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2020-2021学年5.3.3 古典概型课时作业
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这是一份2020-2021学年5.3.3 古典概型课时作业，共24页。试卷主要包含了下列问题中是古典概型的是，下列概率模型，故选C等内容，欢迎下载使用。
知识点一 样本点个数的计算
1．一个家庭有两个小孩，对于性别，则所有的样本点是( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
2．从标有1,2,3,4,5,6的6张纸片中任取2张，则样本点的总数是( )
A．5 B．10
C．15 D．20
3．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求出这个试验的样本点的总数；
(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点．
知识点二 古典概型的判断
4．下列问题中是古典概型的是( )
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一个质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C．在区间[1,4]上任取一个数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两个质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
5．下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；
②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；
④一只使用中的灯泡的寿命长短；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．
其中属于古典概型的是________．
6．一个口袋内装有1个白球和编号分别为1,2,3的3个黑球，它们的大小、质地相同，从中任意摸出2个球．
(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
(2)“摸出的2个球都是黑球”记为事件A，用集合表示事件A．
知识点三 古典概型概率的计算
7．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
A．eq \f(4,5) B．eq \f(3,5)
C．eq \f(2,5) D．eq \f(1,5)
8．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(1,6)
9．一个三位自然数，百位、十位、个数上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)．若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位自然数为“有缘数”的概率是________．
10．从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率为________．
11．一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球记为A1，A2,4个黑球记为B1，B2，B3，B4，从中一次摸出2个球．
(1)写出这个试验的样本空间及样本点总数；
(2)求摸出的2个球颜色不同的概率．
12．一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张形状、大小完全相同的标签，先后随机地选取2张标签，根据下列条件，分别求2张标签上的数字为相邻整数的概率．
(1)标签的选取是无放回的；
(2)标签的选取是有放回的．
13．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
易错点 对样本空间列举不全致误
任意掷两个骰子，计算：
(1)出现点数之和为奇数的概率；
(2)出现点数之和为偶数的概率．
一、单项选择题
1．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，记为M，则集合M恰是集合{a，b，c}的子集的概率是( )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,8)
2．将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数的概率是( )
A．eq \f(1,9) B．eq \f(1,6)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,3)
3．把一个质地均匀的骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋by＝3，,x＋2y＝2))只有一组解的概率为( )
A．eq \f(5,12) B．eq \f(11,12)
C．eq \f(5,13) D．eq \f(9,13)
4．从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于23的概率是( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,6)
C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,4)
5．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一新生中进行了抽样调查．已知在被调查的新生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品．现在从这5名学生中随机抽取3人，则至多有1人喜欢甜品的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
6. 如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )
A．eq \f(7,10) B．eq \f(3,10)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(4,5)
7．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(1,6)
8．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1，2,3,4}，若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A．eq \f(3,8) B．eq \f(5,8)
C．eq \f(3,16) D．eq \f(5,16)
二、多项选择题
9．下列有关古典概型的说法中正确的是( )
A．试验中所有样本点的个数只有有限个
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)＝eq \f(k,n)
10．从1,2,3，…，30中任意选一个数，则下列说法正确的是( )
A．它是偶数的概率为eq \f(1,2)
B．它能被3整除的概率为eq \f(1,3)
C．它是偶数且能被3整除的概率为eq \f(2,17)
D．它是偶数或能被3整除的概率为eq \f(2,3)
11．某中学共有学生2000名，各年级男生、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19，则下列说法正确的是( )
A．x的值为38
B．抽到高一男生的概率为eq \f(9,50)
C．用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取12名
D．若y≥245，z≥245，则高三年级中女生比男生多的概率为eq \f(5,11)
12．以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是eq \f(1,3)
B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8＝3＋5，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为eq \f(1,15)
C．将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是eq \f(5,36)
D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是eq \f(1,2)
三、填空题
13．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．
14．从长度分别为1,2,3,4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则eq \f(m,n)等于________．
15．从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为________．
16．如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，则它的涂漆面数为2的概率为________，涂漆面数为3的概率为________．
四、解答题
17．盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．
(1)从中取出1只，检验是否为正品后放回，再取出1只进行检验，求连续两次取出的都是正品的概率；
(2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率．
18．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．
(1)若以A表示事件“和为6”，求P(A)；
(2)若以B表示事件“和大于4且小于9”，求P(B)；
(3)这个游戏公平吗？请说明理由．
19．先后掷两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：两个骰子点数相同，事件B：点数之和小于7，事件C：点数之和小于11，求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A＋B)，P(C)．
20．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
5.3.3 古典概型
知识点一 样本点个数的计算
1．一个家庭有两个小孩，对于性别，则所有的样本点是( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
答案 C
解析 把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．故选C．
2．从标有1,2,3,4,5,6的6张纸片中任取2张，则样本点的总数是( )
A．5 B．10
C．15 D．20
答案 C
解析 样本空间Ω＝{12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56}，共15个样本点．
3．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求出这个试验的样本点的总数；
(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点．
解 (1)这个试验的样本空间Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．
(2)样本点的总数为6.
(3)“第1次取出的数字是2”包含以下2个样本点：(2,0)，(2,1)．
知识点二 古典概型的判断
4．下列问题中是古典概型的是( )
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一个质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C．在区间[1,4]上任取一个数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两个质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
答案 D
解析 A，B两项中的样本点的发生不是等可能的；C项中样本点的总数是无限的；D项中每个样本点的发生是等可能的，且样本点总数有限．故选D.
5．下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；
②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；
④一只使用中的灯泡的寿命长短；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．
其中属于古典概型的是________．
答案 ③
解析 ①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．
6．一个口袋内装有1个白球和编号分别为1,2,3的3个黑球，它们的大小、质地相同，从中任意摸出2个球．
(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
(2)“摸出的2个球都是黑球”记为事件A，用集合表示事件A．
解 (1)这个试验的样本空间Ω＝{(白，黑1)，(白，黑2)，(白，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}，
且每个样本点是等可能出现的，这个试验是古典概型．
(2)A＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}．
知识点三 古典概型概率的计算
7．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
A．eq \f(4,5) B．eq \f(3,5)
C．eq \f(2,5) D．eq \f(1,5)
答案 D
解析 这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共15个样本点，这15个样本点发生的可能性是相等的．其中满足“b>a”的有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个样本点，所以b>a的概率为eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
8．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(1,6)
答案 A
解析 甲、乙两人参加学习小组，若以(A，B)表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则样本空间Ω＝{(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)}，共9个样本点，且这9个样本点发生的可能性是相等的．其中两人参加同一个学习小组共包含3个样本点，根据古典概型公式，得所求概率为eq \f(1,3).
9．一个三位自然数，百位、十位、个数上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)．若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位自然数为“有缘数”的概率是________．
答案 eq \f(1,2)
解析 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数有6个，由1,3,4组成的三位自然数有6个，由2,3,4组成的三位自然数有6个，所以由a，b，c∈{1,2,3,4}组成的三位自然数共有24个，且每个三位自然数出现的可能性是相等的．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以这个三位自然数为“有缘数”的概率为eq \f(12,24)＝eq \f(1,2).
10．从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率为________．
答案 eq \f(2,5)
解析 设2名男生为A，B,3名女生为a，b，c，则从5名同学中任取2名的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共10个样本点，且这10个样本点发生的可能性是相等的．而这2名同学刚好是一男一女包含的样本点有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共6个样本点，故所求的概率为1－eq \f(6,10)＝eq \f(2,5).
11．一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球记为A1，A2,4个黑球记为B1，B2，B3，B4，从中一次摸出2个球．
(1)写出这个试验的样本空间及样本点总数；
(2)求摸出的2个球颜色不同的概率．
解 (1)这个试验的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共15个样本点．
(2)因为(1)中的15个样本点出现的可能性是相等的，事件“2个球颜色不同”包含的样本点有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，共8个，故所求事件的概率P＝eq \f(8,15).
12．一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张形状、大小完全相同的标签，先后随机地选取2张标签，根据下列条件，分别求2张标签上的数字为相邻整数的概率．
(1)标签的选取是无放回的；
(2)标签的选取是有放回的．
解 记事件A为“选取的2张标签上的数字为相邻整数”．
(1)从4张标签中无放回地随机选取2张，则试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，共有12个样本点，这12个样本点出现的可能性是相等的，A＝{(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)}，包含6个样本点．由古典概型的概率计算公式知P(A)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，故无放回地选取2张标签，其上数字为相邻整数的概率为eq \f(1,2).
(2)从4张标签中有放回地随机选取2张，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共有16个样本点，这16个样本点出现的可能性是相等的．A＝{(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)}，包含6个样本点．由古典概型的概率计算公式知P(A)＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8)，故有放回地选取2张标签，其上数字为相邻整数的概率为eq \f(3,8).
13．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
解 甲校的男教师用A，B表示，女教师用C表示，乙校的男教师用D表示，女教师用E，F表示．
(1)根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，这个试验的样本空间Ω＝{AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF}，共有9个样本点，这9个样本点发生的可能性是相等的．
其中“性别相同”包含的样本点有AD，BD，CE，CF，共4个．
故选出的2名教师性别相同的概率P＝eq \f(4,9).
(2)若从报名的6名教师中任选2名，这个试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF}，共有15个样本点，这15个样本点发生的可能性是相等的．
其中“选出的2名教师来自同一个学校”包含的样本点有AB，AC，BC，DE，DF，EF，共6个样本点．
故选出的2名教师来自同一学校的概率P＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).
易错点 对样本空间列举不全致误
任意掷两个骰子，计算：
(1)出现点数之和为奇数的概率；
(2)出现点数之和为偶数的概率．
易错分析 本题易出现样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,6)}的错误；忽略先后顺序导致对样本空间列举不全致误．
正解 任意掷两个骰子，这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共包含36个样本点，这36个样本点发生的可能性是相等的．
(1)“出现点数之和为奇数”包含的样本点有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，共18个．
因此点数之和为奇数的概率为eq \f(18,36)＝eq \f(1,2).
(2)点数之和为偶数的概率为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
一、单项选择题
1．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，记为M，则集合M恰是集合{a，b，c}的子集的概率是( )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,8)
答案 C
解析 集合{a，b，c，d，e}的子集有25＝32个，而集合{a，b，c}的子集有23＝8个，所以所求概率为eq \f(8,32)＝eq \f(1,4).
2．将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数的概率是( )
A．eq \f(1,9) B．eq \f(1,6)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,3)
答案 D
解析 这个试验的样本空间中共包含36个样本点，且这36个样本点发生的可能性是相等的，“点数之和为3的倍数”包含的样本点有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共12个，因此所求概率为eq \f(12,36)＝eq \f(1,3).
3．把一个质地均匀的骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋by＝3，,x＋2y＝2))只有一组解的概率为( )
A．eq \f(5,12) B．eq \f(11,12)
C．eq \f(5,13) D．eq \f(9,13)
答案 B
解析 点(a，b)的取值集合共有36个元素．方程组只有一组解等价于eq \f(a,1)≠eq \f(b,2)，即b≠2a，而满足b＝2a的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，故方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋by＝3，,x＋2y＝2))只有一组解的概率为eq \f(33,36)＝eq \f(11,12).
4．从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于23的概率是( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,6)
C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,4)
答案 A
解析 这个试验的样本空间Ω＝{12,13,21,23,31,32}，共包含6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的，因此是古典概型．其中“大于23”包含的样本点有31,32，共2个，所以所求概率P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
5．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一新生中进行了抽样调查．已知在被调查的新生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品．现在从这5名学生中随机抽取3人，则至多有1人喜欢甜品的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
答案 D
解析 记2名喜欢甜品的学生分别为a1，a2,3名不喜欢甜品的学生分别为b1，b2，b3.从这5名学生中任取3人的所有可能结果有10个，分别为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，这10个结果发生的可能性是相等的．记事件A表示“至多有1人喜欢甜品”，则事件A包含的所有可能结果有7个，分别为(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)．根据古典概型公式，得至多有1人喜欢甜品的概率P(A)＝eq \f(7,10)＝0.7，故选D.
6. 如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )
A．eq \f(7,10) B．eq \f(3,10)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(4,5)
答案 D
解析 由茎叶图可以计算出甲的平均成绩eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(89＋88＋90＋91＋92,5)＝90，被污损的数学只能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10个中的1个．经计算，当被污损的数字是0,1,2,3,4,5,6,7这8个中的1个时，甲的平均成绩超过乙的平均成绩，因此所求的概率是eq \f(8,10)＝eq \f(4,5)，故选D.
7．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(1,6)
答案 D
解析 设齐王的下等马、中等马、上等马分别为a1，a2，a3，田忌的下等马、中等马、上等马分别为b1，b2，b3.
齐王与田忌赛马，其情况有：
(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；
(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；
(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；
(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；
(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，田忌获胜；
(a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齐王获胜．共6种情况，且这6种情况发生的可能性是相等的．其中田忌获胜的只有一种情形，即(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，则田忌获胜的概率为eq \f(1,6).故选D.
8．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1，2,3,4}，若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A．eq \f(3,8) B．eq \f(5,8)
C．eq \f(3,16) D．eq \f(5,16)
答案 B
解析 两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，这个试验共包含16个样本点，这16个样本点发生的可能性是相等的，其中“|a－b|≤1”包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为eq \f(10,16)＝eq \f(5,8).
二、多项选择题
9．下列有关古典概型的说法中正确的是( )
A．试验中所有样本点的个数只有有限个
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)＝eq \f(k,n)
答案 ACD
解析 B中所说的事件不一定是基本事件，所以B不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知A，C，D正确．故选ACD.
10．从1,2,3，…，30中任意选一个数，则下列说法正确的是( )
A．它是偶数的概率为eq \f(1,2)
B．它能被3整除的概率为eq \f(1,3)
C．它是偶数且能被3整除的概率为eq \f(2,17)
D．它是偶数或能被3整除的概率为eq \f(2,3)
答案 ABD
解析 从30个数中任取一数的样本空间总数为30，记A＝{此数是偶数}，B＝{此数能被3整除}，C＝{此数是偶数且能被3整除}，D＝{此数是偶数或能被3整除}，则事件A包括的样本点总数是15；事件B包含的样本点总数是10；事件C包含的样本点总数是5；事件D包含的样本点总数是20.∴P(A)＝eq \f(15,30)＝eq \f(1,2)；P(B)＝eq \f(10,30)＝eq \f(1,3)；P(C)＝eq \f(5,30)＝eq \f(1,6)；P(D)＝eq \f(20,30)＝eq \f(2,3).故选ABD.
11．某中学共有学生2000名，各年级男生、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19，则下列说法正确的是( )
A．x的值为38
B．抽到高一男生的概率为eq \f(9,50)
C．用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取12名
D．若y≥245，z≥245，则高三年级中女生比男生多的概率为eq \f(5,11)
答案 CD
解析 由eq \f(x,2000)＝0.19，解得x＝380，故A错误；抽到高一男生的概率为eq \f(377,2000)≠eq \f(9,50)，故B错误；高三年级人数为y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500.设应在高三年级抽取m人，则eq \f(m,500)＝eq \f(48,2000)，解得m＝12，故C正确；设高三年级女生比男生多的事件为A，高三年级女生和男生数记为数对(y，z)，由C项分析知y＋x＝500，又y∈Z，z∈Z，y≥245，z≥245，则样本空间包含的样本点有：(245,255)，(246,254)，(247,253)，(248,252)，(249,251)，(250,250)，(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共11个样本点，这11个样本点发生的可能性是相等的，则事件A包含的样本点有：(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共5个样本点，∴P(A)＝eq \f(5,11).故D正确．故选CD.
12．以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是eq \f(1,3)
B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8＝3＋5，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为eq \f(1,15)
C．将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是eq \f(5,36)
D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是eq \f(1,2)
答案 BCD
解析 对于A，画树形图如下：
从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这9种结果出现的可能性相等，P(甲获胜)＝eq \f(1,3)，P(乙获胜)＝eq \f(1,3)，故玩一局甲不输的概率是eq \f(2,3)，A错误；对于B，不超过14的素数有2,3,5,7,11,13，共6个，从这6个素数中任取2个不同的数，有2与3,2与5,2与7，2与11，2与13,3与5,3与7,3与11,3与13,5与7，5与11，5与13,7与11,7与13,11与13，共15种结果，这15种结果出现的可能性是相等的，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为eq \f(1,15)，故B正确；对于C，样本空间中，共有36个样本点，这36个样本点发生的可能性是相等的，其中点数之和是6的有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个样本点，则所求概率是eq \f(5,36)，故C正确；对于D，记三件正品为A1，A2，A3，一件次品为B，任取两件产品的所有可能为A1A2，A1A3，A1B，A2A3，A2B，A3B，共6种，这6种情况发生的可能性是相等的，其中两件都是正品的有A1A2，A1A3，A2A3，共3种，则所求概率为P＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，故D正确．故选BCD.
三、填空题
13．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．
答案 eq \f(1,3)
解析 设一、二等奖分别用A，B表示，另一张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取一张，这个试验的样本空间Ω＝{AB，AC，BA，BC，CA，CB}，共包含6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的．其中两人都中奖的事件包含的样本点有AB，BA，共2个，故所求的概率P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
14．从长度分别为1,2,3,4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则eq \f(m,n)等于________．
答案 eq \f(1,4)
解析 试验发生包含的基本事件数n＝4，即“1,2,3”“1,2,4”“1,3,4”“2,3,4”．由三角形的性质“两边之和大于第三边”知可组成三角形的有“2,3,4”，m＝1.所以eq \f(m,n)＝eq \f(1,4).
15．从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为________．
答案 eq \f(2,3)
解析 从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，这个试验的样本空间Ω＝{(甲、乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(乙、丙)，(乙、丁)，(丙、丁)}，共6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的．其中“甲、乙两人中有且只有一人被选取”这个事件包含的样本点有(甲、丙)，(甲、丁)，(乙、丙)，(乙、丁)，共4个，故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
16．如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，则它的涂漆面数为2的概率为________，涂漆面数为3的概率为________．
答案 eq \f(36,125) eq \f(8,125)
解析 涂漆面数为2的小正方体每条棱上有3个，12条棱共36个，所以涂漆面数为2的概率为eq \f(36,125).涂漆面数为3的小正方体每个顶点处有1个，共有8个，所以涂漆面数为3的概率为eq \f(8,125).
四、解答题
17．盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．
(1)从中取出1只，检验是否为正品后放回，再取出1只进行检验，求连续两次取出的都是正品的概率；
(2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率．
解 (1)将灯泡中2只正品记为a1，a2,1只次品记为b，画出树形图如下图所示：
基本事件总数为9，这9个基本事件发生的可能性是相等的．“连续两次取出的都是正品”包含的基本事件数为4，所以所求概率P＝eq \f(4,9).
(2)“从中一次任取2只”得到等可能发生的基本事件总数是3，即{a1，a2}，{a1，b}，{a2，b}({a1，a2}表示一次取出正品a1，a2)，“2只都是正品”包含的基本事件数是1，所以所求概率P＝eq \f(1,3).
18．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．
(1)若以A表示事件“和为6”，求P(A)；
(2)若以B表示事件“和大于4且小于9”，求P(B)；
(3)这个游戏公平吗？请说明理由．
解 将所有的样本点列表如下：
由上表可知，该试验共包含25个等可能发生的样本点，属于古典概型．
(1)事件A包含了(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个样本点，故P(A)＝eq \f(5,25)＝eq \f(1,5).
(2)事件B包含了(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共16个样本点，所以P(B)＝eq \f(16,25).
(3)这个游戏不公平．因为“和为偶数”的概率为eq \f(13,25)，“和为奇数”的概率是eq \f(12,25)，二者不相等，所以游戏不公平．
19．先后掷两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：两个骰子点数相同，事件B：点数之和小于7，事件C：点数之和小于11，求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A＋B)，P(C)．
解 用数对(x，y)表示抛掷结果，则这个试验的样本空间
Ω＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，1，1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，,2，1，2，2，2，3，2，4，2，5，2，6，,3，1，3，2，3，3，3，4，3，5，3，6，,4，1，4，2，4，3，4，4，4，5，4，6，,5，1，5，2，5，3，5，4，5，5，5，6，,6，1，6，2，6，3，6，4，6，5，6，6))，
共包含36个样本点，这36个样本点发生的可能性是相等的，A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，包含6个样本点，所以P(A)＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6).
B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，1，1，2，1，3，1，4，1，5，,2，1，2，2，2，3，2，4，3，1，,3，2，3，3，4，1，4，2，5，1))，
包含15个样本点，所以P(B)＝eq \f(15,36)＝eq \f(5,12).
AB＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)}，包含3个样本点，
所以P(AB)＝eq \f(3,36)＝eq \f(1,12).
A＋B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，1，1，2，1，3，1，4，1，5，,2，1，2，2，2，3，2，4，3，1，,3，2，3，3，4，1，4，2，5，1，,4，4，5，5，6，6))，
包含18个样本点，所以P(A＋B)＝eq \f(18,36)＝eq \f(1,2).
因为事件C的对立事件eq \(C,\s\up6(－))表示“点数之和等于或大于11”，所以eq \(C,\s\up6(－))＝{(5,6)，(6,5)，(6,6)}，P(eq \(C,\s\up6(－)))＝eq \f(3,36)＝eq \f(1,12).
所以P(C)＝1－P(eq \(C,\s\up6(－)))＝1－eq \f(1,12)＝eq \f(11,12).
20．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以样本点总数n＝16，且这16个样本点发生的可能性是相等的．
(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点共5个，
即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝eq \f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq \f(5,16).
(2)记“xy≥8”为事件B，“3则事件B包含的样本点共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8).
事件C包含的样本点共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
所以P(C)＝eq \f(5,16).因为eq \f(3,8)>eq \f(5,16)，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．高一年级
高二年级
高三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
高一年级
高二年级
高三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
甲
乙
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
知识点一 样本点个数的计算
1．一个家庭有两个小孩，对于性别，则所有的样本点是( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
2．从标有1,2,3,4,5,6的6张纸片中任取2张，则样本点的总数是( )
A．5 B．10
C．15 D．20
3．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求出这个试验的样本点的总数；
(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点．
知识点二 古典概型的判断
4．下列问题中是古典概型的是( )
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一个质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C．在区间[1,4]上任取一个数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两个质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
5．下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；
②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；
④一只使用中的灯泡的寿命长短；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．
其中属于古典概型的是________．
6．一个口袋内装有1个白球和编号分别为1,2,3的3个黑球，它们的大小、质地相同，从中任意摸出2个球．
(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
(2)“摸出的2个球都是黑球”记为事件A，用集合表示事件A．
知识点三 古典概型概率的计算
7．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
A．eq \f(4,5) B．eq \f(3,5)
C．eq \f(2,5) D．eq \f(1,5)
8．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(1,6)
9．一个三位自然数，百位、十位、个数上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)．若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位自然数为“有缘数”的概率是________．
10．从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率为________．
11．一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球记为A1，A2,4个黑球记为B1，B2，B3，B4，从中一次摸出2个球．
(1)写出这个试验的样本空间及样本点总数；
(2)求摸出的2个球颜色不同的概率．
12．一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张形状、大小完全相同的标签，先后随机地选取2张标签，根据下列条件，分别求2张标签上的数字为相邻整数的概率．
(1)标签的选取是无放回的；
(2)标签的选取是有放回的．
13．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
易错点 对样本空间列举不全致误
任意掷两个骰子，计算：
(1)出现点数之和为奇数的概率；
(2)出现点数之和为偶数的概率．
一、单项选择题
1．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，记为M，则集合M恰是集合{a，b，c}的子集的概率是( )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,8)
2．将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数的概率是( )
A．eq \f(1,9) B．eq \f(1,6)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,3)
3．把一个质地均匀的骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋by＝3，,x＋2y＝2))只有一组解的概率为( )
A．eq \f(5,12) B．eq \f(11,12)
C．eq \f(5,13) D．eq \f(9,13)
4．从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于23的概率是( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,6)
C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,4)
5．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一新生中进行了抽样调查．已知在被调查的新生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品．现在从这5名学生中随机抽取3人，则至多有1人喜欢甜品的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
6. 如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )
A．eq \f(7,10) B．eq \f(3,10)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(4,5)
7．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(1,6)
8．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1，2,3,4}，若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A．eq \f(3,8) B．eq \f(5,8)
C．eq \f(3,16) D．eq \f(5,16)
二、多项选择题
9．下列有关古典概型的说法中正确的是( )
A．试验中所有样本点的个数只有有限个
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)＝eq \f(k,n)
10．从1,2,3，…，30中任意选一个数，则下列说法正确的是( )
A．它是偶数的概率为eq \f(1,2)
B．它能被3整除的概率为eq \f(1,3)
C．它是偶数且能被3整除的概率为eq \f(2,17)
D．它是偶数或能被3整除的概率为eq \f(2,3)
11．某中学共有学生2000名，各年级男生、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19，则下列说法正确的是( )
A．x的值为38
B．抽到高一男生的概率为eq \f(9,50)
C．用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取12名
D．若y≥245，z≥245，则高三年级中女生比男生多的概率为eq \f(5,11)
12．以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是eq \f(1,3)
B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8＝3＋5，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为eq \f(1,15)
C．将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是eq \f(5,36)
D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是eq \f(1,2)
三、填空题
13．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．
14．从长度分别为1,2,3,4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则eq \f(m,n)等于________．
15．从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为________．
16．如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，则它的涂漆面数为2的概率为________，涂漆面数为3的概率为________．
四、解答题
17．盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．
(1)从中取出1只，检验是否为正品后放回，再取出1只进行检验，求连续两次取出的都是正品的概率；
(2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率．
18．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．
(1)若以A表示事件“和为6”，求P(A)；
(2)若以B表示事件“和大于4且小于9”，求P(B)；
(3)这个游戏公平吗？请说明理由．
19．先后掷两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：两个骰子点数相同，事件B：点数之和小于7，事件C：点数之和小于11，求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A＋B)，P(C)．
20．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
5.3.3 古典概型
知识点一 样本点个数的计算
1．一个家庭有两个小孩，对于性别，则所有的样本点是( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
答案 C
解析 把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．故选C．
2．从标有1,2,3,4,5,6的6张纸片中任取2张，则样本点的总数是( )
A．5 B．10
C．15 D．20
答案 C
解析 样本空间Ω＝{12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56}，共15个样本点．
3．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求出这个试验的样本点的总数；
(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点．
解 (1)这个试验的样本空间Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．
(2)样本点的总数为6.
(3)“第1次取出的数字是2”包含以下2个样本点：(2,0)，(2,1)．
知识点二 古典概型的判断
4．下列问题中是古典概型的是( )
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一个质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C．在区间[1,4]上任取一个数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两个质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
答案 D
解析 A，B两项中的样本点的发生不是等可能的；C项中样本点的总数是无限的；D项中每个样本点的发生是等可能的，且样本点总数有限．故选D.
5．下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；
②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；
④一只使用中的灯泡的寿命长短；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．
其中属于古典概型的是________．
答案 ③
解析 ①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．
6．一个口袋内装有1个白球和编号分别为1,2,3的3个黑球，它们的大小、质地相同，从中任意摸出2个球．
(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
(2)“摸出的2个球都是黑球”记为事件A，用集合表示事件A．
解 (1)这个试验的样本空间Ω＝{(白，黑1)，(白，黑2)，(白，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}，
且每个样本点是等可能出现的，这个试验是古典概型．
(2)A＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}．
知识点三 古典概型概率的计算
7．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
A．eq \f(4,5) B．eq \f(3,5)
C．eq \f(2,5) D．eq \f(1,5)
答案 D
解析 这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共15个样本点，这15个样本点发生的可能性是相等的．其中满足“b>a”的有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个样本点，所以b>a的概率为eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
8．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(1,6)
答案 A
解析 甲、乙两人参加学习小组，若以(A，B)表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则样本空间Ω＝{(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)}，共9个样本点，且这9个样本点发生的可能性是相等的．其中两人参加同一个学习小组共包含3个样本点，根据古典概型公式，得所求概率为eq \f(1,3).
9．一个三位自然数，百位、十位、个数上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)．若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位自然数为“有缘数”的概率是________．
答案 eq \f(1,2)
解析 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数有6个，由1,3,4组成的三位自然数有6个，由2,3,4组成的三位自然数有6个，所以由a，b，c∈{1,2,3,4}组成的三位自然数共有24个，且每个三位自然数出现的可能性是相等的．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以这个三位自然数为“有缘数”的概率为eq \f(12,24)＝eq \f(1,2).
10．从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率为________．
答案 eq \f(2,5)
解析 设2名男生为A，B,3名女生为a，b，c，则从5名同学中任取2名的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共10个样本点，且这10个样本点发生的可能性是相等的．而这2名同学刚好是一男一女包含的样本点有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共6个样本点，故所求的概率为1－eq \f(6,10)＝eq \f(2,5).
11．一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球记为A1，A2,4个黑球记为B1，B2，B3，B4，从中一次摸出2个球．
(1)写出这个试验的样本空间及样本点总数；
(2)求摸出的2个球颜色不同的概率．
解 (1)这个试验的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共15个样本点．
(2)因为(1)中的15个样本点出现的可能性是相等的，事件“2个球颜色不同”包含的样本点有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，共8个，故所求事件的概率P＝eq \f(8,15).
12．一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张形状、大小完全相同的标签，先后随机地选取2张标签，根据下列条件，分别求2张标签上的数字为相邻整数的概率．
(1)标签的选取是无放回的；
(2)标签的选取是有放回的．
解 记事件A为“选取的2张标签上的数字为相邻整数”．
(1)从4张标签中无放回地随机选取2张，则试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，共有12个样本点，这12个样本点出现的可能性是相等的，A＝{(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)}，包含6个样本点．由古典概型的概率计算公式知P(A)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，故无放回地选取2张标签，其上数字为相邻整数的概率为eq \f(1,2).
(2)从4张标签中有放回地随机选取2张，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共有16个样本点，这16个样本点出现的可能性是相等的．A＝{(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)}，包含6个样本点．由古典概型的概率计算公式知P(A)＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8)，故有放回地选取2张标签，其上数字为相邻整数的概率为eq \f(3,8).
13．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
解 甲校的男教师用A，B表示，女教师用C表示，乙校的男教师用D表示，女教师用E，F表示．
(1)根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，这个试验的样本空间Ω＝{AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF}，共有9个样本点，这9个样本点发生的可能性是相等的．
其中“性别相同”包含的样本点有AD，BD，CE，CF，共4个．
故选出的2名教师性别相同的概率P＝eq \f(4,9).
(2)若从报名的6名教师中任选2名，这个试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF}，共有15个样本点，这15个样本点发生的可能性是相等的．
其中“选出的2名教师来自同一个学校”包含的样本点有AB，AC，BC，DE，DF，EF，共6个样本点．
故选出的2名教师来自同一学校的概率P＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).
易错点 对样本空间列举不全致误
任意掷两个骰子，计算：
(1)出现点数之和为奇数的概率；
(2)出现点数之和为偶数的概率．
易错分析 本题易出现样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,6)}的错误；忽略先后顺序导致对样本空间列举不全致误．
正解 任意掷两个骰子，这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共包含36个样本点，这36个样本点发生的可能性是相等的．
(1)“出现点数之和为奇数”包含的样本点有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，共18个．
因此点数之和为奇数的概率为eq \f(18,36)＝eq \f(1,2).
(2)点数之和为偶数的概率为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
一、单项选择题
1．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，记为M，则集合M恰是集合{a，b，c}的子集的概率是( )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,8)
答案 C
解析 集合{a，b，c，d，e}的子集有25＝32个，而集合{a，b，c}的子集有23＝8个，所以所求概率为eq \f(8,32)＝eq \f(1,4).
2．将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数的概率是( )
A．eq \f(1,9) B．eq \f(1,6)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,3)
答案 D
解析 这个试验的样本空间中共包含36个样本点，且这36个样本点发生的可能性是相等的，“点数之和为3的倍数”包含的样本点有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共12个，因此所求概率为eq \f(12,36)＝eq \f(1,3).
3．把一个质地均匀的骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋by＝3，,x＋2y＝2))只有一组解的概率为( )
A．eq \f(5,12) B．eq \f(11,12)
C．eq \f(5,13) D．eq \f(9,13)
答案 B
解析 点(a，b)的取值集合共有36个元素．方程组只有一组解等价于eq \f(a,1)≠eq \f(b,2)，即b≠2a，而满足b＝2a的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，故方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋by＝3，,x＋2y＝2))只有一组解的概率为eq \f(33,36)＝eq \f(11,12).
4．从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于23的概率是( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,6)
C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,4)
答案 A
解析 这个试验的样本空间Ω＝{12,13,21,23,31,32}，共包含6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的，因此是古典概型．其中“大于23”包含的样本点有31,32，共2个，所以所求概率P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
5．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一新生中进行了抽样调查．已知在被调查的新生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品．现在从这5名学生中随机抽取3人，则至多有1人喜欢甜品的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
答案 D
解析 记2名喜欢甜品的学生分别为a1，a2,3名不喜欢甜品的学生分别为b1，b2，b3.从这5名学生中任取3人的所有可能结果有10个，分别为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，这10个结果发生的可能性是相等的．记事件A表示“至多有1人喜欢甜品”，则事件A包含的所有可能结果有7个，分别为(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)．根据古典概型公式，得至多有1人喜欢甜品的概率P(A)＝eq \f(7,10)＝0.7，故选D.
6. 如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )
A．eq \f(7,10) B．eq \f(3,10)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(4,5)
答案 D
解析 由茎叶图可以计算出甲的平均成绩eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(89＋88＋90＋91＋92,5)＝90，被污损的数学只能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10个中的1个．经计算，当被污损的数字是0,1,2,3,4,5,6,7这8个中的1个时，甲的平均成绩超过乙的平均成绩，因此所求的概率是eq \f(8,10)＝eq \f(4,5)，故选D.
7．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(1,6)
答案 D
解析 设齐王的下等马、中等马、上等马分别为a1，a2，a3，田忌的下等马、中等马、上等马分别为b1，b2，b3.
齐王与田忌赛马，其情况有：
(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；
(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；
(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；
(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；
(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，田忌获胜；
(a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齐王获胜．共6种情况，且这6种情况发生的可能性是相等的．其中田忌获胜的只有一种情形，即(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，则田忌获胜的概率为eq \f(1,6).故选D.
8．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1，2,3,4}，若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A．eq \f(3,8) B．eq \f(5,8)
C．eq \f(3,16) D．eq \f(5,16)
答案 B
解析 两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，这个试验共包含16个样本点，这16个样本点发生的可能性是相等的，其中“|a－b|≤1”包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为eq \f(10,16)＝eq \f(5,8).
二、多项选择题
9．下列有关古典概型的说法中正确的是( )
A．试验中所有样本点的个数只有有限个
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)＝eq \f(k,n)
答案 ACD
解析 B中所说的事件不一定是基本事件，所以B不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知A，C，D正确．故选ACD.
10．从1,2,3，…，30中任意选一个数，则下列说法正确的是( )
A．它是偶数的概率为eq \f(1,2)
B．它能被3整除的概率为eq \f(1,3)
C．它是偶数且能被3整除的概率为eq \f(2,17)
D．它是偶数或能被3整除的概率为eq \f(2,3)
答案 ABD
解析 从30个数中任取一数的样本空间总数为30，记A＝{此数是偶数}，B＝{此数能被3整除}，C＝{此数是偶数且能被3整除}，D＝{此数是偶数或能被3整除}，则事件A包括的样本点总数是15；事件B包含的样本点总数是10；事件C包含的样本点总数是5；事件D包含的样本点总数是20.∴P(A)＝eq \f(15,30)＝eq \f(1,2)；P(B)＝eq \f(10,30)＝eq \f(1,3)；P(C)＝eq \f(5,30)＝eq \f(1,6)；P(D)＝eq \f(20,30)＝eq \f(2,3).故选ABD.
11．某中学共有学生2000名，各年级男生、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19，则下列说法正确的是( )
A．x的值为38
B．抽到高一男生的概率为eq \f(9,50)
C．用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取12名
D．若y≥245，z≥245，则高三年级中女生比男生多的概率为eq \f(5,11)
答案 CD
解析 由eq \f(x,2000)＝0.19，解得x＝380，故A错误；抽到高一男生的概率为eq \f(377,2000)≠eq \f(9,50)，故B错误；高三年级人数为y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500.设应在高三年级抽取m人，则eq \f(m,500)＝eq \f(48,2000)，解得m＝12，故C正确；设高三年级女生比男生多的事件为A，高三年级女生和男生数记为数对(y，z)，由C项分析知y＋x＝500，又y∈Z，z∈Z，y≥245，z≥245，则样本空间包含的样本点有：(245,255)，(246,254)，(247,253)，(248,252)，(249,251)，(250,250)，(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共11个样本点，这11个样本点发生的可能性是相等的，则事件A包含的样本点有：(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共5个样本点，∴P(A)＝eq \f(5,11).故D正确．故选CD.
12．以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是eq \f(1,3)
B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8＝3＋5，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为eq \f(1,15)
C．将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是eq \f(5,36)
D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是eq \f(1,2)
答案 BCD
解析 对于A，画树形图如下：
从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这9种结果出现的可能性相等，P(甲获胜)＝eq \f(1,3)，P(乙获胜)＝eq \f(1,3)，故玩一局甲不输的概率是eq \f(2,3)，A错误；对于B，不超过14的素数有2,3,5,7,11,13，共6个，从这6个素数中任取2个不同的数，有2与3,2与5,2与7，2与11，2与13,3与5,3与7,3与11,3与13,5与7，5与11，5与13,7与11,7与13,11与13，共15种结果，这15种结果出现的可能性是相等的，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为eq \f(1,15)，故B正确；对于C，样本空间中，共有36个样本点，这36个样本点发生的可能性是相等的，其中点数之和是6的有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个样本点，则所求概率是eq \f(5,36)，故C正确；对于D，记三件正品为A1，A2，A3，一件次品为B，任取两件产品的所有可能为A1A2，A1A3，A1B，A2A3，A2B，A3B，共6种，这6种情况发生的可能性是相等的，其中两件都是正品的有A1A2，A1A3，A2A3，共3种，则所求概率为P＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，故D正确．故选BCD.
三、填空题
13．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．
答案 eq \f(1,3)
解析 设一、二等奖分别用A，B表示，另一张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取一张，这个试验的样本空间Ω＝{AB，AC，BA，BC，CA，CB}，共包含6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的．其中两人都中奖的事件包含的样本点有AB，BA，共2个，故所求的概率P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
14．从长度分别为1,2,3,4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则eq \f(m,n)等于________．
答案 eq \f(1,4)
解析 试验发生包含的基本事件数n＝4，即“1,2,3”“1,2,4”“1,3,4”“2,3,4”．由三角形的性质“两边之和大于第三边”知可组成三角形的有“2,3,4”，m＝1.所以eq \f(m,n)＝eq \f(1,4).
15．从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为________．
答案 eq \f(2,3)
解析 从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，这个试验的样本空间Ω＝{(甲、乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(乙、丙)，(乙、丁)，(丙、丁)}，共6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的．其中“甲、乙两人中有且只有一人被选取”这个事件包含的样本点有(甲、丙)，(甲、丁)，(乙、丙)，(乙、丁)，共4个，故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
16．如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，则它的涂漆面数为2的概率为________，涂漆面数为3的概率为________．
答案 eq \f(36,125) eq \f(8,125)
解析 涂漆面数为2的小正方体每条棱上有3个，12条棱共36个，所以涂漆面数为2的概率为eq \f(36,125).涂漆面数为3的小正方体每个顶点处有1个，共有8个，所以涂漆面数为3的概率为eq \f(8,125).
四、解答题
17．盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．
(1)从中取出1只，检验是否为正品后放回，再取出1只进行检验，求连续两次取出的都是正品的概率；
(2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率．
解 (1)将灯泡中2只正品记为a1，a2,1只次品记为b，画出树形图如下图所示：
基本事件总数为9，这9个基本事件发生的可能性是相等的．“连续两次取出的都是正品”包含的基本事件数为4，所以所求概率P＝eq \f(4,9).
(2)“从中一次任取2只”得到等可能发生的基本事件总数是3，即{a1，a2}，{a1，b}，{a2，b}({a1，a2}表示一次取出正品a1，a2)，“2只都是正品”包含的基本事件数是1，所以所求概率P＝eq \f(1,3).
18．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．
(1)若以A表示事件“和为6”，求P(A)；
(2)若以B表示事件“和大于4且小于9”，求P(B)；
(3)这个游戏公平吗？请说明理由．
解 将所有的样本点列表如下：
由上表可知，该试验共包含25个等可能发生的样本点，属于古典概型．
(1)事件A包含了(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个样本点，故P(A)＝eq \f(5,25)＝eq \f(1,5).
(2)事件B包含了(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共16个样本点，所以P(B)＝eq \f(16,25).
(3)这个游戏不公平．因为“和为偶数”的概率为eq \f(13,25)，“和为奇数”的概率是eq \f(12,25)，二者不相等，所以游戏不公平．
19．先后掷两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：两个骰子点数相同，事件B：点数之和小于7，事件C：点数之和小于11，求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A＋B)，P(C)．
解 用数对(x，y)表示抛掷结果，则这个试验的样本空间
Ω＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，1，1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，,2，1，2，2，2，3，2，4，2，5，2，6，,3，1，3，2，3，3，3，4，3，5，3，6，,4，1，4，2，4，3，4，4，4，5，4，6，,5，1，5，2，5，3，5，4，5，5，5，6，,6，1，6，2，6，3，6，4，6，5，6，6))，
共包含36个样本点，这36个样本点发生的可能性是相等的，A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，包含6个样本点，所以P(A)＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6).
B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，1，1，2，1，3，1，4，1，5，,2，1，2，2，2，3，2，4，3，1，,3，2，3，3，4，1，4，2，5，1))，
包含15个样本点，所以P(B)＝eq \f(15,36)＝eq \f(5,12).
AB＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)}，包含3个样本点，
所以P(AB)＝eq \f(3,36)＝eq \f(1,12).
A＋B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，1，1，2，1，3，1，4，1，5，,2，1，2，2，2，3，2，4，3，1，,3，2，3，3，4，1，4，2，5，1，,4，4，5，5，6，6))，
包含18个样本点，所以P(A＋B)＝eq \f(18,36)＝eq \f(1,2).
因为事件C的对立事件eq \(C,\s\up6(－))表示“点数之和等于或大于11”，所以eq \(C,\s\up6(－))＝{(5,6)，(6,5)，(6,6)}，P(eq \(C,\s\up6(－)))＝eq \f(3,36)＝eq \f(1,12).
所以P(C)＝1－P(eq \(C,\s\up6(－)))＝1－eq \f(1,12)＝eq \f(11,12).
20．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以样本点总数n＝16，且这16个样本点发生的可能性是相等的．
(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点共5个，
即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝eq \f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq \f(5,16).
(2)记“xy≥8”为事件B，“3
事件C包含的样本点共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
所以P(C)＝eq \f(5,16).因为eq \f(3,8)>eq \f(5,16)，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．高一年级
高二年级
高三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
高一年级
高二年级
高三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
甲
乙
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
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