（1）由，
由正弦定理可得：，…………2分
可得，
在中，，，……………………4分
可得：，故. ………………………………5分
（2）由（1）知，且，根据余弦定理，…………6分
代入可得：，
所以，
所以，……………………8分
当且仅当b=c=2时取等号， …………………………9分
所以面积的最大值为. …………………………10分
18.（Ⅰ）取CE中点G，连接BG，FG，如图所示：
因为F、G分别为CD、CE的中点，所以且，
又因为平面，平面，所以，,
所以，，所以四边形ABGF为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；…………………………………………6分
（Ⅱ）因为平面，平面ACD，
所以，所以，
又为等边三角形，F为CD的中点，
所以，
又平面CDE，
所以平面CDE，即平面CDE，
又平面CDE，则，
连接DG，BD，如图所示，
则即为直线和平面所成角，………………………………9分
设，在中，，
在直角梯形ABED中，，
在中，，
所以，
所以直线和平面所成角的正弦值为.…………………………12分
19. （1）直方图如图，
……………………3分
（2）质量指标值的样本平均数为
.………………5分
质量指标值的样本方差为
.…………8分
（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为
，
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.………………………………………………………………12分
20. 解:
（1）证明：∵是圆的直径，∴，
又∵平面，
∴，………………3分
∵，平面，平面，
∴平面.又平面，
∴平面平面.………………6分
（2）∵平面，平面，所以
过作于，连接，
,平面，所以平面
则，
∴即为二面角的平面角，………………9分
，，
∴.
∴. ………………12分
21.【解】（1）
又时，取最小值
则，
，
又则 ………………………………3分
（2），则，，
则
则……………………7分
（3）是上动点，
，
又恒成立
设
，
或时，上式有最小值
即当在活时，有最小值或
为时，，
，得
又，则
为时，，
同时，综上， …………………………12分
22.解：（1）因为函数的图象的对称轴是直线，
所以在上为减函数.
又在上存在零点，所以，解得
故的取值范围为………………………………3分
（2）若对任意的，总存在，使得，则函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集.
函数图象的对称轴是直线，
所以在上的函数值的取值集合为
①当时，，不符合题意，舍去.
②当时，在上的值域，只需，解得
③当时，在上的值域为，只需，无解.
综上，的取值范围为………………………………7分
（3）
当或时，在上单调递增，
则；………………………………9分
当时，，
解，得，
故当，………………………………11分
综上，
于是的最小值为…………………………12分
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
频数
6
26
38
22
8
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
D
B
C
C
A
D
9
10
11
12
CD
BD
BC
ABD