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2020-2021学年4.7 数学建模活动:生长规律的描述同步达标检测题
展开这是一份2020-2021学年4.7 数学建模活动:生长规律的描述同步达标检测题,共6页。试卷主要包含了699,lg 3≈0,72,由于10更接近10等内容,欢迎下载使用。
必备知识基础练
1.某单位职工工资经过六年翻了三番,则每年比上一年平均增长的百分率是( )
(下列数据仅供参考:eq \r(2)=1.41,eq \r(3)=1.73,eq \r(3,3)=1.44,eq \r(6,6)=1.38)
A.38% B.41%
C.44% D.73%
2.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(N,90)))中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.则当N=40时,t=________.(已知lg 5≈0.699,lg 3≈0.477)
3.某药厂研制出一种新型药剂,投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y=xα(α为常数),其中x不超过5万元,已知去年投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,若今年广告费用投入5万元,预计今年药品利润为________万元.
4.小明的父亲饭后出去散步,从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后,用20分钟返回家里,下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )
5.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
现构建一个销售这种空调的函数模型,应是下列函数中的( )
A.y=lg2x B.y=2x
C.y=x2 D.y=2x
6.某汽车制造商在2019年初公告:公司计划2019年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示:
如果我们分别将2016、2017、2018、2019定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系?
关键能力综合练
一、选择题
1.春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,当荷叶覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了( )
A.10天 B.15天
C.19天 D.2天
2.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=mlg2(x+1),设这种动物第一年有200只,到第7年它们发展到( )
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
3.某人2016年1月1日到银行存入a元,年利率为x,若按复利计算,则到2021年1月1日可取款( )
A.a(1+x)5元 B.a(1+x)4元
C.[a+(1+x)5]元 D.a(1+x5)元
4.某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是( )
A.y=100x B.y=50x2-50x+100
C.y=50×2x D.y=100lg2x+100
5.(易错题)某城市出租车起步价为10元,最远可租乘3 km(含3 km),以后每1 km增加1.6元(不足1 km按1 km计费),则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为( )
6.某个体企业的一个车间去年有8名工人,每人年薪为1万元,从今年起,计划每人的年薪比上一年增加20%;另外,每年新招3名工人,每名新工人第一年的年薪为8千元,第二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年,那么,将第n年企业付给工人的工资总额y(单位:万元)表示成n的函数,其表达式为( )
A.y=(3n+5)×1.2n+2.4
B.y=8×1.2n+2.4n
C.y=(3n+8)×1.2n+2.4
D.y=(3n+5)×1.2n-1+2.4
二、填空题
7.现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为函数模型.
8.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车.(精确到1小时,参考数据lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
9.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的专家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5lg2eq \f(q,10)(m/s),其中q表示燕子的耗氧量,则燕子静止时的耗氧量为________.当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时,其速度是________.
三、解答题
10.(探究题)一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少需保留原面积的eq \f(1,4),已知到今年为止,森林剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2).
(1)求每年砍伐面积的百分比;
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
(3)今后最多还能砍伐多少年?
学科素养升级练
1.(多选题)如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像.由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议,如图2,3所示.你能根据图像判断下列说法错误的是( )
①图2的建议为减少运营成本
②图2的建议可能是提高票价
③图3的建议为减少运营成本
④图3的建议可能是提高票价
A.① B.②
C.③ D.④
2.某公司为了实现1 000万元的利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且资金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过5万元,同时资金数额不超过利润的25%,其中下列模型中能符合公司要求的是________.(参考数据:1.003600≈6,lg 7≈0.845)
①y=0.025x;②y=1.003x;③y=1+lg7x;④y=eq \f(1,4 000)x2.
3.(学科素养—数学建模)在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的试验:将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据,其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克.联想到教科书中研究“物体冷却”的问题,小明发现可以用指数型函数S=ae-kt(a,k是常数)来描述以上糖块的溶解过程,其中S(单位:克)代表t分钟末未溶解糖块的质量.
(1)a=________.
(2)求k的值.
(3)设这个试验中t分钟末已溶解的糖块的质量为M,请画出M随t变化的函数关系的草图,并简要描述试验中糖块的溶解过程.
4.6 函数的应用(二)
4.7 数学建模活动:生长规律的描述
必备知识基础练
1.解析:设年平均增长率为p,由题意得(1+p)6=23,1+p=eq \r(2)=1.41,∴p=0.41.故选B.
答案:B
2.解析:当N=40时,t=-144lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(40,90)))=-144lgeq \f(5,9)=-144(lg 5-2lg 3)≈36.72.
答案:36.72
3.解析:由已知投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,代入y=xα中,即3α=27,解得α=3,故函数解析式为y=x3,所以当x=5时,y=125.
答案:125
4.解析:20至30分钟时距离没有变化.故选D.
答案:D
5.解析:把x=1,2,3,4代入,只有y=2x的值最接近表格中的对应值.
答案:B
6.解析:建立年销量y与年份x的函数,可知函数必过点(1,8),(2,18),(3,30).
①构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
将点坐标代入,
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a+b+c=8,,4a+2b+c=18,,9a+3b+c=30,))
解得a=1,b=7,c=0,
则f(x)=x2+7x,
故f(4)=44,与计划误差为1.
②构造指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),
将点坐标代入,可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab+c=8,,ab2+c=18,,ab3+c=30,))
解得a=eq \f(125,3),b=eq \f(6,5),c=-42,
则g(x)=eq \f(125,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)))x-42,
故g(4)=eq \f(125,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)))4-42=44.4,与计划误差为1.4.
由①②可得,f(x)=x2+7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系.
关键能力综合练
1.解析:当荷叶生长20天时,长满水面,所以生长19天时,荷叶覆盖水面面积的一半.
答案:C
2.解析:由已知第一年有200只,得m=200.
将m=200,x=7代入y=mlg2(x+1),
得y=600.
答案:D
3.解析:2016年1月1日到银行存入a元,到2017年1月1日本息共a(1+x)元,作为本金转入下一个周期,到2018年1月1日本息共a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元,因此,到2021年1月1日可取款a(1+x)5元,故选A.
答案:A
4.解析:由题意,对于A中的函数,当x=3或4时,误差较大.对于B中的函数,当x=4时,误差也较大.对于C中的函数,当x=1,2,3时,误差为0,x=4时,误差为10,误差很小.对于D中的函数,当x=4时,y=300,与实际值790相差很大.综上,只有C中的函数误差最小.故选C.
答案:C
5.解析:出租车起步价为10元(最远3 km的行程),即在(0,3]内对应y值为10,以后每1 km增加1.6元,故选C.
答案:C
6.解析:第一年企业付给工人的工资总额为1×1.2×8+0.8×3=9.6+2.4=12(万元),而对于4个选项而言,当n=1时,C,D相对应的函数值均不为12,故可排除C,D.再考虑第二年企业付给工人的工资总额,第二年有11个老工人,3个新工人,工资总额为(11×1.22+2.4)万元,故选A.
答案:A
7.解析:将x=3分别代入y=x2+1及y=3x-1中,得y=32+1=10,y=3×3-1=8.由于10更接近10.2,所以选用甲模型.
答案:甲
8.解析:设经过n小时后才能开车,此时酒精含量为0.3(1-0.25)n.根据题意,有0.3(1-0.25)n≤0.09,在不等式两边取常用对数,则有nlgeq \f(3,4)=n(lg 3-2lg 2)≤lg 0.3=lg 3-1,将已知数据代入,得n(0.48-0.6)≤0.48-1,解得n≥eq \f(13,3)=4eq \f(1,3),故至少经过5小时才能开车.
答案:5
9.解析:由题意,燕子静止时v=0,即5lg2eq \f(q,10)=0,解得q=10;当q=80时,v=5lg2eq \f(80,10)=15(m/s).
答案:10 15 m/s
10.解析:(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0
解得x=1-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).
(2)设经过m年剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2),则
a(1-x)m=eq \f(\r(2),2)a,即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))),eq \f(m,10)=eq \f(1,2),
解得m=5,
故到今年为止,已砍伐了5年.
(3)设从今年开始,以后砍了n年.
则n年后剩余面积为eq \f(\r(2),2)a(1-x)n.
令eq \f(\r(2),2)a(1-x)n≥eq \f(1,4)a,即(1-x)n≥eq \f(\r(2),4),
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))),eq \f(n,10)≤eq \f(3,2),解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年.
学科素养升级练
1.解析:根据题意和图2知,两直线平行即票价不变,直线向上平移说明当乘客量为0时,收入是0但是支出的变少了,即说明了此建议是降低成本而保持票价不变;由图3看出,当乘客量为0时,支出不变,但是直线的倾斜角变大,即相同的乘客量时收入变大,即票价提高了,即说明了此建议是提高票价而保持成本不变,综上可得①④正确,②③错误.
答案:BC
2.解析:由题意知,符合公司要求的模型只需满足:
当x∈[10,1 000]时,
(ⅰ)函数为增函数;
(ⅱ)函数的最大值不超过5;
(ⅲ)y≤x·25%=eq \f(1,4)x,
①中,函数y=0.025x,易知满足(ⅰ),但当x>200时,y>5不满足公司要求;
②中,函数y=1.003x,易知满足(ⅰ),但当x>600时,y>5不满足公司要求;
③中,函数y=1+lg7x,易知满足(ⅰ),且当x=1 000时,y取最大值1+lg71 000=1+eq \f(3,lg 7)<5,且1+lg7x≤eq \f(1,4)x恒成立,故满足公司要求;
④中,函数y=eq \f(1,4 000)x2,易知满足(ⅰ),但当x=400时,y>5不满足公司要求.
答案:③
3.解析:(1)由题意,t=0,S=a=7.
(2)因为5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克,
所以3.5=7e-5k,解得k=eq \f(ln 2,5).
(3)M随t变化的函数关系的草图如图所示.
溶解过程,随着时间的增加,逐渐溶解,溶解的速度越来越慢.时间
1
2
3
4
利润(千元)
2
3.98
8.01
15.99
年份
2016
2017
2018
产量
8(万)
18(万)
30(万)
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