2020年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷 （word版 含答案）

这是一份2020年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷 （word版 含答案），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题[2x+3≤x+5，等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）（）﹣2的相反数为（ ）
A．﹣4B．﹣C．D．4
2．（2分）计算a8÷（﹣a3）2×a5的结果是（ ）
A．﹣a8B．﹣a7C．a7D．a8
3．（2分）任意摆放如图所示的正三棱柱，其主视图不可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）下列整数中，与+3最接近的是（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．（2分）如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为（ ）
A．20.5°B．22.5°C．24°D．30°
6．（2分）已知函数y与自变量x的部分对应值如表：
对于下列命题：①若y是x的反比例函数，则m＝﹣n；②若y是x的一次函数，则n﹣m＝2；③若y是x的二次函数，则m＜n．其中正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）9的平方根是 ，8的立方根是 ．
8．（2分）要使式子1+有意义，则实数x的取值范围是 ．
9．（2分）分解因式a（x﹣1）2﹣a（x﹣1）的结果是 ．
10．（2分）计算（﹣）×的结果是 ．
11．（2分）设x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则x12x2+x1x22＝ ．
12．（2分）如图，过原点O的直线与反比例函数y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象分别交于点A1，A2，若＝，则＝ ．
13．（2分）一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是 ．
14．（2分）如图，⊙O的半径为2，将⊙O沿弦AB折叠得到，且恰好经过圆心O，则
新月形阴影部分的面积为 ．
15．（2分）如图，点O为正五边形的中心，⊙O与正五边形的每条边都相交，则∠1＝ ．
16．（2分）已知等边△ABC的边长为，直线l经过点A，点B关于直线l的对称点为B′，若BB′＝2，则CB′＝ ．
三、解答题（共11题，共88分）[2x+3≤x+5，
17．（8分）解关于x的不等式组并把解集表示在所给数轴上．
18．（7分）先化简，再求值：（1+）÷（﹣m），其中m＝1﹣．
19．（8分）某班有甲、乙两名同学报名参加100米跑步比赛，他们在赛前进行了10次训练．将两人的10次训练成绩分别绘制成如图统计图．
（1）根据统计图把下列表格补充完整：
（2）从两个不同角度评价甲、乙两名同学的训练成绩．
20．（7分）某校对高一新生随机摇号分班，一共分4个班，班号分别为1班、2班、3班、4班，甲、乙两人是该校的高一新生．
（1）甲恰好被分在1班的概率为 ；
（2）求甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率．
21．（7分）甲、乙两人分别从距目的地8km和14km的两地同时出发，甲、乙的速度比是2：3，结果甲比乙提前20min到达目的地，求甲、乙的速度．
22．（8分）如图，在▱ABCD中，E、G分别是AB、CD的中点，且AH＝CF，AH∥CF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）连接FH，若FH＝AD，求证：四边形EFGH是矩形．
23．（8分）已知一次函数y1＝2x+m（m为常数）和y2＝﹣x+1．
（1）当m＝2时，若y1＞y2，求x的取值范围；
（2）当x1＞1时，y1＞y2；当x1＜1时，y1＜y2，则m的值是 ．
（3）判断函数y＝y1•y2的图象与x轴的交点个数情况，并说明理由．
24．（7分）如图，某工地有一辆底座为AB的吊车，吊车从水平地面C处吊起货物，此时测得吊臂AC与水平线的夹角为18°，将货物吊至D处时，测得吊臂AD与水平线的夹角为53°，且吊臂转动过程中长度始终保持不变，此时D处离水平地面的高度DE＝11m，求吊臂的长．
（参考数据：sin18°≈0.30，cs18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
25．（9分）商家销售某种商品，每件成本50元．经市场调研，当售价为60元时，可销售300件；售价每增加1元，销售量将减少10件．为了提高销售量，当售价为80元时，网络主播直播带货，此时售价每增加1元，需支付给主播300元．物价局对该商家聘请问此商品规定：售价最高不超过110元．如图中的折线ABC表示该商品的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元）之间的函数关系．
（1）求线段BC对应的函数表达式；
（2）当售价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）直播带货后，售价至少为 元，该商家获得的利润不低于直播带货前的最大利润．
26．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，过点D作DE∥AB，交AC于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点F，经过点D、E、F的⊙O与AB、BC的另一个公共点分别为G、H，连接EG、EH、GH．
（1）求证：△EGH∽△ABC；
（2）若AB＝15，BC＝10，
①当BG＝2时，求DH的长；
②若ED恰为⊙O的直径，则BD的长为 ．
27．（10分）【数学问题】
如图①，⊙O是△ABC的外接圆，P是△ABC的内心，连接CP并延长交⊙O于点D，连接DA．
（1）求证：DA＝DP；
（2）若AB＝8，tan∠ACB＝，当点C在上运动时，O、P两点之间距离的最小值为 ．
【问题解决】如图②，有一个半径为25m的圆形广场，点O为圆心，点P处有一座雕像，且O、P两点之间的距离为5m．现要在圆形广场上修建一个三角形水池，使⊙O是三角形的外接圆，点P是三角形的内心．
（3）请用直尺和圆规在图②中作出一个满足修建要求的三角形；（保留作图痕迹，不写作法）
（4）对于满足修建要求的三角形水池，若三角形水池其中一条边的长度为xm，发现能作出的三角形的个数随着x的值变化而变化…请你探索，直接写出能作出的三角形的个数及对应的x的取值范围．
2020年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．（2分）（）﹣2的相反数为（ ）
A．﹣4B．﹣C．D．4
【分析】直接利用负整数指数幂的性质化简，再利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：（）﹣2＝22＝4，
4的相反数是：﹣4．
故选：A．
2．（2分）计算a8÷（﹣a3）2×a5的结果是（ ）
A．﹣a8B．﹣a7C．a7D．a8
【分析】根据积的乘方运算法则把（﹣a3）2化简后，再根据同底数幂的乘除法法则计算即可．
【解答】解：a8÷（﹣a3）2×a5
＝a8÷a6×a5
＝a8﹣6+5
＝a7．
故选：C．
3．（2分）任意摆放如图所示的正三棱柱，其主视图不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：任意摆放如图所示的正三棱柱，其主视图可能是三角形，矩形（中间只有一条线段），
所以不可能是矩形（中间由两条线段），
故选：D．
4．（2分）下列整数中，与+3最接近的是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】先估算出的取值范围，再根据不等式的基本性质估算出的取值范围即可．
【解答】解：∵3.62＜13＜3.72，
∴3.6＜＜3.7，
∴3.6+3+3＜3.7+3，
即6.6＜+3＜6.7，
∴与+3最接近的是7．
故选：C．
5．（2分）如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为（ ）
A．20.5°B．22.5°C．24°D．30°
【分析】根据切线的性质得到∠OBC＝90°，根据平行四边形的性质得到OA＝BC，推出△OBC是等腰直角三角形，得到∠BOC＝45°，根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴OA＝BC，
∵OA＝OB，
∴OB＝BC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BOC＝45°，
∴∠BDC＝BOC＝22.5°，
故选：B．
6．（2分）已知函数y与自变量x的部分对应值如表：
对于下列命题：①若y是x的反比例函数，则m＝﹣n；②若y是x的一次函数，则n﹣m＝2；③若y是x的二次函数，则m＜n．其中正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】①根据反比例函数系数k的几何意义即可判断；②求得一次函数的解析式，分别求得m、n的值即可判断；③根据二次函数的性质即可判断．
【解答】解：①若y是x的反比例函数，则﹣2m＝2n＝4×2，
解得m＝﹣4，n＝4，则m＝﹣n，故①正确；
②若y是x的一次函数，设为y＝kx+b，
把x＝﹣4，y＝﹣2；x＝4，y＝2代入求得y＝x，
∴当x＝﹣2时y＝﹣1；x＝2时y＝1，
∴m＝﹣1，n＝1，
∴n﹣m＝2，故②正确；
③若y是x的二次函数，由函数经过点（﹣4，﹣2）和（4，2），
当开口向上时，对称轴在y轴的左侧，则点（﹣2，m）到对称轴的距离小于点（2，n）到对称轴的距离，
所以m＜n；
当开口向下时，对称轴在y轴的右侧，则点（﹣2，m）到对称轴的距离大于点（2，n）到对称轴的距离，
所以m＜n；
故③正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）9的平方根是 ±3 ，8的立方根是 2 ．
【分析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的立方根是正数．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴±＝±3；
∵23＝8，
∴8的立方根是2．
故答案为：±3；2．
8．（2分）要使式子1+有意义，则实数x的取值范围是 x≠1 ．
【分析】根据分式有意义的条件、零指数幂列出不等式x﹣1≠0，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得，x≠1，
故答案为：x≠1．
9．（2分）分解因式a（x﹣1）2﹣a（x﹣1）的结果是 a（x﹣1）（x﹣2） ．
【分析】直接找出公因式进而提取分解因式即可．
【解答】解：a（x﹣1）2﹣a（x﹣1）
＝a（x﹣1）（x﹣1﹣1）
＝a（x﹣1）（x﹣2）．
故答案为：a（x﹣1）（x﹣2）．
10．（2分）计算（﹣）×的结果是 ﹣ ．
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（﹣）×
＝×﹣
＝﹣2
＝﹣．
故答案为：﹣．
11．（2分）设x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则x12x2+x1x22＝ ﹣ ．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝，x1x2＝﹣1，将其代入x12x2+x1x22＝x1x2（x1+x2）中即可求出结论．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣1，
∴x12x2+x1x22＝x1x2（x1+x2）＝﹣1×＝﹣．
故答案为：﹣．
12．（2分）如图，过原点O的直线与反比例函数y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象分别交于点A1，A2，若＝，则＝ ．
【分析】△OA1N∽△OA2M，根据三角形相似比的平方等于面积比，即可求解．
【解答】解：分别过点A1、A2作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
则△OA1N∽△OA2M，
∵＝，即两个三角形的相似比为3：2，
则△OA2M和△OA1N的面积比为：9：4，
而＝＝，
故答案为：．
13．（2分）一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是 60（1﹣x）2＝48 ．
【分析】先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降价的百分率）＝48，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为60×（1﹣x）元，第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为60×（1﹣x）×（1﹣x）元，所以可列方程为60（1﹣x）2＝48．
故答案为60（1﹣x）2＝48．
14．（2分）如图，⊙O的半径为2，将⊙O沿弦AB折叠得到，且恰好经过圆心O，则
新月形阴影部分的面积为 π+2 ．
【分析】根据题意和图形，可以求得弓形ACB的面积，然后即可用圆的面积减去两个弓形的面积，即可得到新月形阴影部分的面积．
【解答】解：作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，连接OA，OB，
由折叠的性质可知，OD＝CD，
∵∠ODA＝90°，
∴cs∠AOD＝，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，AD＝，
∴AB＝2，
∴弓形ACB的面积是：＝﹣，
∴新月形阴影部分的面积为：π×22﹣（﹣）×2＝+2，
故答案为：+2．
15．（2分）如图，点O为正五边形的中心，⊙O与正五边形的每条边都相交，则∠1＝ 108° ．
【分析】设AB与CD交于点P，连接OA、OB、OC、OD、OE、BC，由正五边形的中心与⊙O的圆心重合，得出图形是轴对称图形，则∠AOC＝∠COB＝∠BOE＝∠EOD＝∠AOD＝72°，由圆周角定理得出∠ABC＝∠AOC，∠BCD＝∠BOD，即可得出结果．
【解答】解：设AB与CD交于点P，连接OA、OB、OC、OD、OE、BC，如图所示：
∵正五边形的中心与⊙O的圆心重合，
∴图形是轴对称图形，
∴∠AOC＝∠COB＝∠BOE＝∠EOD＝∠AOD＝＝72°，
∵∠ABC＝∠AOC＝×72°＝36°，∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝72°+72°＝144°，∠BCD＝∠BOD＝×144°＝72°，
∴∠APC＝∠PBC+∠BCP＝36°+72°＝108°，即∠1＝108°，
故答案为：108°．
16．（2分）已知等边△ABC的边长为，直线l经过点A，点B关于直线l的对称点为B′，若BB′＝2，则CB′＝ +1或﹣1 ．
【分析】如图，过点B′作B′J⊥CB交CB的延长线于J，交直线l于K，连接BK，设直线l交BB′于H．首先证明∠ABH＝45°，推出∠JBB′＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∠JB′B＝15°，推出∠JKB＝∠KB′B+∠KBB′＝30°，设BJ＝a，则BK＝KB′＝2a，KJ＝a，根据BJ2+JB′2＝BB′2，构建方程求出a即可解决问题，当点B′在点B的右侧时，同法可求．
【解答】解：如图，过点B′作B′J⊥CB交CB的延长线于J，交直线l于K，连接BK，设直线l交BB′于H．
∵B，B′关于直线l对称，
∴直线l垂直平分线段BB′，
∴BK＝KB′，∠AHB＝90°，BH＝HB′＝1，
∴AH＝＝＝1，
∴AH＝BH＝1，
∴∠ABH＝45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠JBB′＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵∠J＝90°，
∴∠JB′B＝15°，
∴∠KB′B＝∠KBB′＝15°，
∴∠JKB＝∠KB′B+∠KBB′＝30°，设BJ＝a，则BK＝KB′＝2a，KJ＝a，
∵BJ2+JB′2＝BB′2，
∴a2+（2a+a）2＝4，
∴a＝，
∴CJ＝+＝，JB′＝（2+）×＝，
∴CJ＝JB′，
∴CB′＝CJ＝+1．
当点B′在点B的右侧时，同法可得CB′＝﹣1
故答案为+1或﹣1．
三、解答题（共11题，共88分）[2x+3≤x+5，
17．（8分）解关于x的不等式组并把解集表示在所给数轴上．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+3≤x+5，得：x≤2，
解不等式＜2+x，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
18．（7分）先化简，再求值：（1+）÷（﹣m），其中m＝1﹣．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当m＝1﹣时，
原式＝
＝
＝．
19．（8分）某班有甲、乙两名同学报名参加100米跑步比赛，他们在赛前进行了10次训练．将两人的10次训练成绩分别绘制成如图统计图．
（1）根据统计图把下列表格补充完整：
（2）从两个不同角度评价甲、乙两名同学的训练成绩．
【分析】（1）根据方差计算公式求出甲的方差即可；根据扇形统计图可求乙跑进15s以内（不包括15s）的占比；
（2）从平均数与方差，或从跑进15s以内（不包括15s）的占比与最好成绩两个不同角度评价即可．
【解答】解：（1）甲同学10次训练的成绩为：15.0，14.7，15.3，15.0，14.8，14.9，15.5，14.7，14.8，15.3，平均数为15，
所以方差为：[2×（14.7﹣15）2+2×（14.8﹣15）2+（14.9﹣15）2+2×（15.0﹣15）2+2×（15.3﹣15）2+（15.5﹣15）2]＝0.07，
乙跑进15s以内（不包括15s）的占比为：×100%＝40%．
故答案为：0.07，40%；
（2）两人训练成绩的平均数都是15s，说明两人成绩整体实力相当；
甲的方差大于乙的方差，说明乙的成绩更加稳定．
或：甲跑进15s以内的占比多于乙，且甲的最快速度比乙快，说明甲更加有可能创造出好成绩．
20．（7分）某校对高一新生随机摇号分班，一共分4个班，班号分别为1班、2班、3班、4班，甲、乙两人是该校的高一新生．
（1）甲恰好被分在1班的概率为 ；
（2）求甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率．
【分析】（1）根据概率公式即可求出甲恰好被分在1班的概率；
（2）根据题意画出树状图即可求甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率．
【解答】解：（1）根据题意可知：
甲恰好被分在1班的概率为；
故答案为：；
（2）根据题意画出树状图为：
所有可能的结果有16种，
甲、乙被分在班号连续的两个班级的结果有6种，分别为：
1，2；2，1；2，3；3，2；3，4；4，3．
所以甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率为＝．
21．（7分）甲、乙两人分别从距目的地8km和14km的两地同时出发，甲、乙的速度比是2：3，结果甲比乙提前20min到达目的地，求甲、乙的速度．
【分析】设甲的速度为2x千米/小时，乙的速度为3x千米/小时，根据题意可得：甲走8km比乙走14km少用20min，列方程求解．
【解答】解：设甲的速度为2x千米/小时，乙的速度为3x千米/小时，
依题意得：+＝，
解得：x＝2，
经检验：x＝2是分式方程的解，
则2x＝4，3x＝6．
答：甲的速度为4千米/小时，乙的速度为6千米/小时．
22．（8分）如图，在▱ABCD中，E、G分别是AB、CD的中点，且AH＝CF，AH∥CF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）连接FH，若FH＝AD，求证：四边形EFGH是矩形．
【分析】（1）延长AH交CD于点P，延长CF交AB于Q，证明四边形APCQ是平行四边形，得出∠HAE＝∠FCG，由SAS即可证得△AHE≌△CFG；
（2）连接FH、EG，易证四边形EFGH和四边形ADGE都是平行四边形，得出EG＝FH，即可得出结论．
【解答】证明：（1）延长AH交CD于点P，延长CF交AB于Q，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴AQ∥CP，
∵AH∥CF，
∴四边形APCQ是平行四边形，
∴∠HAE＝∠FCG，
∵E、G分别是AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CG＝CD，
∴AE＝CG，
在△AHE和△CFG中，，
∴△AHE≌△CFG（SAS）；
（2）连接FH、EG，
∵AH∥CF，
∴∠AHF＝∠HFC，
由（1）得：∠AHE＝∠CFG，HE＝FG，
∴∠AHF﹣∠AHE＝∠HFC﹣∠CFG，即∠EHF＝∠GFH，
∴HE∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
由（1）得：AE＝DG，AB∥CD，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴AD＝EG，
又∵FH＝AD，
∴EG＝FH，
∴四边形EFGH是矩形．
23．（8分）已知一次函数y1＝2x+m（m为常数）和y2＝﹣x+1．
（1）当m＝2时，若y1＞y2，求x的取值范围；
（2）当x1＞1时，y1＞y2；当x1＜1时，y1＜y2，则m的值是 ﹣2 ．
（3）判断函数y＝y1•y2的图象与x轴的交点个数情况，并说明理由．
【分析】（1）把m＝2代入y1＝2x+m，可得y1＝2x+2，根据y1＞y2，得出不等式2x+2＞﹣x+1，解不等式即可；
（2）根据条件得出＝1，即可求出m的值；
（3）把y1＝2x+m（m为常数）和y2＝﹣x+1代入y＝y1•y2，令y＝0，求出x1＝﹣，x2＝1，再分﹣＝1与﹣≠1两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）当m＝2时，y1＝2x+2，
∵y1＞y2，y2＝﹣x+1，
∴2x+2＞﹣x+1，
解得x＞﹣；
（2）如果y1＞y2，那么2x+m＞﹣x+1，解得x＞，
如果y1＜y2，那么2x+m＜﹣x+1，解得x＜，
∵当x1＞1时，y1＞y2；当x1＜1时，y1＜y2，
∴＝1，
解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2；
（3）y＝y1•y2＝（2x+m）（﹣x+1），
令y＝0，则（2x+m）（﹣x+1）＝0，解得x1＝﹣，x2＝1，
当﹣＝1，即m＝﹣2时，该方程有两个相等的实数根，则函数图象与x轴只有一个交点；
当﹣≠1，即m≠﹣2时，该方程有两个不相等的实数根，则函数图象与x轴有两个交点．
24．（7分）如图，某工地有一辆底座为AB的吊车，吊车从水平地面C处吊起货物，此时测得吊臂AC与水平线的夹角为18°，将货物吊至D处时，测得吊臂AD与水平线的夹角为53°，且吊臂转动过程中长度始终保持不变，此时D处离水平地面的高度DE＝11m，求吊臂的长．
（参考数据：sin18°≈0.30，cs18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
【分析】过点A做AF⊥DE，垂足为F，设AD＝AC＝x，根据锐角三角函数的定义以及图形中的等量关系列出方程即可求出答案．
【解答】解：过点A做AF⊥DE，垂足为F，
设AD＝AC＝x，
在Rt△AFD中，
∠DAF＝53°，
∴sin∠DAF＝，
∴DF＝ADsin∠DAF＝xsin53°，
在Rt△ABC中，
∠C＝18°，
∴sinC＝，
∴AB＝ACsinC＝xsin18°，
在矩形AEFB中，
AB＝EF＝xsin18°，
∵DE＝DF+EF，
∴11＝xsin53°+xsin18°，
∴x＝≈＝10，
所以吊臂长为10m．
25．（9分）商家销售某种商品，每件成本50元．经市场调研，当售价为60元时，可销售300件；售价每增加1元，销售量将减少10件．为了提高销售量，当售价为80元时，网络主播直播带货，此时售价每增加1元，需支付给主播300元．物价局对该商家聘请问此商品规定：售价最高不超过110元．如图中的折线ABC表示该商品的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元）之间的函数关系．
（1）求线段BC对应的函数表达式；
（2）当售价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）直播带货后，售价至少为 100 元，该商家获得的利润不低于直播带货前的最大利润．
【分析】（1）当x＝80时，y＝300﹣10×（80﹣60）＝100，即点B（80，100），设线段BC的表达式为：y＝kx+b，将点（80，100）、（110，250）代入上式，即可求解；
（2）当60≤x≤80时，w＝（x﹣50）（﹣10x+900）＝﹣10（x﹣70）2+4000，当80≤x≤110时，w＝（x﹣50）（5x﹣300）＝5（x﹣85）2+2875，分别求取最大值，即可求解；
（3）由题意得：5（x﹣85）2+2875≥4000（80≤x≤110），即可求解．
【解答】解：（1）当x＝80时，y＝300﹣10×（80﹣60）＝100，即点B（80，100），
设线段BC的表达式为：y＝kx+b，
将点（80，100）、（110，250）代入上式得：，解得，
故函数的表达式为：y＝5x﹣300；
（2）同理可得：线段AB对应函数表达式为：y＝﹣10x+900，
设获得的利润为w元，
当60≤x≤80时，w＝（x﹣50）（﹣10x+900）＝﹣10（x﹣70）2+4000，当x＝70时，w的值最大，最大值为4000；
当80≤x≤110时，w＝（x﹣50）（5x﹣300）﹣300（x﹣80）＝5（x﹣85）2+2875，当x＝110时，w取得最大值为6000，
故当80≤x≤85时，w随x的增大而减小，即w≤3000，
当85≤x≤110时，w随x的增大而增大，即w≤6000．
故当x＝110时，w的值最大；
综上，当售价为110元时，该商家获得的利润最大，最大利润为6000；
（3）由题意得：5（x﹣85）2+2875≥4000（80≤x≤110），
解得：x≥100或x≤70（舍去x≤70），
故答案为：100．
26．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，过点D作DE∥AB，交AC于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点F，经过点D、E、F的⊙O与AB、BC的另一个公共点分别为G、H，连接EG、EH、GH．
（1）求证：△EGH∽△ABC；
（2）若AB＝15，BC＝10，
①当BG＝2时，求DH的长；
②若ED恰为⊙O的直径，则BD的长为 ．
【分析】（1）根据四边形EFGH是⊙O的内角四边形，可以证明△EGH∽△ABC；
（2）①根据AB＝15，BC＝10，和△CEH∽△BHG，当BG＝2时，可得CH＝3，再根据四边形EFGH是⊙O的内角四边形，证明△EHG∽△DBG，进而可求DH的长；
②根据ED恰为⊙O的直径，设BG＝2a，则CH＝3a，BH＝6a，可得BC＝CH+BH＝9a，根据锐角三角函数即可得BD的长．
【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是⊙O的内角四边形，
∴∠EFA＝∠EHG，
∵∠EGH和∠EDH是同弧所对圆周角，
∴∠EGH＝∠EDH，
∵DE∥AB，EF∥BC，
∴∠EFA＝∠B，∠EDH＝∠B，
∴∠EGH＝∠EHG＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠EHG，∠B＝∠EGH，
∴△EGH∽△ABC；
（2）解：AB＝15，BC＝10，
①如图，连接DG，
∵∠CHE+∠BHG+∠EHG＝180°，
∠CHE+∠CEH+∠C＝180°，
∴∠CEH＝∠BHG，
在△CEH和△BHG中，
∠CEH＝∠BNG，∠C＝∠B，
∴△CEH∽△BHG，
∴＝，
由（1）知：＝＝＝，
∴＝，
∵BG＝2，
∴CH＝3，
∵四边形EFGH是⊙O的内角四边形，
∴∠GDB＝∠GEH，
∵∠EHG＝∠B，
∴△EHG∽△DBG，
∴＝，
∴＝＝，
∵BG＝2，
∴BD＝3，
∴DH＝BC﹣BD﹣CH＝10﹣3﹣3＝4．
答：DH的长为4；
②如图，设ED与GH交于点M，
∵EG＝EH，ED恰为⊙O的直径，
∴DE⊥GH，
∴MH＝MG，DH＝DG，
∴＝，
∴＝，
∴＝3，
∵DE∥AB，DE⊥HG，
∴HG⊥AB，
∴sin∠GHD＝sin∠GED＝＝，
∴＝，
∵＝，
∴设BG＝2a，则CH＝3a，BH＝6a，
∴BC＝CH+BH＝9a，
∵BC＝10，
∴a＝，
∴BH＝，
∵DG＝DH，
∴∠DHG＝∠DGH，
∵∠DHG+∠B＝90°，
∠DGH+∠DGB＝90°，
∴∠B＝∠DGB，
∴DG＝DB，
∴DH＝DG＝BD＝BH＝．
∴BD的长为．
故答案为：．
27．（10分）【数学问题】
如图①，⊙O是△ABC的外接圆，P是△ABC的内心，连接CP并延长交⊙O于点D，连接DA．
（1）求证：DA＝DP；
（2）若AB＝8，tan∠ACB＝，当点C在上运动时，O、P两点之间距离的最小值为 5﹣2 ．
【问题解决】如图②，有一个半径为25m的圆形广场，点O为圆心，点P处有一座雕像，且O、P两点之间的距离为5m．现要在圆形广场上修建一个三角形水池，使⊙O是三角形的外接圆，点P是三角形的内心．
（3）请用直尺和圆规在图②中作出一个满足修建要求的三角形；（保留作图痕迹，不写作法）
（4）对于满足修建要求的三角形水池，若三角形水池其中一条边的长度为xm，发现能作出的三角形的个数随着x的值变化而变化…请你探索，直接写出能作出的三角形的个数及对应的x的取值范围．
【分析】（1）连接AP，根据三角形外角性质及三角形内心性质可得结论；
（2）由作法知AO并延长交⊙O于E，由圆周角定理及三角函数得AE＝10，BE＝6，连接OD交AB于F，然后根据三角形中位线定理可得答案；
（3）过P作任意直线，交⊙O于MN，用圆规得到NP长度，并以N为圆心，NP长为半径作圆交⊙O于R，S，连接RS，RM，SM，所得△RSM即为满足要求的三角形；
（4）由题意，此三角形三边是可互相代替的，故考察其中一边即可，任取三角形一边命名为弦AB，取中点D，连接DP并延长交⊙O于点C，得△ABC，若此三角形满足条件，则有DA＝DP＝DB，AB随AD增大而增长，随DP增大而增大，分①当DP最大时，AB取得最大值，②当DP最小时，AB取最大值，③8，则必有以OP所在直线为对称轴的两种作法，三种情况可得答案．
【解答】（1）证明：连接AP，
∵∠APD＝∠PCA+∠PAC，∠PAD＝∠PAB+∠DAB，
∵P是△ABC的内心，
∴∠PCA＝∠PCB＝∠BAD，∠PAC＝∠PAB，
∴∠APD＝∠PAD，
∴DA＝DP．
（2）解：如图：
由作法知AO并延长交⊙O于E，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∵AB＝8，tan∠AEB＝tan∠ACB＝，
∴AE＝10，BE＝6，
连接OD交AB于F，
∴AO＝＝5，OF为△ABE的中位线，
∴OF＝＝3，AF＝4，DF＝2，
∴，
∵OP+PD≥OD，
∴OP+PD≥5，
由（1）知，PD＝AD＝2，
∴OP+2，OP，
∴OP最小值为5﹣2．
故最小值为：5﹣2．
（3）解：过P作任意直线，交⊙O于MN，用圆规得到NP长度，并以N为圆心，NP长为半径作圆交⊙O于R，S，连接RS，RM，SM，所得△RSM即为满足要求的三角形，
证明：由作法知：NR＝NP＝NS，
∴∠NRP＝∠NPR，
∴∠NRS+∠SRP＝∠NMR+∠MRP，
∵NR＝NS，
∴，
∴∠RMN＝∠SMN，
∴MN平分∠RMS，
∵∠NRS＝∠NMS＝∠RMN，
∴∠SRP＝∠MRP，
∴RP平分∠SRM，
∴P为△RMS内心．
（4）由题意，此三角形三边是可互相代替的，故考查其中一边即可，任取三角形一边命名为弦AB，取中点D，连接DP并延长交⊙O于点C，得△ABC，若此三角形满足条件，则有DA＝DP＝DB，AB随AD增大而增长，随DP增大而增大，
①当DP最大时，AB取得最大值，设AB、CD交于点E，
∵D是的中点，
∴，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠BAD，
∵∠ADE＝∠CDA，
∴△DAE～△DCA，
∴AD2＝DE•DC，AD＝DP＝30，DC＝50，
∴DE＝18，AE＝，AB＝48．
②当DP最小时，AB取最大值，同①可得，AB＝8，
显然①②只有一种作法，
③8，则必有以OP所在直线为对称轴的两种作法，
综上，三角形的个数为0，x＞48或x；
三角形的个数为1，x＝48 或x＝8；
三角形的个数为2，8．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/4/30 21:32:26；用户：木讷；邮箱：ca168@xyh.cm；学号：29163119x
…
﹣4
﹣2
2
4
…
y
…
﹣2
m
n
2
…
平均数（s）
方差（s2）
跑进15s以内（不包括15s）的占比
甲
15
①
50%
乙
15
0.038
②
x
…
﹣4
﹣2
2
4
…
y
…
﹣2
m
n
2
…
平均数（s）
方差（s2）
跑进15s以内（不包括15s）的占比
甲
15
① 0.07
50%
乙
15
0.038
② 40%