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高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.4 统计与概率的应用练习题
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.4 统计与概率的应用练习题，共29页。
知识点一 统计在实际中的应用
1．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．
2．甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由．
知识点二 概率在实际中的应用
3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为( )
A．eq \f(9,10) B．eq \f(3,10)
C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,10)
4．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．
5．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一名学生摸球，另一名学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6000次．
(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是________；
(2)请你估计袋中红球接近________个．
6．用力伸大拇指有的人是直的(直拇指)，有的人是曲的(曲拇指)．同人的眼皮单双一样，也是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作D，隐性基因记作d；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是直拇指(这就是说，“直拇指”的充要条件是“基因对是DD，dD或Dd”)．同前面一样，决定眼皮单双的基因仍记作B(显性基因)和b(隐性基因)．
有一对夫妻，两人决定大拇指形态和眼皮单双的基因都是DdBb，不考虑基因突变，求他们的孩子是直拇指且单眼皮的概率．(生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．)
7．已知某音响设备由A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道五个部件组成，其中每个部件工作的概率如图所示，当且仅当A与B中有一个工作，C工作，D与E中有一个工作时能听到声音；且若D和E同时工作则有立体声效果．
(1)求能听到立体声效果的概率；
(2)求听不到声音的概率．
8．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成三份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成四份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字(若指针指在分界线上，则重新转动该转盘)，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜；否则乙获胜．你认为这个游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方都公平？
知识点三 统计与概率的综合应用
9．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
(1)求该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．
10．某保险公司决定每月给推销员确定一个具体的销售目标，对推销员实行目标管理．销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额(单位：万元)，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)①根据图中数据，求出月销售额在[14,16)小组内的频率；
②根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务？并说明理由；
(2)该公司决定从月销售额为[22,24)和[24,26]的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率．
易错点 不能将实际问题转化为统计与概率问题求解致误
在调查运动员服用兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面向上，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．
由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．
如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，试估计这群人中服用过兴奋剂的百分率．
一、单项选择题
1．某校高二(1)班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是eq \f(3,4)和eq \f(4,5)，且两人是否进球相互没有影响．现甲、乙各投篮一次，恰有一人进球的概率是( )
A．eq \f(1,20) B．eq \f(3,20)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(7,20)
2．某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，有3位对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( )
A．36人 B．30人
C．24人 D．18人
3．从一群玩游戏的小孩中抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续玩游戏，一会儿后，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计一共有小孩( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k·\f(n,m)))人 B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k·\f(m,n)))人
C．(k＋m－n)人 D．eq \f(1,2)(k＋m－n)人
4．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
5．在如图所示的一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与25%分位数之和为56，则被污染的数字为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
6．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时抛出自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(15,32)
C．eq \f(11,32) D．eq \f(5,16)
7．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作抛骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，得到所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )
A．甲得9张，乙得3张
B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张
D．甲得10张，乙得2张
8．有三个游戏规则如下，袋子中分别装有形状、大小相同的球，从袋中无放回地取球．
其中不公平的游戏是( )
A．游戏2 B．游戏3
C．游戏1和游戏2 D．游戏1和游戏3
二、多项选择题
9．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下扇形统计图：
则下列结论正确的是( )
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
10．有甲、乙两支女子曲棍球队，为了预测来年的情况，作了如下统计：在当年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为5.1，全年比赛进球个数的标准差为21；而乙队平均每场进球数为0.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.那么有关来年的叙述正确的是( )
A．甲队的每场进球数一定比乙队多
B．估计乙队发挥比甲队稳定
C．与甲队相比，估计乙队几乎每场都进球
D．甲队的总进球数可能比乙队要多
11. 如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1,2,3,4,5,6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相同(假设指针不会落在分界线上)，下列叙述正确的是( )
A．如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形
B．只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形
C．指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等
D．P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＋P(6)＝1
12．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
则下列说法正确的是( )
A．用水量在[2,2.5)的频率为0.26
B．a＝0.30
C．若该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为36000
D．若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值为3
三、填空题
13．从某地区15000名老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多________人．
14．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.
15．一篇关于“键盘侠”的时评引发了大家对“键盘侠”的热议(“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象)．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．
16．如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下，从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，则他们在同一分数段的概率是________．
四、解答题
17．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
18．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}，对下述两种情形，请讨论A与B的独立性．
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
19．如图所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
20. 网络直播是一种新兴的网络社交方式，网络直播平台也成为了一种崭新的社交媒体。很多人选择在快手、抖音等网络直播平台上分享自己的生活点滴.2020年的寒假，注定不凡．因为新冠病毒疫情的影响，开学延迟了，老师们停课不停教，在网络上直播授课；同学们停课不停学，在家上网课．某网络社交平台为了了解网络直播在大众中的熟知度，对15～65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你直播过吗？”其中，回答“直播过”的共有n个人，把这n个人按照年龄分成5组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，其中，第一组的频数为20.
(1)求n和x的值，并根据频率分布直方图估计这组数据的众数；
(2)从第1,3,4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第1,3,4组抽取的人数；
(3)在(2)抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率．
5.4 统计与概率的应用
知识点一 统计在实际中的应用
1．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．
答案 50 1015
解析 第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.
2．甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由．
解 派甲参赛比较合适．理由如下：
eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,8)×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,8)×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,8)×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,8)×[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.
因为eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \(x,\s\up6(－))乙，seq \\al(2,甲)(或派乙参赛比较合适．理由如下：从统计的角度看，甲获得85分以上(含85分)的频率为f1＝eq \f(3,8)，乙获得85分以上(含85分)的频率为f2＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2).因为f2>f1，所以派乙参赛比较合适．)
知识点二 概率在实际中的应用
3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为( )
A．eq \f(9,10) B．eq \f(3,10)
C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,10)
答案 B
解析 第一次接通电话的概率为eq \f(1,10)，第二次接通电话的概率为eq \f(9,10)×eq \f(1,9)＝eq \f(1,10)，第三次接通电话的概率为eq \f(9×8×1,10×9×8)＝eq \f(1,10)，所以拨号不超过三次就接通电话的概率为eq \f(1,10)＋eq \f(1,10)＋eq \f(1,10)＝eq \f(3,10).故选B.
4．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．
答案 eq \f(1,3) eq \f(1,4)
解析 由题意知，第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为eq \f(2,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为eq \f(2,4)×eq \f(2,4)＝eq \f(1,4).
5．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一名学生摸球，另一名学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6000次．
(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是________；
(2)请你估计袋中红球接近________个．
答案 (1)eq \f(3,4) (2)15
解析 (1)∵20×400＝8000，∴摸到红球的频率为eq \f(6000,8000)＝eq \f(3,4)，∵试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，∴估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是eq \f(3,4).
(2)设袋中红球有x个，根据题意得eq \f(x,x＋5)＝eq \f(3,4)，
解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．
∴估计袋中红球接近15个．
6．用力伸大拇指有的人是直的(直拇指)，有的人是曲的(曲拇指)．同人的眼皮单双一样，也是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作D，隐性基因记作d；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是直拇指(这就是说，“直拇指”的充要条件是“基因对是DD，dD或Dd”)．同前面一样，决定眼皮单双的基因仍记作B(显性基因)和b(隐性基因)．
有一对夫妻，两人决定大拇指形态和眼皮单双的基因都是DdBb，不考虑基因突变，求他们的孩子是直拇指且单眼皮的概率．(生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．)
解 解法一：根据题意，这对夫妻孩子的决定大拇指形态和眼皮单双的基因的所有可能可以用下图所示．
不难看出，样本空间中共包含16个样本点，其中表示直拇指且单眼皮的是DDbb，Ddbb，dDbb，因此，所求概率为eq \f(3,16).
解法二：先考虑孩子是直拇指的概率．
所有的情况可用右图表示，由右图可以看出，孩子是直拇指的概率约为eq \f(3,4).
同理，孩子是双眼皮的概率为eq \f(3,4)，
因此是单眼皮的概率为1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4).
由于不同性状的基因遗传时互不干扰，也就是说是否为直拇指与是否为单眼皮相互独立，
因此是直拇指且单眼皮的概率为eq \f(3,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(3,16).
7．已知某音响设备由A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道五个部件组成，其中每个部件工作的概率如图所示，当且仅当A与B中有一个工作，C工作，D与E中有一个工作时能听到声音；且若D和E同时工作则有立体声效果．
(1)求能听到立体声效果的概率；
(2)求听不到声音的概率．
解 (1)能听到立体声效果的概率P1＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×0.94×0.94＝0.8352229.
(2)能听到声音的概率P2＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×[1－(1－0.94)2]＝0.9418471，
从而所求概率为1－P2＝1－0.9418471＝0.0581529.
8．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成三份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成四份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字(若指针指在分界线上，则重新转动该转盘)，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜；否则乙获胜．你认为这个游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方都公平？
解 列表如下：
由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．
因为P(和为6)＝eq \f(3,12)＝eq \f(1,4)，即甲、乙获胜的概率不相等，
所以这个游戏规则不公平．
规则改为：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和小于等于6，那么甲获胜；否则乙获胜．此时游戏对双方都公平．
知识点三 统计与概率的综合应用
9．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
(1)求该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．
解 (1)样本中男生人数为2＋5＋14＋13＋4＋2＝40，由分层抽样比例为10%，知全校男生人数为eq \f(40,10%)＝400.
(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35人，样本容量为70，
所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝eq \f(35,70)＝0.5.
故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率是0.5.
(3)样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④；样本中身高在185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.
从上述6人中任选2人的树状图如图所示．
故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，且每种可能性相等，至少有1人身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，因此所求的概率是eq \f(9,15)＝eq \f(3,5).
10．某保险公司决定每月给推销员确定一个具体的销售目标，对推销员实行目标管理．销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额(单位：万元)，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)①根据图中数据，求出月销售额在[14,16)小组内的频率；
②根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务？并说明理由；
(2)该公司决定从月销售额为[22,24)和[24,26]的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率．
解 (1)①月销售额在[14,16)小组内的频率为1－2×(0.03＋0.12＋0.18＋0.07＋0.02＋0.02)＝0.12.
②若要使70%的推销员能完成月销售额目标，则意味着30%的推销员不能完成该目标．根据题图所示的频率分布直方图知，[12,14)和[14,16)两组的频率之和为0.18，
故估计月销售额目标应定为16＋eq \f(0.12,0.24)×2＝17万元．
(2)根据频率分布直方图可知，月销售额为[22,24)和[24,26]的频率分别为0.04,0.04，则月销售额在[22,24)内的有2人，分别记为A1，A2，月销售额在[24,26]内的有2人，分别记为B1，B2，则不同的选择有：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，一共6种情况，每一种情况都是等可能的，而2人来自同一个小组的情况有2种，所以选出的推销员来自同一个小组的概率P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
易错点 不能将实际问题转化为统计与概率问题求解致误
在调查运动员服用兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面向上，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．
由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．
如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，试估计这群人中服用过兴奋剂的百分率．
易错分析 本题的易错之处是不能准确地将“80个‘是’”“一分为二”，得不出“5个回答‘是’的人服用过兴奋剂”这一结论，从而无法求解．
正解 因为掷硬币出现正面向上的概率为eq \f(1,2)，我们期望大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的．在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，其中5个回答“是”的人服用过兴奋剂，因此我们估计这群人中大约有3.33%的人服用过兴奋剂．
一、单项选择题
1．某校高二(1)班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是eq \f(3,4)和eq \f(4,5)，且两人是否进球相互没有影响．现甲、乙各投篮一次，恰有一人进球的概率是( )
A．eq \f(1,20) B．eq \f(3,20)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(7,20)
答案 D
解析 有甲进球乙不进球、甲不进球乙进球两种情况，概率为P＝eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))×eq \f(4,5)＝eq \f(7,20).
2．某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，有3位对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( )
A．36人 B．30人
C．24人 D．18人
答案 A
解析 设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x，x,3x，由题意得3x－x＝12，x＝6，所以持“喜欢”态度的有6x＝36人．
3．从一群玩游戏的小孩中抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续玩游戏，一会儿后，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计一共有小孩( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k·\f(n,m)))人 B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k·\f(m,n)))人
C．(k＋m－n)人 D．eq \f(1,2)(k＋m－n)人
答案 B
解析 设参加游戏的小孩一共有x人，则eq \f(k,x)＝eq \f(n,m)，所以x＝eq \f(km,n)，即参加游戏的小孩人数约为eq \f(km,n)人．
4．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
答案 B
解析 设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.
5．在如图所示的一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与25%分位数之和为56，则被污染的数字为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 D
解析 由图可知，该组数据的极差为48－20＝28，则该组数据的25%分位数为56－28＝28，该组数据有12个，12×25%＝3，设被污染的数字为x，则eq \f(20＋x＋31,2)＝28，得x＝5.故选D.
6．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时抛出自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(15,32)
C．eq \f(11,32) D．eq \f(5,16)
答案 C
解析 假设有甲、乙、丙、丁、戊五个人按顺序围成一桌，五个人同时抛出自己的硬币，基本事件总数为32，这32个基本事件发生的可能性是相等的．若五个人都坐着，有1种情况；若四个人坐着，一个人站着，有5种情况；若三个人坐着，不相邻的两个人站着，有甲丙、甲丁、乙丁、乙戊、丙戊5种情况，故没有相邻的两个人站起来所包含的基本事件共有1＋5＋5＝11个，故所求的概率为eq \f(11,32).选C．
7．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作抛骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，得到所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )
A．甲得9张，乙得3张
B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张
D．甲得10张，乙得2张
答案 A
解析 由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为eq \f(1,2)，即甲、乙每局得分的概率相等，所以甲获胜的概率是eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,4)，乙获胜的概率是eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).所以甲得到的游戏牌为12×eq \f(3,4)＝9张，乙得到的游戏牌为12×eq \f(1,4)＝3张．故选A．
8．有三个游戏规则如下，袋子中分别装有形状、大小相同的球，从袋中无放回地取球．
其中不公平的游戏是( )
A．游戏2 B．游戏3
C．游戏1和游戏2 D．游戏1和游戏3
答案 C
解析 对于游戏1，取出两球同色的概率为eq \f(2,5)，取出两球不同色的概率为eq \f(3,5)，不公平；对于游戏2，取出两球同色的概率为eq \f(1,3)，取出两球不同色的概率为eq \f(2,3)，不公平；对于游戏3，取出两球同色即全是黑球，概率为eq \f(1,2)，取出两球不同色的概率为eq \f(1,2)，公平．故选C．
二、多项选择题
9．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下扇形统计图：
则下列结论正确的是( )
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
答案 BCD
解析 设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村经济收入为2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：
故选BCD.
10．有甲、乙两支女子曲棍球队，为了预测来年的情况，作了如下统计：在当年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为5.1，全年比赛进球个数的标准差为21；而乙队平均每场进球数为0.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.那么有关来年的叙述正确的是( )
A．甲队的每场进球数一定比乙队多
B．估计乙队发挥比甲队稳定
C．与甲队相比，估计乙队几乎每场都进球
D．甲队的总进球数可能比乙队要多
答案 BCD
解析 由于当年甲队全年比赛进球个数的标准差为21，远远大于乙队进球个数的标准差0.3，说明甲队发挥不稳定，乙队发挥稳定；又当年甲队平均每场进球数5.1，远远大于乙队平均每场进球数0.8，说明当年甲队在很多场比赛中进球很少，也有很多场比赛中进球非常多，而乙队当年大部分比赛都进球，只有少部分比赛中没有进球，因此利用当年的比赛情况，可以估计来年的比赛情况：甲队的每场进球数只是可能比乙队多．所以A不正确；故选BCD.
11. 如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1,2,3,4,5,6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相同(假设指针不会落在分界线上)，下列叙述正确的是( )
A．如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形
B．只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形
C．指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等
D．P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＋P(6)＝1
答案 CD
解析 显然A，B错误．指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率均为eq \f(1,2)，∴C正确．由于指针落在分界线上的概率为0，∴P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＋P(6)＝1，D正确．
12．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
则下列说法正确的是( )
A．用水量在[2,2.5)的频率为0.26
B．a＝0.30
C．若该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为36000
D．若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值为3
答案 ABC
解析 由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝位居民中每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.根据样本中的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x<3.由0.30×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.所以估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．故选ABC．
三、填空题
13．从某地区15000名老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多________人．
答案 60
解析 在容量为500的随机样本中，生活不能自理的老人中男性比女性多2人，则在该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多2÷eq \f(500,15000)＝60人．
14．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.
答案 0.97 0.03
解析 断头不超过两次的概率P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P2＝1－P1＝1－0.97＝0.03.
15．一篇关于“键盘侠”的时评引发了大家对“键盘侠”的热议(“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象)．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．
答案 6912
解析 在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－eq \f(14,50)＝eq \f(18,25)，所以可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9600×eq \f(18,25)＝6912人．
16．如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下，从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，则他们在同一分数段的概率是________．
答案 eq \f(7,15)
解析 记“选出的2人在同一分数段”为事件E,80～90分之间有40×0.1＝4人，设为a，b，c，d；90～100分之间有40×0.05＝2人，设为A，B.从这6人中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15个基本事件，且这15个基本事件发生的可能性是相等的，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7个基本事件，则P(E)＝eq \f(7,15).
四、解答题
17．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
解 设保护区中天鹅的数量约为n，
假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，
从保护区中任捕一只，设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，
则P(A)＝eq \f(200,n)，①
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，
由概率的统计定义可知P(A)＝eq \f(20,150)，②
由①②两式，得eq \f(200,n)＝eq \f(20,150)，
解得n＝1500，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1500只．
18．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}，对下述两种情形，请讨论A与B的独立性．
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
解 (1)有两个小孩的家庭，小孩性别的所有可能情况为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，样本点个数为4，
由等可能性知每个样本点发生的概率均为eq \f(1,4).
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(3,4)，P(AB)＝eq \f(1,2).
显然P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩性别的所有可能情况为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，样本点个数为8，
由等可能性知每个样本点发生的概率均为eq \f(1,8).
这时A中含有6个样本点，B中含有4个样本点，AB中含有3个样本点．
于是P(A)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4)，P(B)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(3,8).
显然P(AB)＝P(A)P(B)成立，
所以事件A与B是相互独立的．
19．如图所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解 (1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44人，
故用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为：
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知，P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，
所以甲应选择L1.
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，
所以乙应选择L2.
20. 网络直播是一种新兴的网络社交方式，网络直播平台也成为了一种崭新的社交媒体。很多人选择在快手、抖音等网络直播平台上分享自己的生活点滴.2020年的寒假，注定不凡．因为新冠病毒疫情的影响，开学延迟了，老师们停课不停教，在网络上直播授课；同学们停课不停学，在家上网课．某网络社交平台为了了解网络直播在大众中的熟知度，对15～65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你直播过吗？”其中，回答“直播过”的共有n个人，把这n个人按照年龄分成5组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，其中，第一组的频数为20.
(1)求n和x的值，并根据频率分布直方图估计这组数据的众数；
(2)从第1,3,4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第1,3,4组抽取的人数；
(3)在(2)抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率．
解 (1)由题意可知，n＝eq \f(20,0.020×10)＝100，
由10×(0.020＋0.036＋x＋0.010＋0.004)＝1，
解得x＝0.030，
由频率分布直方图可估计这组数据的众数为30.
(2)第1,3,4组频率之比为
0．020∶0.030∶0.010＝2∶3∶1，
则从第1组抽取的人数为6×eq \f(2,6)＝2，
从第3组抽取的人数为6×eq \f(3,6)＝3，
从第4组抽取的人数为6×eq \f(1,6)＝1.
(3)设第1组抽取的2人为A1，A2，第3组抽取的3人为B1，B2，B3，第4组抽取的1人为C，则从这6人中随机抽取2人的所有可能结果如下：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C)，(B2，B3)，(B2，C)，(B3，C)，共有15个样本点，这15个样本点发生的可能性是相等的，其中符合“抽取的2人来自同一个组”的样本点有(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共4个，所以抽取的2人来自同一个组的概率P＝eq \f(4,15).游戏1
游戏2
游戏3
袋中装有3个黑球和2个白球
袋中装有2个黑球和2个白球
袋中装有3个黑球和1个白球
从袋中取出2个球
从袋中取出2个球
从袋中取出2个球
若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球不同色，则乙胜
若取出的两个球不同色，则乙胜
若取出的两个球不同色，则乙胜
性别
人数
生活能否自理
男
女
能
178
278
不能
23
21
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
B
A
3
4
5
6
1
4
5
6
7
2
5
6
7
8
3
6
7
8
9
游戏1
游戏2
游戏3
袋中装有3个黑球和2个白球
袋中装有2个黑球和2个白球
袋中装有3个黑球和1个白球
从袋中取出2个球
从袋中取出2个球
从袋中取出2个球
若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球不同色，则乙胜
若取出的两个球不同色，则乙胜
若取出的两个球不同色，则乙胜
新农村建设前
新农村建设后
新农村建设后变化情况
结论
种植收入
60%a
37%×2a＝74%a
增加
A错误
其他收入
4%a
5%×2a＝10%a
增加一倍以上
B正确
养殖收入
30%a
30%×2a＝60%a
增加了一倍
C正确
养殖收入＋第三产业收入
(30%＋6%)a
＝36%a
(30%＋28%)
×2a＝116%a
超过经济收
入2a的一半
D正确
性别
人数
生活能否自理
男
女
能
178
278
不能
23
21
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
知识点一 统计在实际中的应用
1．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．
2．甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由．
知识点二 概率在实际中的应用
3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为( )
A．eq \f(9,10) B．eq \f(3,10)
C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,10)
4．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．
5．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一名学生摸球，另一名学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6000次．
(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是________；
(2)请你估计袋中红球接近________个．
6．用力伸大拇指有的人是直的(直拇指)，有的人是曲的(曲拇指)．同人的眼皮单双一样，也是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作D，隐性基因记作d；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是直拇指(这就是说，“直拇指”的充要条件是“基因对是DD，dD或Dd”)．同前面一样，决定眼皮单双的基因仍记作B(显性基因)和b(隐性基因)．
有一对夫妻，两人决定大拇指形态和眼皮单双的基因都是DdBb，不考虑基因突变，求他们的孩子是直拇指且单眼皮的概率．(生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．)
7．已知某音响设备由A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道五个部件组成，其中每个部件工作的概率如图所示，当且仅当A与B中有一个工作，C工作，D与E中有一个工作时能听到声音；且若D和E同时工作则有立体声效果．
(1)求能听到立体声效果的概率；
(2)求听不到声音的概率．
8．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成三份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成四份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字(若指针指在分界线上，则重新转动该转盘)，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜；否则乙获胜．你认为这个游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方都公平？
知识点三 统计与概率的综合应用
9．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
(1)求该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．
10．某保险公司决定每月给推销员确定一个具体的销售目标，对推销员实行目标管理．销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额(单位：万元)，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)①根据图中数据，求出月销售额在[14,16)小组内的频率；
②根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务？并说明理由；
(2)该公司决定从月销售额为[22,24)和[24,26]的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率．
易错点 不能将实际问题转化为统计与概率问题求解致误
在调查运动员服用兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面向上，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．
由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．
如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，试估计这群人中服用过兴奋剂的百分率．
一、单项选择题
1．某校高二(1)班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是eq \f(3,4)和eq \f(4,5)，且两人是否进球相互没有影响．现甲、乙各投篮一次，恰有一人进球的概率是( )
A．eq \f(1,20) B．eq \f(3,20)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(7,20)
2．某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，有3位对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( )
A．36人 B．30人
C．24人 D．18人
3．从一群玩游戏的小孩中抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续玩游戏，一会儿后，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计一共有小孩( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k·\f(n,m)))人 B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k·\f(m,n)))人
C．(k＋m－n)人 D．eq \f(1,2)(k＋m－n)人
4．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
5．在如图所示的一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与25%分位数之和为56，则被污染的数字为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
6．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时抛出自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(15,32)
C．eq \f(11,32) D．eq \f(5,16)
7．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作抛骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，得到所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )
A．甲得9张，乙得3张
B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张
D．甲得10张，乙得2张
8．有三个游戏规则如下，袋子中分别装有形状、大小相同的球，从袋中无放回地取球．
其中不公平的游戏是( )
A．游戏2 B．游戏3
C．游戏1和游戏2 D．游戏1和游戏3
二、多项选择题
9．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下扇形统计图：
则下列结论正确的是( )
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
10．有甲、乙两支女子曲棍球队，为了预测来年的情况，作了如下统计：在当年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为5.1，全年比赛进球个数的标准差为21；而乙队平均每场进球数为0.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.那么有关来年的叙述正确的是( )
A．甲队的每场进球数一定比乙队多
B．估计乙队发挥比甲队稳定
C．与甲队相比，估计乙队几乎每场都进球
D．甲队的总进球数可能比乙队要多
11. 如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1,2,3,4,5,6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相同(假设指针不会落在分界线上)，下列叙述正确的是( )
A．如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形
B．只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形
C．指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等
D．P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＋P(6)＝1
12．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
则下列说法正确的是( )
A．用水量在[2,2.5)的频率为0.26
B．a＝0.30
C．若该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为36000
D．若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值为3
三、填空题
13．从某地区15000名老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多________人．
14．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.
15．一篇关于“键盘侠”的时评引发了大家对“键盘侠”的热议(“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象)．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．
16．如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下，从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，则他们在同一分数段的概率是________．
四、解答题
17．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
18．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}，对下述两种情形，请讨论A与B的独立性．
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
19．如图所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
20. 网络直播是一种新兴的网络社交方式，网络直播平台也成为了一种崭新的社交媒体。很多人选择在快手、抖音等网络直播平台上分享自己的生活点滴.2020年的寒假，注定不凡．因为新冠病毒疫情的影响，开学延迟了，老师们停课不停教，在网络上直播授课；同学们停课不停学，在家上网课．某网络社交平台为了了解网络直播在大众中的熟知度，对15～65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你直播过吗？”其中，回答“直播过”的共有n个人，把这n个人按照年龄分成5组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，其中，第一组的频数为20.
(1)求n和x的值，并根据频率分布直方图估计这组数据的众数；
(2)从第1,3,4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第1,3,4组抽取的人数；
(3)在(2)抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率．
5.4 统计与概率的应用
知识点一 统计在实际中的应用
1．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．
答案 50 1015
解析 第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.
2．甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由．
解 派甲参赛比较合适．理由如下：
eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,8)×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,8)×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,8)×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,8)×[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.
因为eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \(x,\s\up6(－))乙，seq \\al(2,甲)
知识点二 概率在实际中的应用
3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为( )
A．eq \f(9,10) B．eq \f(3,10)
C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,10)
答案 B
解析 第一次接通电话的概率为eq \f(1,10)，第二次接通电话的概率为eq \f(9,10)×eq \f(1,9)＝eq \f(1,10)，第三次接通电话的概率为eq \f(9×8×1,10×9×8)＝eq \f(1,10)，所以拨号不超过三次就接通电话的概率为eq \f(1,10)＋eq \f(1,10)＋eq \f(1,10)＝eq \f(3,10).故选B.
4．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．
答案 eq \f(1,3) eq \f(1,4)
解析 由题意知，第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为eq \f(2,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为eq \f(2,4)×eq \f(2,4)＝eq \f(1,4).
5．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一名学生摸球，另一名学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6000次．
(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是________；
(2)请你估计袋中红球接近________个．
答案 (1)eq \f(3,4) (2)15
解析 (1)∵20×400＝8000，∴摸到红球的频率为eq \f(6000,8000)＝eq \f(3,4)，∵试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，∴估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是eq \f(3,4).
(2)设袋中红球有x个，根据题意得eq \f(x,x＋5)＝eq \f(3,4)，
解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．
∴估计袋中红球接近15个．
6．用力伸大拇指有的人是直的(直拇指)，有的人是曲的(曲拇指)．同人的眼皮单双一样，也是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作D，隐性基因记作d；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是直拇指(这就是说，“直拇指”的充要条件是“基因对是DD，dD或Dd”)．同前面一样，决定眼皮单双的基因仍记作B(显性基因)和b(隐性基因)．
有一对夫妻，两人决定大拇指形态和眼皮单双的基因都是DdBb，不考虑基因突变，求他们的孩子是直拇指且单眼皮的概率．(生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．)
解 解法一：根据题意，这对夫妻孩子的决定大拇指形态和眼皮单双的基因的所有可能可以用下图所示．
不难看出，样本空间中共包含16个样本点，其中表示直拇指且单眼皮的是DDbb，Ddbb，dDbb，因此，所求概率为eq \f(3,16).
解法二：先考虑孩子是直拇指的概率．
所有的情况可用右图表示，由右图可以看出，孩子是直拇指的概率约为eq \f(3,4).
同理，孩子是双眼皮的概率为eq \f(3,4)，
因此是单眼皮的概率为1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4).
由于不同性状的基因遗传时互不干扰，也就是说是否为直拇指与是否为单眼皮相互独立，
因此是直拇指且单眼皮的概率为eq \f(3,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(3,16).
7．已知某音响设备由A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道五个部件组成，其中每个部件工作的概率如图所示，当且仅当A与B中有一个工作，C工作，D与E中有一个工作时能听到声音；且若D和E同时工作则有立体声效果．
(1)求能听到立体声效果的概率；
(2)求听不到声音的概率．
解 (1)能听到立体声效果的概率P1＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×0.94×0.94＝0.8352229.
(2)能听到声音的概率P2＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×[1－(1－0.94)2]＝0.9418471，
从而所求概率为1－P2＝1－0.9418471＝0.0581529.
8．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成三份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成四份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字(若指针指在分界线上，则重新转动该转盘)，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜；否则乙获胜．你认为这个游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方都公平？
解 列表如下：
由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．
因为P(和为6)＝eq \f(3,12)＝eq \f(1,4)，即甲、乙获胜的概率不相等，
所以这个游戏规则不公平．
规则改为：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和小于等于6，那么甲获胜；否则乙获胜．此时游戏对双方都公平．
知识点三 统计与概率的综合应用
9．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
(1)求该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．
解 (1)样本中男生人数为2＋5＋14＋13＋4＋2＝40，由分层抽样比例为10%，知全校男生人数为eq \f(40,10%)＝400.
(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35人，样本容量为70，
所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝eq \f(35,70)＝0.5.
故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率是0.5.
(3)样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④；样本中身高在185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.
从上述6人中任选2人的树状图如图所示．
故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，且每种可能性相等，至少有1人身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，因此所求的概率是eq \f(9,15)＝eq \f(3,5).
10．某保险公司决定每月给推销员确定一个具体的销售目标，对推销员实行目标管理．销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额(单位：万元)，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)①根据图中数据，求出月销售额在[14,16)小组内的频率；
②根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务？并说明理由；
(2)该公司决定从月销售额为[22,24)和[24,26]的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率．
解 (1)①月销售额在[14,16)小组内的频率为1－2×(0.03＋0.12＋0.18＋0.07＋0.02＋0.02)＝0.12.
②若要使70%的推销员能完成月销售额目标，则意味着30%的推销员不能完成该目标．根据题图所示的频率分布直方图知，[12,14)和[14,16)两组的频率之和为0.18，
故估计月销售额目标应定为16＋eq \f(0.12,0.24)×2＝17万元．
(2)根据频率分布直方图可知，月销售额为[22,24)和[24,26]的频率分别为0.04,0.04，则月销售额在[22,24)内的有2人，分别记为A1，A2，月销售额在[24,26]内的有2人，分别记为B1，B2，则不同的选择有：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，一共6种情况，每一种情况都是等可能的，而2人来自同一个小组的情况有2种，所以选出的推销员来自同一个小组的概率P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
易错点 不能将实际问题转化为统计与概率问题求解致误
在调查运动员服用兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面向上，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．
由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．
如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，试估计这群人中服用过兴奋剂的百分率．
易错分析 本题的易错之处是不能准确地将“80个‘是’”“一分为二”，得不出“5个回答‘是’的人服用过兴奋剂”这一结论，从而无法求解．
正解 因为掷硬币出现正面向上的概率为eq \f(1,2)，我们期望大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的．在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，其中5个回答“是”的人服用过兴奋剂，因此我们估计这群人中大约有3.33%的人服用过兴奋剂．
一、单项选择题
1．某校高二(1)班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是eq \f(3,4)和eq \f(4,5)，且两人是否进球相互没有影响．现甲、乙各投篮一次，恰有一人进球的概率是( )
A．eq \f(1,20) B．eq \f(3,20)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(7,20)
答案 D
解析 有甲进球乙不进球、甲不进球乙进球两种情况，概率为P＝eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))×eq \f(4,5)＝eq \f(7,20).
2．某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，有3位对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( )
A．36人 B．30人
C．24人 D．18人
答案 A
解析 设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x，x,3x，由题意得3x－x＝12，x＝6，所以持“喜欢”态度的有6x＝36人．
3．从一群玩游戏的小孩中抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续玩游戏，一会儿后，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计一共有小孩( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k·\f(n,m)))人 B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k·\f(m,n)))人
C．(k＋m－n)人 D．eq \f(1,2)(k＋m－n)人
答案 B
解析 设参加游戏的小孩一共有x人，则eq \f(k,x)＝eq \f(n,m)，所以x＝eq \f(km,n)，即参加游戏的小孩人数约为eq \f(km,n)人．
4．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
答案 B
解析 设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.
5．在如图所示的一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与25%分位数之和为56，则被污染的数字为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 D
解析 由图可知，该组数据的极差为48－20＝28，则该组数据的25%分位数为56－28＝28，该组数据有12个，12×25%＝3，设被污染的数字为x，则eq \f(20＋x＋31,2)＝28，得x＝5.故选D.
6．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时抛出自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(15,32)
C．eq \f(11,32) D．eq \f(5,16)
答案 C
解析 假设有甲、乙、丙、丁、戊五个人按顺序围成一桌，五个人同时抛出自己的硬币，基本事件总数为32，这32个基本事件发生的可能性是相等的．若五个人都坐着，有1种情况；若四个人坐着，一个人站着，有5种情况；若三个人坐着，不相邻的两个人站着，有甲丙、甲丁、乙丁、乙戊、丙戊5种情况，故没有相邻的两个人站起来所包含的基本事件共有1＋5＋5＝11个，故所求的概率为eq \f(11,32).选C．
7．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作抛骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，得到所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )
A．甲得9张，乙得3张
B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张
D．甲得10张，乙得2张
答案 A
解析 由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为eq \f(1,2)，即甲、乙每局得分的概率相等，所以甲获胜的概率是eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,4)，乙获胜的概率是eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).所以甲得到的游戏牌为12×eq \f(3,4)＝9张，乙得到的游戏牌为12×eq \f(1,4)＝3张．故选A．
8．有三个游戏规则如下，袋子中分别装有形状、大小相同的球，从袋中无放回地取球．
其中不公平的游戏是( )
A．游戏2 B．游戏3
C．游戏1和游戏2 D．游戏1和游戏3
答案 C
解析 对于游戏1，取出两球同色的概率为eq \f(2,5)，取出两球不同色的概率为eq \f(3,5)，不公平；对于游戏2，取出两球同色的概率为eq \f(1,3)，取出两球不同色的概率为eq \f(2,3)，不公平；对于游戏3，取出两球同色即全是黑球，概率为eq \f(1,2)，取出两球不同色的概率为eq \f(1,2)，公平．故选C．
二、多项选择题
9．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下扇形统计图：
则下列结论正确的是( )
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
答案 BCD
解析 设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村经济收入为2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：
故选BCD.
10．有甲、乙两支女子曲棍球队，为了预测来年的情况，作了如下统计：在当年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为5.1，全年比赛进球个数的标准差为21；而乙队平均每场进球数为0.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.那么有关来年的叙述正确的是( )
A．甲队的每场进球数一定比乙队多
B．估计乙队发挥比甲队稳定
C．与甲队相比，估计乙队几乎每场都进球
D．甲队的总进球数可能比乙队要多
答案 BCD
解析 由于当年甲队全年比赛进球个数的标准差为21，远远大于乙队进球个数的标准差0.3，说明甲队发挥不稳定，乙队发挥稳定；又当年甲队平均每场进球数5.1，远远大于乙队平均每场进球数0.8，说明当年甲队在很多场比赛中进球很少，也有很多场比赛中进球非常多，而乙队当年大部分比赛都进球，只有少部分比赛中没有进球，因此利用当年的比赛情况，可以估计来年的比赛情况：甲队的每场进球数只是可能比乙队多．所以A不正确；故选BCD.
11. 如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1,2,3,4,5,6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相同(假设指针不会落在分界线上)，下列叙述正确的是( )
A．如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形
B．只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形
C．指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等
D．P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＋P(6)＝1
答案 CD
解析 显然A，B错误．指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率均为eq \f(1,2)，∴C正确．由于指针落在分界线上的概率为0，∴P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＋P(6)＝1，D正确．
12．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
则下列说法正确的是( )
A．用水量在[2,2.5)的频率为0.26
B．a＝0.30
C．若该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为36000
D．若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值为3
答案 ABC
解析 由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝位居民中每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.根据样本中的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x<3.由0.30×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.所以估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．故选ABC．
三、填空题
13．从某地区15000名老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多________人．
答案 60
解析 在容量为500的随机样本中，生活不能自理的老人中男性比女性多2人，则在该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多2÷eq \f(500,15000)＝60人．
14．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.
答案 0.97 0.03
解析 断头不超过两次的概率P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P2＝1－P1＝1－0.97＝0.03.
15．一篇关于“键盘侠”的时评引发了大家对“键盘侠”的热议(“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象)．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．
答案 6912
解析 在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－eq \f(14,50)＝eq \f(18,25)，所以可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9600×eq \f(18,25)＝6912人．
16．如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下，从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，则他们在同一分数段的概率是________．
答案 eq \f(7,15)
解析 记“选出的2人在同一分数段”为事件E,80～90分之间有40×0.1＝4人，设为a，b，c，d；90～100分之间有40×0.05＝2人，设为A，B.从这6人中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15个基本事件，且这15个基本事件发生的可能性是相等的，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7个基本事件，则P(E)＝eq \f(7,15).
四、解答题
17．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
解 设保护区中天鹅的数量约为n，
假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，
从保护区中任捕一只，设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，
则P(A)＝eq \f(200,n)，①
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，
由概率的统计定义可知P(A)＝eq \f(20,150)，②
由①②两式，得eq \f(200,n)＝eq \f(20,150)，
解得n＝1500，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1500只．
18．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}，对下述两种情形，请讨论A与B的独立性．
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
解 (1)有两个小孩的家庭，小孩性别的所有可能情况为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，样本点个数为4，
由等可能性知每个样本点发生的概率均为eq \f(1,4).
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(3,4)，P(AB)＝eq \f(1,2).
显然P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩性别的所有可能情况为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，样本点个数为8，
由等可能性知每个样本点发生的概率均为eq \f(1,8).
这时A中含有6个样本点，B中含有4个样本点，AB中含有3个样本点．
于是P(A)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4)，P(B)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(3,8).
显然P(AB)＝P(A)P(B)成立，
所以事件A与B是相互独立的．
19．如图所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解 (1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44人，
故用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为：
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知，P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，
所以甲应选择L1.
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，
所以乙应选择L2.
20. 网络直播是一种新兴的网络社交方式，网络直播平台也成为了一种崭新的社交媒体。很多人选择在快手、抖音等网络直播平台上分享自己的生活点滴.2020年的寒假，注定不凡．因为新冠病毒疫情的影响，开学延迟了，老师们停课不停教，在网络上直播授课；同学们停课不停学，在家上网课．某网络社交平台为了了解网络直播在大众中的熟知度，对15～65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你直播过吗？”其中，回答“直播过”的共有n个人，把这n个人按照年龄分成5组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，其中，第一组的频数为20.
(1)求n和x的值，并根据频率分布直方图估计这组数据的众数；
(2)从第1,3,4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第1,3,4组抽取的人数；
(3)在(2)抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率．
解 (1)由题意可知，n＝eq \f(20,0.020×10)＝100，
由10×(0.020＋0.036＋x＋0.010＋0.004)＝1，
解得x＝0.030，
由频率分布直方图可估计这组数据的众数为30.
(2)第1,3,4组频率之比为
0．020∶0.030∶0.010＝2∶3∶1，
则从第1组抽取的人数为6×eq \f(2,6)＝2，
从第3组抽取的人数为6×eq \f(3,6)＝3，
从第4组抽取的人数为6×eq \f(1,6)＝1.
(3)设第1组抽取的2人为A1，A2，第3组抽取的3人为B1，B2，B3，第4组抽取的1人为C，则从这6人中随机抽取2人的所有可能结果如下：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C)，(B2，B3)，(B2，C)，(B3，C)，共有15个样本点，这15个样本点发生的可能性是相等的，其中符合“抽取的2人来自同一个组”的样本点有(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共4个，所以抽取的2人来自同一个组的概率P＝eq \f(4,15).游戏1
游戏2
游戏3
袋中装有3个黑球和2个白球
袋中装有2个黑球和2个白球
袋中装有3个黑球和1个白球
从袋中取出2个球
从袋中取出2个球
从袋中取出2个球
若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球不同色，则乙胜
若取出的两个球不同色，则乙胜
若取出的两个球不同色，则乙胜
性别
人数
生活能否自理
男
女
能
178
278
不能
23
21
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
B
A
3
4
5
6
1
4
5
6
7
2
5
6
7
8
3
6
7
8
9
游戏1
游戏2
游戏3
袋中装有3个黑球和2个白球
袋中装有2个黑球和2个白球
袋中装有3个黑球和1个白球
从袋中取出2个球
从袋中取出2个球
从袋中取出2个球
若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球同色，则甲胜
若取出的两个球不同色，则乙胜
若取出的两个球不同色，则乙胜
若取出的两个球不同色，则乙胜
新农村建设前
新农村建设后
新农村建设后变化情况
结论
种植收入
60%a
37%×2a＝74%a
增加
A错误
其他收入
4%a
5%×2a＝10%a
增加一倍以上
B正确
养殖收入
30%a
30%×2a＝60%a
增加了一倍
C正确
养殖收入＋第三产业收入
(30%＋6%)a
＝36%a
(30%＋28%)
×2a＝116%a
超过经济收
入2a的一半
D正确
性别
人数
生活能否自理
男
女
能
178
278
不能
23
21
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
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