2020-2021学年4.7 数学建模活动:生长规律的描述同步达标检测题

这是一份2020-2021学年4.7 数学建模活动:生长规律的描述同步达标检测题，共6页。试卷主要包含了699，lg 3≈0，72，由于10更接近10等内容，欢迎下载使用。

必备知识基础练
1.某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是( )
(下列数据仅供参考：eq \r(2)＝1.41，eq \r(3)＝1.73，eq \r(3,3)＝1.44，eq \r(6,6)＝1.38)
A．38% B．41%
C．44% D．73%
2．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(N,90)))中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________.(已知lg 5≈0.699，lg 3≈0.477)
3．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元.
4.小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )
5．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示．
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( )
A．y＝lg2x B．y＝2x
C．y＝x2 D．y＝2x
6．某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
如果我们分别将2016、2017、2018、2019定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？
关键能力综合练
一、选择题
1．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )
A．10天 B．15天
C．19天 D．2天
2．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝mlg2(x＋1)，设这种动物第一年有200只，到第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
3．某人2016年1月1日到银行存入a元，年利率为x，若按复利计算，则到2021年1月1日可取款( )
A．a(1＋x)5元 B．a(1＋x)4元
C．[a＋(1＋x)5]元 D．a(1＋x5)元
4．某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100lg2x＋100
5．(易错题)某城市出租车起步价为10元，最远可租乘3 km(含3 km)，以后每1 km增加1.6元(不足1 km按1 km计费)，则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为( )
6．某个体企业的一个车间去年有8名工人，每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪比上一年增加20%；另外，每年新招3名工人，每名新工人第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么，将第n年企业付给工人的工资总额y(单位：万元)表示成n的函数，其表达式为( )
A．y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4
B．y＝8×1.2n＋2.4n
C．y＝(3n＋8)×1.2n＋2.4
D．y＝(3n＋5)×1.2n－1＋2.4
二、填空题
7．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．
8．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
9．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v＝5lg2eq \f(q,10)(m/s)，其中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为________．当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是________．
三、解答题
10．(探究题)一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少需保留原面积的eq \f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2).
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
学科素养升级练
1．(多选题)如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2,3所示．你能根据图像判断下列说法错误的是( )
①图2的建议为减少运营成本
②图2的建议可能是提高票价
③图3的建议为减少运营成本
④图3的建议可能是提高票价
A．① B．②
C．③ D．④
2．某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时资金数额不超过利润的25%，其中下列模型中能符合公司要求的是________．(参考数据：1.003600≈6，lg 7≈0.845)
①y＝0.025x；②y＝1.003x；③y＝1＋lg7x；④y＝eq \f(1,4 000)x2.
3．(学科素养—数学建模)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验：将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克．联想到教科书中研究“物体冷却”的问题，小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k是常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量．
(1)a＝________.
(2)求k的值．
(3)设这个试验中t分钟末已溶解的糖块的质量为M，请画出M随t变化的函数关系的草图，并简要描述试验中糖块的溶解过程．
4．6 函数的应用(二)
4．7 数学建模活动：生长规律的描述
必备知识基础练
1．解析：设年平均增长率为p，由题意得(1＋p)6＝23,1＋p＝eq \r(2)＝1.41，∴p＝0.41.故选B.
答案：B
2．解析：当N＝40时，t＝－144lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(40,90)))＝－144lgeq \f(5,9)＝－144(lg 5－2lg 3)≈36.72.
答案：36.72
3．解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.
答案：125
4．解析：20至30分钟时距离没有变化．故选D.
答案：D
5．解析：把x＝1,2,3,4代入，只有y＝2x的值最接近表格中的对应值．
答案：B
6．解析：建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．
①构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
将点坐标代入，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝8，,4a＋2b＋c＝18，,9a＋3b＋c＝30，))
解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f(x)＝x2＋7x，
故f(4)＝44，与计划误差为1.
②构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
将点坐标代入，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＋c＝8，,ab2＋c＝18，,ab3＋c＝30，))
解得a＝eq \f(125,3)，b＝eq \f(6,5)，c＝－42，
则g(x)＝eq \f(125,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)))x－42，
故g(4)＝eq \f(125,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)))4－42＝44.4，与计划误差为1.4.
由①②可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系．
关键能力综合练
1．解析：当荷叶生长20天时，长满水面，所以生长19天时，荷叶覆盖水面面积的一半．
答案：C
2．解析：由已知第一年有200只，得m＝200.
将m＝200，x＝7代入y＝mlg2(x＋1)，
得y＝600.
答案：D
3．解析：2016年1月1日到银行存入a元，到2017年1月1日本息共a(1＋x)元，作为本金转入下一个周期，到2018年1月1日本息共a(1＋x)(1＋x)＝a(1＋x)2元，因此，到2021年1月1日可取款a(1＋x)5元，故选A.
答案：A
4．解析：由题意，对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大．对于B中的函数，当x＝4时，误差也较大．对于C中的函数，当x＝1,2,3时，误差为0，x＝4时，误差为10，误差很小．对于D中的函数，当x＝4时，y＝300，与实际值790相差很大．综上，只有C中的函数误差最小．故选C.
答案：C
5．解析：出租车起步价为10元(最远3 km的行程)，即在(0,3]内对应y值为10，以后每1 km增加1.6元，故选C.
答案：C
6．解析：第一年企业付给工人的工资总额为1×1.2×8＋0.8×3＝9.6＋2.4＝12(万元)，而对于4个选项而言，当n＝1时，C，D相对应的函数值均不为12，故可排除C，D.再考虑第二年企业付给工人的工资总额，第二年有11个老工人，3个新工人，工资总额为(11×1.22＋2.4)万元，故选A.
答案：A
7．解析：将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1中，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型．
答案：甲
8．解析：设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.根据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，在不等式两边取常用对数，则有nlgeq \f(3,4)＝n(lg 3－2lg 2)≤lg 0.3＝lg 3－1，将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥eq \f(13,3)＝4eq \f(1,3)，故至少经过5小时才能开车．
答案：5
9．解析：由题意，燕子静止时v＝0，即5lg2eq \f(q,10)＝0，解得q＝10；当q＝80时，v＝5lg2eq \f(80,10)＝15(m/s)．
答案：10 15 m/s
10．解析：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0则a(1－x)10＝eq \f(1,2)a，即(1－x)10＝eq \f(1,2)，
解得x＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).
(2)设经过m年剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2)，则
a(1－x)m＝eq \f(\r(2),2)a，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，eq \f(m,10)＝eq \f(1,2)，
解得m＝5，
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n年．
则n年后剩余面积为eq \f(\r(2),2)a(1－x)n.
令eq \f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq \f(1,4)a，即(1－x)n≥eq \f(\r(2),4)，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，eq \f(n,10)≤eq \f(3,2)，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
学科素养升级练
1．解析：根据题意和图2知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图3看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得①④正确，②③错误．
答案：BC
2．解析：由题意知，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10,1 000]时，
(ⅰ)函数为增函数；
(ⅱ)函数的最大值不超过5；
(ⅲ)y≤x·25%＝eq \f(1,4)x，
①中，函数y＝0.025x，易知满足(ⅰ)，但当x>200时，y>5不满足公司要求；
②中，函数y＝1.003x，易知满足(ⅰ)，但当x>600时，y>5不满足公司要求；
③中，函数y＝1＋lg7x，易知满足(ⅰ)，且当x＝1 000时，y取最大值1＋lg71 000＝1＋eq \f(3,lg 7)<5，且1＋lg7x≤eq \f(1,4)x恒成立，故满足公司要求；
④中，函数y＝eq \f(1,4 000)x2，易知满足(ⅰ)，但当x＝400时，y>5不满足公司要求．
答案：③
3．解析：(1)由题意，t＝0，S＝a＝7.
(2)因为5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，
所以3.5＝7e－5k，解得k＝eq \f(ln 2,5).
(3)M随t变化的函数关系的草图如图所示．
溶解过程，随着时间的增加，逐渐溶解，溶解的速度越来越慢．时间
1
2
3
4
利润(千元)
2
3.98
8.01
15.99
年份
2016
2017
2018
产量
8(万)
18(万)
30(万)