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高中人教B版 (2019)5.3.2 事件之间的关系与运算同步训练题
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这是一份高中人教B版 (2019)5.3.2 事件之间的关系与运算同步训练题，共21页。
5.3.2 事件之间的关系与运算
知识点一 事件的运算
1．掷一个质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为1}，事件F＝{向上的点数为5}，事件G＝{向上的点数为1或5}，则有( )
A．E⊆F B．G⊆F
C．E＋F＝G D．EF＝G
2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的积事件是什么？
知识点二 事件关系的判断
3．对同一试验来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是( )
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．互斥且对立 D．不互斥、不对立
4．从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
其中，为互斥事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
5．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”．则下列各对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )
A．A与B B．A与C
C．B与D D．B与C
6．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与2名全是男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
知识点三 互斥事件的概率
7．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，则这3个球中既有红球又有白球的概率是________．
8．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A＋B)＝0.7，则P(B)＝________.
9．某城市2019年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50
等候人数
0
1
2
3
4
大于等于5
概率
0.05
0.14
0.35
0.30
0.10
0.06
求：(1)等候人数不超过2的概率；
(2)等候人数大于等于3的概率．
知识点四 对立事件的概率
11．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.3
12．从一批乒乓球产品中任取一个，若其质量小于2.45 g的概率为0.22，质量大于2.50 g的概率为0.20，则质量在2.45～2.50 g范围内的概率为________．
13．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有________人．
14．某射击手平时的射击成绩统计如下表所示：
环数
7环以下
7
8
9
10
命中概率
0.13
a
b
0.25
0.24
已知他命中7环及7环以下的概率为0.29.
(1)求a和b的值；
(2)求命中10环或9环的概率；
(3)求命中环数不足9环的概率．
易错点 不能区分事件是否互斥而错用加法公式
掷一个质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A＋B)．
一、单项选择题
1．在第3,6,16路车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公交车)，有一位乘客可乘3路车或6路车，已知3路车、6路车在5分钟之内到此站的概率分别为0.20和0.60，则此乘客在5分钟之内乘到所需要的车的概率是( )
A．0.20 B．0.60
C．0.80 D．0.12
2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两弹都击中飞机}，B＝{两弹都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是( )
A．A⊆D B．BD＝∅
C．A＋C＝D D．A＋C＝B＋D
3．记，分别为事件A，B的对立事件，如果事件A，互斥，那么( )
A．A＋B是必然事件 B．＋B是必然事件
C.与B一定互斥 D．与一定互斥
4．设A，B是任意事件，下列关系式正确的( )
A．A＋B＝A B．AB⊇A
C．A＋AB＝A D．B⊆A
5．下列说法正确的是( )
A．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件
B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B是对立事件
D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
6．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A＝“至少有1个白球”，则事件A的对立事件是( )
A．1个白球2个红球 B．2个白球1个红球
C．3个都是红球 D．至少有一个红球
7．一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出红球}，C＝{摸出白球}，则事件A＋B及B＋C的概率分别为( )
A.， B．，
C．， D．，
8．在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3的概率分别是0.2,0.3,0.5，则下列说法正确的个数是( )
①A1＋A2与A3是互斥事件，也是对立事件；
②A1＋A2＋A3是必然事件；
③P(A2＋A3)＝0.8；
④P(A1＋A2)≤0.5.
A．0 B．1
C．2 D．3
二、多项选择题
9．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有( )
A．2张卡片都不是红色
B．2张卡片恰有一张红色
C．2张卡片至少有一张红色
D．2张卡片都为绿色
10．下列命题中为真命题的是( )
A．若事件A与事件B互为对立事件，则事件A与事件B为互斥事件
B．若事件A与事件B为互斥事件，则事件A与事件B互为对立事件
C．若事件A与事件B互为对立事件，则事件A＋B为必然事件
D．若事件A＋B为必然事件，则事件A与事件B为互斥事件
11．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A＝“甲击中靶”，事件B＝“乙击中靶”，事件E＝“靶未被击中”，事件F＝“靶被击中”，事件G＝“恰一人击中靶”，下列关系式正确的是(表示A的对立事件，表示B的对立事件)( )
A．E＝ B．F＝AB
C．G＝B＋A D．P(F)＝1－P(E)
12．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )
A．A＋B与C是互斥事件，但不是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
三、填空题
13．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是________．
14．已知三个事件A，B，C两两互斥且P(A)＝0.3，P()＝0.6，P(C)＝0.2，则P(A＋B＋C)＝________.
15．盒子中有大小、形状相同的一些黑球、白球和黄球，从中摸出一个球，摸出黑球的概率为0.42，摸出黄球的概率为0.18，则摸出的球不是黄球的概率为________，摸出的球是白球或者黑球的概率为________．
16．在一个掷骰子的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A＋发生的概率为________．(表示B的对立事件)
四、解答题
17．掷一个骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{出现点数小于3}，D＝{出现点数大于2}，E＝{出现点数是3的倍数}．
求：(1)AB，BC；
(2)A＋B，B＋C；
(3)记是事件H的对立事件，求，C，＋C，＋.
18．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，设各车主至多购买一种保险．
(1)求该地的一位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
19．如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．
(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1,4,5,8各区域所代表的事件；
(2)用A，B，C表示下列事件：
①恰好订阅一种学习资料；
②没有订阅任何学习资料．
20．某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%.
(1)某人购买了一台这个品牌的计算机，设Ak＝“一年内需要维修k次”，k＝0,1,2,3，请填写下表：
事件
A0
A1
A2
A3
概率
事件A0，A1，A2，A3是否满足两两互斥？
(2)求下列事件的概率：
①A＝“在1年内需要维修”；
②B＝“在1年内不需要维修”；
③C＝“在1年内维修不超过1次”．
5.3.2 事件之间的关系与运算
知识点一 事件的运算
1．掷一个质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为1}，事件F＝{向上的点数为5}，事件G＝{向上的点数为1或5}，则有( )
A．E⊆F B．G⊆F
C．E＋F＝G D．EF＝G
答案 C
解析 根据事件之间的关系，知E⊆G，F⊆G，事件E，F之间不具有包含关系，故排除A，B；因为事件E与事件F不会同时发生，所以EF＝∅，故排除D；事件G发生当且仅当事件E发生或事件F发生，所以E＋F＝G.故选C.
2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的积事件是什么？
解 (1)对于事件D，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球”，故D＝A＋B.
(2)对于事件C，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球，或3个均为红球”，故CA＝A.
知识点二 事件关系的判断
3．对同一试验来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是( )
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．互斥且对立 D．不互斥、不对立
答案 C
解析 必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事A与事件B的关系是互斥且对立．
4．从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
其中，为互斥事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
答案 C
解析 ①“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是相等事件，故①不是互斥事件；②“至少有一个是奇数”包含“两个数都是奇数”的情况，故②不是互斥事件；③“至少有一个是奇数”和“两个数都是偶数”不能同时发生，故③是互斥事件；④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”可以同时发生，故④不是互斥事件．故选C.
5．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”．则下列各对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )
A．A与B B．A与C
C．B与D D．B与C
答案 B
解析 事件A和事件B能同时发生，故选项A中的两个事件不是互斥事件也不是对立事件；事件A和事件C不可能同时发生，且不对立，故选项B中的两个事件是互斥事件但不是对立事件；事件B和事件D不可能同时发生，且两个事件的和事件是必然事件，故选项C中的两个事件是对立事件；事件B和事件C能同时发生，选项D中的两个事件不是互斥事件也不是对立事件．故选B.
6．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与2名全是男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
解 (1)因为“恰有1名男生”与“2名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当2名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)因为“2名全是男生”发生时“至少有1名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立．
(4)由于选出的是“1名男生1名女生”时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
知识点三 互斥事件的概率
7．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，则这3个球中既有红球又有白球的概率是________．
答案
解析 记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
8．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A＋B)＝0.7，则P(B)＝________.
答案 0.3
解析 因为A，B为互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．所以P(B)＝P(A＋B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.
9．某城市2019年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50
所以P(A)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，即该城市2019年空气质量达到良或优的概率为.
10．在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示：
等候人数
0
1
2
3
4
大于等于5
概率
0.05
0.14
0.35
0.30
0.10
0.06
求：(1)等候人数不超过2的概率；
(2)等候人数大于等于3的概率．
解 设A，B，C，D，E，F分别表示等候人数为0,1,2,3,4，大于等于5的事件，则易知A，B，C，D，E，F彼此互斥．
(1)设M表示事件“等候人数不超过2”，则M＝A＋B＋C，故P(M)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.05＋0.14＋0.35＝0.54，即等候人数不超过2的概率为0.54.
(2)设N表示事件“等候人数大于等于3”，则N＝D＋E＋F，故P(N)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.30＋0.10＋0.06＝0.46，即等候人数大于等于3的概率为0.46.
知识点四 对立事件的概率
11．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.3
答案 C
解析 由对立事件的概率知抽到的不是一等品的概率为P＝1－0.65＝0.35.
12．从一批乒乓球产品中任取一个，若其质量小于2.45 g的概率为0.22，质量大于2.50 g的概率为0.20，则质量在2.45～2.50 g范围内的概率为________．
答案 0.58
解析 设事件A表示“质量小于2.45 g”，事件B表示“质量大于2.50 g”，事件C表示“质量在2.45～2.50 g范围内”，则A，B，C两两互斥，且从乒乓球中任取一个包含A，B，C三个事件，故C与A＋B对立．所以P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝0.58.
13．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有________人．
答案 120
解析 可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－＝.再由题意，知n－n＝12，解得n＝120.
14．某射击手平时的射击成绩统计如下表所示：
环数
7环以下
7
8
9
10
命中概率
0.13
a
b
0.25
0.24
已知他命中7环及7环以下的概率为0.29.
(1)求a和b的值；
(2)求命中10环或9环的概率；
(3)求命中环数不足9环的概率．
解 (1)因为他命中7环及7环以下的概率为0.29，
所以a＝0.29－0.13＝0.16，b＝1－(0.29＋0.25＋0.24)＝0.22.
(2)命中10环或9环的概率为0.24＋0.25＝0.49.
(3)命中环数不足9环的概率为1－0.49＝0.51.
易错点 不能区分事件是否互斥而错用加法公式
掷一个质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A＋B)．
易错分析 由于忽视了“和事件”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)求解，而致误．
正解 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A＋B＝A1＋A2＋A3＋A4.
故P(A＋B)＝P(A1＋A2＋A3＋A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝.
一、单项选择题
1．在第3,6,16路车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公交车)，有一位乘客可乘3路车或6路车，已知3路车、6路车在5分钟之内到此站的概率分别为0.20和0.60，则此乘客在5分钟之内乘到所需要的车的概率是( )
A．0.20 B．0.60
C．0.80 D．0.12
答案 C
解析 由题意知，此乘客乘坐3路车和乘6路车是互斥事件，所以此乘客在5分钟内能乘到所需要的车的概率是0.20＋0.60＝0.80.故选C.
2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两弹都击中飞机}，B＝{两弹都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是( )
A．A⊆D B．BD＝∅
C．A＋C＝D D．A＋C＝B＋D
答案 D
解析 由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机，故有A⊆D，故A正确．由于事件B，D是互斥事件，故BD＝∅，故B正确．再由A＋C＝D成立可得C正确．A＋C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而B＋D为必然事件，故D不正确．故选D.
3．记，分别为事件A，B的对立事件，如果事件A，互斥，那么( )
A．A＋B是必然事件 B．＋B是必然事件
C.与B一定互斥 D．与一定互斥
答案 B
解析 由题意事件A，互斥，则A⊆B，∴＋B为必然事件，故选B.
4．设A，B是任意事件，下列关系式正确的( )
A．A＋B＝A B．AB⊇A
C．A＋AB＝A D．B⊆A
答案 C
解析 因为题目中给定了A，B是任意事件，那么利用集合的并集思想来分析，两个事件的和事件不一定等于其中的事件A，可能大于事件A；B中，AB表示的为AB的积事件，那么利用集合的思想，和交集类似，不一定包含A事件；C中，由于利用集合的交集和并集的思想可知，A＋AB＝A表示的等式成立；D中，利用补集的思想和交集的概念可知，B表示的事件A不发生，同时事件B发生，显然D不成立．
5．下列说法正确的是( )
A．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件
B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B是对立事件
D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
答案 A
解析 根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A正确．对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，且均为零，故B错误．若P(A)＋P(B)＝1，且AB＝∅时，事件A与B是对立事件，故C错误．事件A，B中至少有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生，A，B都发生；A，B中恰有一个发生包括A发生B不发生，A不发生B发生；当事件A，B互斥时，事件A，B至少有一个发生的概率等于事件A，B恰有一个发生的概率，故D错误．
6．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A＝“至少有1个白球”，则事件A的对立事件是( )
A．1个白球2个红球 B．2个白球1个红球
C．3个都是红球 D．至少有一个红球
答案 C
解析 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A＝“至少有1个白球”，则事件A的对立事件是所取的3个球中没有白球，∴事件A的对立事件是3个都是红球．故选C.
7．一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出红球}，C＝{摸出白球}，则事件A＋B及B＋C的概率分别为( )
A.， B．，
C．， D．，
答案 A
解析 P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.因为事件A，B，C两两互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝.P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝.
8．在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3的概率分别是0.2,0.3,0.5，则下列说法正确的个数是( )
①A1＋A2与A3是互斥事件，也是对立事件；
②A1＋A2＋A3是必然事件；
③P(A2＋A3)＝0.8；
④P(A1＋A2)≤0.5.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 由题意知，A1，A2，A3不一定是互斥事件，所以P(A1＋A2)≤0.5，P(A2＋A3)≤0.8，P(A1＋A3)≤0.7，所以，只有④正确，所以说法正确的个数为1.选B.
二、多项选择题
9．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有( )
A．2张卡片都不是红色
B．2张卡片恰有一张红色
C．2张卡片至少有一张红色
D．2张卡片都为绿色
答案 ABD
解析 6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张为红色1张为绿色”“1张为红色1张为蓝色”“1张为绿色1张为蓝色”．选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而不对立的是“2张都不是红色”“2张恰有1张红色”“2张都为绿色”，其中“2张至少1张为红色”包含事件是“2张都为红色”二者并非互斥．故选ABD.
10．下列命题中为真命题的是( )
A．若事件A与事件B互为对立事件，则事件A与事件B为互斥事件
B．若事件A与事件B为互斥事件，则事件A与事件B互为对立事件
C．若事件A与事件B互为对立事件，则事件A＋B为必然事件
D．若事件A＋B为必然事件，则事件A与事件B为互斥事件
答案 AC
解析 对于A，对立事件首先是互斥事件，故A为真命题；对于B，互斥事件不一定是对立事件，如将一枚硬币抛掷两次，共出现(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)四种结果，事件M＝“两次出现正面”与事件N＝“只有一次出现反面”是互斥事件，但不是对立事件，故B为假命题；对于C，事件A，B为对立事件，则在一次试验中A，B一定有一个发生，故C为真命题；对于D，事件A＋B表示事件A，B至少有一个要发生，A，B不一定互斥，故D为假命题．
11．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A＝“甲击中靶”，事件B＝“乙击中靶”，事件E＝“靶未被击中”，事件F＝“靶被击中”，事件G＝“恰一人击中靶”，下列关系式正确的是(表示A的对立事件，表示B的对立事件)( )
A．E＝ B．F＝AB
C．G＝B＋A D．P(F)＝1－P(E)
答案 ACD
解析 由题可得：A中，E＝，正确；B中，事件F＝“靶被击中”，AB表示甲、乙同时击中，F＝AB＋B＋A，所以B错误；C中，G＝B＋A，正确；D中，E，F互为对立事件，P(F)＝1－P(E)，正确．故选ACD.
12．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )
A．A＋B与C是互斥事件，但不是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
答案 AD
解析 A中，因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A＋B与C也互斥，但是P(A＋B)＋P(C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.2＋0.3＝0.7≠1，所以不是对立事件，故A正确；B中，因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以B＋C与D也互斥，但是P(B＋C)＋P(D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.2＋0.3＋0.3＝0.8≠1，所以不是对立事件，故B错误；C中，因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A＋C与B＋D也互斥，又因为P(A＋C)＋P(B＋D)＝P(A)＋P(C)＋P(B)＋P(D)＝0.2＋0.3＋0.2＋0.3＝1，所以是对立事件，故C错误；D中，因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A与B＋C＋D也互斥，又因为P(A)＋P(B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.2＋0.2＋0.3＋0.3＝1，所以也是对立事件，故D正确．故选AD.
三、填空题
13．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是________．
答案 2次都中靶
解析 事件“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”，其对立事件是“2次都中靶”．
14．已知三个事件A，B，C两两互斥且P(A)＝0.3，P()＝0.6，P(C)＝0.2，则P(A＋B＋C)＝________.
答案 0.9
解析 P()＝0.6⇒P(B)＝0.4，P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.9.
15．盒子中有大小、形状相同的一些黑球、白球和黄球，从中摸出一个球，摸出黑球的概率为0.42，摸出黄球的概率为0.18，则摸出的球不是黄球的概率为________，摸出的球是白球或者黑球的概率为________．
答案 0.82 0.82
解析 由题意知，摸出的球不是黄球的概率为1－0.18＝0.82，摸出的球是白球的概率为1－(0.42＋0.18)＝0.4，摸出的球是白球或者黑球的概率为0.4＋0.42＝0.82.
16．在一个掷骰子的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A＋发生的概率为________．(表示B的对立事件)
答案
解析 随机掷一个骰子一次共有六种不同的结果，其中事件A“出现不大于4的偶数点”包括2,4两种结果，P(A)＝＝.
事件B“出现小于5的点数”包括1,2,3,4四种结果，
P(B)＝＝，P()＝.
且事件A和事件是互斥事件，
∴P(A＋)＝＋＝.
四、解答题
17．掷一个骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{出现点数小于3}，D＝{出现点数大于2}，E＝{出现点数是3的倍数}．
求：(1)AB，BC；
(2)A＋B，B＋C；
(3)记是事件H的对立事件，求，C，＋C，＋.
解 (1)AB＝∅，BC＝{出现2点}．
(2)A＋B＝{出现1,2,3,4,5或6点}，
B＋C＝{出现1,2,4或6点}．
(3)＝{出现点数小于或等于2}＝{出现1或2点}，
C＝BC＝{出现2点}，＋C＝A＋C＝{出现1,2,3或5点}，＋＝{出现1,2,4或5点}．
18．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，设各车主至多购买一种保险．
(1)求该地的一位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
解 记A表示事件“该地的一位车主购买甲种保险”；
B表示事件“该地的一位车主购买乙种保险”；
C表示事件“该地的一位车主购买甲、乙两种保险中的1种”；
D表示事件“该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买”．
(1)由题意可知，P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A∪B，
所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.
19．如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．
(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1,4,5,8各区域所代表的事件；
(2)用A，B，C表示下列事件：
①恰好订阅一种学习资料；
②没有订阅任何学习资料．
解 (1)由图可知：
区域1表示该生数学、语文、英语三种资料都订阅；
区域4表示该生只订阅数学、语文两种资料；
区域5表示该生只订阅了语文资料；
区域8表示该生三种资料都未订阅．
(2)①“恰好订阅一种学习资料”包括：只订阅数学为：A；只订阅语文：B；只订阅英语：C，并且这三种相互互斥，
所以“恰好订阅一种学习资料”用A，B，C表示为：A＋B＋C，
②“没有订阅任何学习资料”用A，B，C表示为：.
20．某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%.
(1)某人购买了一台这个品牌的计算机，设Ak＝“一年内需要维修k次”，k＝0,1,2,3，请填写下表：
事件
A0
A1
A2
A3
概率
事件A0，A1，A2，A3是否满足两两互斥？
(2)求下列事件的概率：
①A＝“在1年内需要维修”；
②B＝“在1年内不需要维修”；
③C＝“在1年内维修不超过1次”．
解 (1)因为一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%，
所以P(A0)＝1－(0.15＋0.06＋0.04)＝0.75，
P(A1)＝0.15，
P(A2)＝0.06，
P(A3)＝0.04.
事件
A0
A1
A2
A3
概率
0.75
0.15
0.06
0.04
事件A0，A1，A2，A3满足两两互斥．
(2)①P(A)＝P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝0.25；
②P(B)＝P(A0)＝0.75；
③P(C)＝P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝0.9.
5.3.2 事件之间的关系与运算
知识点一 事件的运算
1．掷一个质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为1}，事件F＝{向上的点数为5}，事件G＝{向上的点数为1或5}，则有( )
A．E⊆F B．G⊆F
C．E＋F＝G D．EF＝G
2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的积事件是什么？
知识点二 事件关系的判断
3．对同一试验来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是( )
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．互斥且对立 D．不互斥、不对立
4．从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
其中，为互斥事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
5．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”．则下列各对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )
A．A与B B．A与C
C．B与D D．B与C
6．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与2名全是男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
知识点三 互斥事件的概率
7．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，则这3个球中既有红球又有白球的概率是________．
8．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A＋B)＝0.7，则P(B)＝________.
9．某城市2019年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50
等候人数
0
1
2
3
4
大于等于5
概率
0.05
0.14
0.35
0.30
0.10
0.06
求：(1)等候人数不超过2的概率；
(2)等候人数大于等于3的概率．
知识点四 对立事件的概率
11．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.3
12．从一批乒乓球产品中任取一个，若其质量小于2.45 g的概率为0.22，质量大于2.50 g的概率为0.20，则质量在2.45～2.50 g范围内的概率为________．
13．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有________人．
14．某射击手平时的射击成绩统计如下表所示：
环数
7环以下
7
8
9
10
命中概率
0.13
a
b
0.25
0.24
已知他命中7环及7环以下的概率为0.29.
(1)求a和b的值；
(2)求命中10环或9环的概率；
(3)求命中环数不足9环的概率．
易错点 不能区分事件是否互斥而错用加法公式
掷一个质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A＋B)．
一、单项选择题
1．在第3,6,16路车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公交车)，有一位乘客可乘3路车或6路车，已知3路车、6路车在5分钟之内到此站的概率分别为0.20和0.60，则此乘客在5分钟之内乘到所需要的车的概率是( )
A．0.20 B．0.60
C．0.80 D．0.12
2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两弹都击中飞机}，B＝{两弹都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是( )
A．A⊆D B．BD＝∅
C．A＋C＝D D．A＋C＝B＋D
3．记，分别为事件A，B的对立事件，如果事件A，互斥，那么( )
A．A＋B是必然事件 B．＋B是必然事件
C.与B一定互斥 D．与一定互斥
4．设A，B是任意事件，下列关系式正确的( )
A．A＋B＝A B．AB⊇A
C．A＋AB＝A D．B⊆A
5．下列说法正确的是( )
A．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件
B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B是对立事件
D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
6．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A＝“至少有1个白球”，则事件A的对立事件是( )
A．1个白球2个红球 B．2个白球1个红球
C．3个都是红球 D．至少有一个红球
7．一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出红球}，C＝{摸出白球}，则事件A＋B及B＋C的概率分别为( )
A.， B．，
C．， D．，
8．在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3的概率分别是0.2,0.3,0.5，则下列说法正确的个数是( )
①A1＋A2与A3是互斥事件，也是对立事件；
②A1＋A2＋A3是必然事件；
③P(A2＋A3)＝0.8；
④P(A1＋A2)≤0.5.
A．0 B．1
C．2 D．3
二、多项选择题
9．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有( )
A．2张卡片都不是红色
B．2张卡片恰有一张红色
C．2张卡片至少有一张红色
D．2张卡片都为绿色
10．下列命题中为真命题的是( )
A．若事件A与事件B互为对立事件，则事件A与事件B为互斥事件
B．若事件A与事件B为互斥事件，则事件A与事件B互为对立事件
C．若事件A与事件B互为对立事件，则事件A＋B为必然事件
D．若事件A＋B为必然事件，则事件A与事件B为互斥事件
11．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A＝“甲击中靶”，事件B＝“乙击中靶”，事件E＝“靶未被击中”，事件F＝“靶被击中”，事件G＝“恰一人击中靶”，下列关系式正确的是(表示A的对立事件，表示B的对立事件)( )
A．E＝ B．F＝AB
C．G＝B＋A D．P(F)＝1－P(E)
12．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )
A．A＋B与C是互斥事件，但不是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
三、填空题
13．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是________．
14．已知三个事件A，B，C两两互斥且P(A)＝0.3，P()＝0.6，P(C)＝0.2，则P(A＋B＋C)＝________.
15．盒子中有大小、形状相同的一些黑球、白球和黄球，从中摸出一个球，摸出黑球的概率为0.42，摸出黄球的概率为0.18，则摸出的球不是黄球的概率为________，摸出的球是白球或者黑球的概率为________．
16．在一个掷骰子的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A＋发生的概率为________．(表示B的对立事件)
四、解答题
17．掷一个骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{出现点数小于3}，D＝{出现点数大于2}，E＝{出现点数是3的倍数}．
求：(1)AB，BC；
(2)A＋B，B＋C；
(3)记是事件H的对立事件，求，C，＋C，＋.
18．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，设各车主至多购买一种保险．
(1)求该地的一位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
19．如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．
(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1,4,5,8各区域所代表的事件；
(2)用A，B，C表示下列事件：
①恰好订阅一种学习资料；
②没有订阅任何学习资料．
20．某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%.
(1)某人购买了一台这个品牌的计算机，设Ak＝“一年内需要维修k次”，k＝0,1,2,3，请填写下表：
事件
A0
A1
A2
A3
概率
事件A0，A1，A2，A3是否满足两两互斥？
(2)求下列事件的概率：
①A＝“在1年内需要维修”；
②B＝“在1年内不需要维修”；
③C＝“在1年内维修不超过1次”．
5.3.2 事件之间的关系与运算
知识点一 事件的运算
1．掷一个质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为1}，事件F＝{向上的点数为5}，事件G＝{向上的点数为1或5}，则有( )
A．E⊆F B．G⊆F
C．E＋F＝G D．EF＝G
答案 C
解析 根据事件之间的关系，知E⊆G，F⊆G，事件E，F之间不具有包含关系，故排除A，B；因为事件E与事件F不会同时发生，所以EF＝∅，故排除D；事件G发生当且仅当事件E发生或事件F发生，所以E＋F＝G.故选C.
2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的积事件是什么？
解 (1)对于事件D，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球”，故D＝A＋B.
(2)对于事件C，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球，或3个均为红球”，故CA＝A.
知识点二 事件关系的判断
3．对同一试验来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是( )
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．互斥且对立 D．不互斥、不对立
答案 C
解析 必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事A与事件B的关系是互斥且对立．
4．从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
其中，为互斥事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
答案 C
解析 ①“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是相等事件，故①不是互斥事件；②“至少有一个是奇数”包含“两个数都是奇数”的情况，故②不是互斥事件；③“至少有一个是奇数”和“两个数都是偶数”不能同时发生，故③是互斥事件；④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”可以同时发生，故④不是互斥事件．故选C.
5．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”．则下列各对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )
A．A与B B．A与C
C．B与D D．B与C
答案 B
解析 事件A和事件B能同时发生，故选项A中的两个事件不是互斥事件也不是对立事件；事件A和事件C不可能同时发生，且不对立，故选项B中的两个事件是互斥事件但不是对立事件；事件B和事件D不可能同时发生，且两个事件的和事件是必然事件，故选项C中的两个事件是对立事件；事件B和事件C能同时发生，选项D中的两个事件不是互斥事件也不是对立事件．故选B.
6．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与2名全是男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
解 (1)因为“恰有1名男生”与“2名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当2名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)因为“2名全是男生”发生时“至少有1名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立．
(4)由于选出的是“1名男生1名女生”时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
知识点三 互斥事件的概率
7．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，则这3个球中既有红球又有白球的概率是________．
答案
解析 记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
8．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A＋B)＝0.7，则P(B)＝________.
答案 0.3
解析 因为A，B为互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．所以P(B)＝P(A＋B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.
9．某城市2019年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50
所以P(A)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，即该城市2019年空气质量达到良或优的概率为.
10．在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示：
等候人数
0
1
2
3
4
大于等于5
概率
0.05
0.14
0.35
0.30
0.10
0.06
求：(1)等候人数不超过2的概率；
(2)等候人数大于等于3的概率．
解 设A，B，C，D，E，F分别表示等候人数为0,1,2,3,4，大于等于5的事件，则易知A，B，C，D，E，F彼此互斥．
(1)设M表示事件“等候人数不超过2”，则M＝A＋B＋C，故P(M)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.05＋0.14＋0.35＝0.54，即等候人数不超过2的概率为0.54.
(2)设N表示事件“等候人数大于等于3”，则N＝D＋E＋F，故P(N)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.30＋0.10＋0.06＝0.46，即等候人数大于等于3的概率为0.46.
知识点四 对立事件的概率
11．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.3
答案 C
解析 由对立事件的概率知抽到的不是一等品的概率为P＝1－0.65＝0.35.
12．从一批乒乓球产品中任取一个，若其质量小于2.45 g的概率为0.22，质量大于2.50 g的概率为0.20，则质量在2.45～2.50 g范围内的概率为________．
答案 0.58
解析 设事件A表示“质量小于2.45 g”，事件B表示“质量大于2.50 g”，事件C表示“质量在2.45～2.50 g范围内”，则A，B，C两两互斥，且从乒乓球中任取一个包含A，B，C三个事件，故C与A＋B对立．所以P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝0.58.
13．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有________人．
答案 120
解析 可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－＝.再由题意，知n－n＝12，解得n＝120.
14．某射击手平时的射击成绩统计如下表所示：
环数
7环以下
7
8
9
10
命中概率
0.13
a
b
0.25
0.24
已知他命中7环及7环以下的概率为0.29.
(1)求a和b的值；
(2)求命中10环或9环的概率；
(3)求命中环数不足9环的概率．
解 (1)因为他命中7环及7环以下的概率为0.29，
所以a＝0.29－0.13＝0.16，b＝1－(0.29＋0.25＋0.24)＝0.22.
(2)命中10环或9环的概率为0.24＋0.25＝0.49.
(3)命中环数不足9环的概率为1－0.49＝0.51.
易错点 不能区分事件是否互斥而错用加法公式
掷一个质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A＋B)．
易错分析 由于忽视了“和事件”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)求解，而致误．
正解 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A＋B＝A1＋A2＋A3＋A4.
故P(A＋B)＝P(A1＋A2＋A3＋A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝.
一、单项选择题
1．在第3,6,16路车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公交车)，有一位乘客可乘3路车或6路车，已知3路车、6路车在5分钟之内到此站的概率分别为0.20和0.60，则此乘客在5分钟之内乘到所需要的车的概率是( )
A．0.20 B．0.60
C．0.80 D．0.12
答案 C
解析 由题意知，此乘客乘坐3路车和乘6路车是互斥事件，所以此乘客在5分钟内能乘到所需要的车的概率是0.20＋0.60＝0.80.故选C.
2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两弹都击中飞机}，B＝{两弹都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是( )
A．A⊆D B．BD＝∅
C．A＋C＝D D．A＋C＝B＋D
答案 D
解析 由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机，故有A⊆D，故A正确．由于事件B，D是互斥事件，故BD＝∅，故B正确．再由A＋C＝D成立可得C正确．A＋C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而B＋D为必然事件，故D不正确．故选D.
3．记，分别为事件A，B的对立事件，如果事件A，互斥，那么( )
A．A＋B是必然事件 B．＋B是必然事件
C.与B一定互斥 D．与一定互斥
答案 B
解析 由题意事件A，互斥，则A⊆B，∴＋B为必然事件，故选B.
4．设A，B是任意事件，下列关系式正确的( )
A．A＋B＝A B．AB⊇A
C．A＋AB＝A D．B⊆A
答案 C
解析 因为题目中给定了A，B是任意事件，那么利用集合的并集思想来分析，两个事件的和事件不一定等于其中的事件A，可能大于事件A；B中，AB表示的为AB的积事件，那么利用集合的思想，和交集类似，不一定包含A事件；C中，由于利用集合的交集和并集的思想可知，A＋AB＝A表示的等式成立；D中，利用补集的思想和交集的概念可知，B表示的事件A不发生，同时事件B发生，显然D不成立．
5．下列说法正确的是( )
A．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件
B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B是对立事件
D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
答案 A
解析 根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A正确．对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，且均为零，故B错误．若P(A)＋P(B)＝1，且AB＝∅时，事件A与B是对立事件，故C错误．事件A，B中至少有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生，A，B都发生；A，B中恰有一个发生包括A发生B不发生，A不发生B发生；当事件A，B互斥时，事件A，B至少有一个发生的概率等于事件A，B恰有一个发生的概率，故D错误．
6．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A＝“至少有1个白球”，则事件A的对立事件是( )
A．1个白球2个红球 B．2个白球1个红球
C．3个都是红球 D．至少有一个红球
答案 C
解析 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A＝“至少有1个白球”，则事件A的对立事件是所取的3个球中没有白球，∴事件A的对立事件是3个都是红球．故选C.
7．一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出红球}，C＝{摸出白球}，则事件A＋B及B＋C的概率分别为( )
A.， B．，
C．， D．，
答案 A
解析 P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.因为事件A，B，C两两互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝.P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝.
8．在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3的概率分别是0.2,0.3,0.5，则下列说法正确的个数是( )
①A1＋A2与A3是互斥事件，也是对立事件；
②A1＋A2＋A3是必然事件；
③P(A2＋A3)＝0.8；
④P(A1＋A2)≤0.5.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 由题意知，A1，A2，A3不一定是互斥事件，所以P(A1＋A2)≤0.5，P(A2＋A3)≤0.8，P(A1＋A3)≤0.7，所以，只有④正确，所以说法正确的个数为1.选B.
二、多项选择题
9．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有( )
A．2张卡片都不是红色
B．2张卡片恰有一张红色
C．2张卡片至少有一张红色
D．2张卡片都为绿色
答案 ABD
解析 6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张为红色1张为绿色”“1张为红色1张为蓝色”“1张为绿色1张为蓝色”．选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而不对立的是“2张都不是红色”“2张恰有1张红色”“2张都为绿色”，其中“2张至少1张为红色”包含事件是“2张都为红色”二者并非互斥．故选ABD.
10．下列命题中为真命题的是( )
A．若事件A与事件B互为对立事件，则事件A与事件B为互斥事件
B．若事件A与事件B为互斥事件，则事件A与事件B互为对立事件
C．若事件A与事件B互为对立事件，则事件A＋B为必然事件
D．若事件A＋B为必然事件，则事件A与事件B为互斥事件
答案 AC
解析 对于A，对立事件首先是互斥事件，故A为真命题；对于B，互斥事件不一定是对立事件，如将一枚硬币抛掷两次，共出现(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)四种结果，事件M＝“两次出现正面”与事件N＝“只有一次出现反面”是互斥事件，但不是对立事件，故B为假命题；对于C，事件A，B为对立事件，则在一次试验中A，B一定有一个发生，故C为真命题；对于D，事件A＋B表示事件A，B至少有一个要发生，A，B不一定互斥，故D为假命题．
11．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A＝“甲击中靶”，事件B＝“乙击中靶”，事件E＝“靶未被击中”，事件F＝“靶被击中”，事件G＝“恰一人击中靶”，下列关系式正确的是(表示A的对立事件，表示B的对立事件)( )
A．E＝ B．F＝AB
C．G＝B＋A D．P(F)＝1－P(E)
答案 ACD
解析 由题可得：A中，E＝，正确；B中，事件F＝“靶被击中”，AB表示甲、乙同时击中，F＝AB＋B＋A，所以B错误；C中，G＝B＋A，正确；D中，E，F互为对立事件，P(F)＝1－P(E)，正确．故选ACD.
12．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )
A．A＋B与C是互斥事件，但不是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
答案 AD
解析 A中，因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A＋B与C也互斥，但是P(A＋B)＋P(C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.2＋0.3＝0.7≠1，所以不是对立事件，故A正确；B中，因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以B＋C与D也互斥，但是P(B＋C)＋P(D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.2＋0.3＋0.3＝0.8≠1，所以不是对立事件，故B错误；C中，因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A＋C与B＋D也互斥，又因为P(A＋C)＋P(B＋D)＝P(A)＋P(C)＋P(B)＋P(D)＝0.2＋0.3＋0.2＋0.3＝1，所以是对立事件，故C错误；D中，因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A与B＋C＋D也互斥，又因为P(A)＋P(B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.2＋0.2＋0.3＋0.3＝1，所以也是对立事件，故D正确．故选AD.
三、填空题
13．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是________．
答案 2次都中靶
解析 事件“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”，其对立事件是“2次都中靶”．
14．已知三个事件A，B，C两两互斥且P(A)＝0.3，P()＝0.6，P(C)＝0.2，则P(A＋B＋C)＝________.
答案 0.9
解析 P()＝0.6⇒P(B)＝0.4，P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.9.
15．盒子中有大小、形状相同的一些黑球、白球和黄球，从中摸出一个球，摸出黑球的概率为0.42，摸出黄球的概率为0.18，则摸出的球不是黄球的概率为________，摸出的球是白球或者黑球的概率为________．
答案 0.82 0.82
解析 由题意知，摸出的球不是黄球的概率为1－0.18＝0.82，摸出的球是白球的概率为1－(0.42＋0.18)＝0.4，摸出的球是白球或者黑球的概率为0.4＋0.42＝0.82.
16．在一个掷骰子的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A＋发生的概率为________．(表示B的对立事件)
答案
解析 随机掷一个骰子一次共有六种不同的结果，其中事件A“出现不大于4的偶数点”包括2,4两种结果，P(A)＝＝.
事件B“出现小于5的点数”包括1,2,3,4四种结果，
P(B)＝＝，P()＝.
且事件A和事件是互斥事件，
∴P(A＋)＝＋＝.
四、解答题
17．掷一个骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{出现点数小于3}，D＝{出现点数大于2}，E＝{出现点数是3的倍数}．
求：(1)AB，BC；
(2)A＋B，B＋C；
(3)记是事件H的对立事件，求，C，＋C，＋.
解 (1)AB＝∅，BC＝{出现2点}．
(2)A＋B＝{出现1,2,3,4,5或6点}，
B＋C＝{出现1,2,4或6点}．
(3)＝{出现点数小于或等于2}＝{出现1或2点}，
C＝BC＝{出现2点}，＋C＝A＋C＝{出现1,2,3或5点}，＋＝{出现1,2,4或5点}．
18．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，设各车主至多购买一种保险．
(1)求该地的一位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
解 记A表示事件“该地的一位车主购买甲种保险”；
B表示事件“该地的一位车主购买乙种保险”；
C表示事件“该地的一位车主购买甲、乙两种保险中的1种”；
D表示事件“该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买”．
(1)由题意可知，P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A∪B，
所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.
19．如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．
(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1,4,5,8各区域所代表的事件；
(2)用A，B，C表示下列事件：
①恰好订阅一种学习资料；
②没有订阅任何学习资料．
解 (1)由图可知：
区域1表示该生数学、语文、英语三种资料都订阅；
区域4表示该生只订阅数学、语文两种资料；
区域5表示该生只订阅了语文资料；
区域8表示该生三种资料都未订阅．
(2)①“恰好订阅一种学习资料”包括：只订阅数学为：A；只订阅语文：B；只订阅英语：C，并且这三种相互互斥，
所以“恰好订阅一种学习资料”用A，B，C表示为：A＋B＋C，
②“没有订阅任何学习资料”用A，B，C表示为：.
20．某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%.
(1)某人购买了一台这个品牌的计算机，设Ak＝“一年内需要维修k次”，k＝0,1,2,3，请填写下表：
事件
A0
A1
A2
A3
概率
事件A0，A1，A2，A3是否满足两两互斥？
(2)求下列事件的概率：
①A＝“在1年内需要维修”；
②B＝“在1年内不需要维修”；
③C＝“在1年内维修不超过1次”．
解 (1)因为一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%，
所以P(A0)＝1－(0.15＋0.06＋0.04)＝0.75，
P(A1)＝0.15，
P(A2)＝0.06，
P(A3)＝0.04.
事件
A0
A1
A2
A3
概率
0.75
0.15
0.06
0.04
事件A0，A1，A2，A3满足两两互斥．
(2)①P(A)＝P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝0.25；
②P(B)＝P(A0)＝0.75；
③P(C)＝P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝0.9.
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