数学选择性必修 第三册6.3 利用导数解决实际问题课时作业

这是一份数学选择性必修 第三册6.3 利用导数解决实际问题课时作业，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )
A．32,16 B．30,15
C．40,20 D．36,18
2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80 000，x>400，))则总利润最大时，每年生产的产品是( )
A．100 B．150
C．200 D．300
4．某产品的销售收入y1(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数，且关系式为y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数，且关系式为y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产该产品( )
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
二、填空题
5．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．
6．已知矩形的两个顶点A、D位于x轴上，另两个顶点B、C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．
7．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为________km/h.
三、解答题
8．如图，一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
9．一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？
10．如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？
1．解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为eq \f(512,x)米，因此新墙总长L＝2x＋eq \f(512,x)(x>0)，则L′＝2－eq \f(512,x2).令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为eq \f(512,16)＝32(米)，可使L最短．
答案：A
2．解析：设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当40.所以当x＝4时，y最小．
答案：B
3．解析：由题意，得总成本函数为
C(x)＝20 000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(300x－\f(x2,2)－20 000，0≤x≤400，,60 000－100x，x>400.))
所以P′(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(300－x，0≤x≤400，,－100，x>400.))
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，
总利润P(x)最大．
答案：D
4．解析：设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，
所以y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0(舍去)或x＝6，
经检验知x＝6既是函数的极大值点也是函数的最大值点，所以应生产6千台.
答案：A
5．解析：设广场的长为x米，则宽为eq \f(40 000,x)米，于是其周长为y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(40 000,x)))(x>0)，所以y′＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(40 000,x2)))，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.当0200时，y′>0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．
答案：800
6．解析：由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4－x2，
∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0∴S′＝8－6x2.
令S′＝0，解得x1＝eq \f(2\r(3),3)，x2＝－eq \f(2\r(3),3)(舍去)．
当00；
当eq \f(2\r(3),3)∴当x＝eq \f(2\r(3),3)时，S取得最大值为eq \f(32\r(3),9).
即矩形的边长分别是eq \f(4\r(3),3)，eq \f(8,3)时，矩形的面积最大．
答案：eq \f(4\r(3),3)，eq \f(8,3)
7．解析：设轮船的速度为x km/h时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3(k≠0)．
因为6＝k×103，所以k＝eq \f(3,500)，所以Q＝eq \f(3,500)x3.
所以行驶每千米的费用总和为
y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,500)x3＋96))·eq \f(1,x)＝eq \f(3,500)x2＋eq \f(96,x)(x>0)．
所以y′＝eq \f(3,250)x－eq \f(96,x2).令y′＝0，解得x＝20.
因为当x∈(0,20)时，y′<0，此时函数单调递减；
当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增，
所以当x＝20时，y取得最小值，
即此轮船以20 km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小．
答案：20
8．解析：设小正方形的边长为x cmeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0则盒子底面长为(8－2x) cm，宽为(5－2x) cm，V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x，
V′＝12x2－52x＋40，
令V′＝0，得x＝1或x＝eq \f(10,3)(舍去)，
V极大＝V(1)＝18，在定义域内仅有一个极大值，
所以V最大值＝18，即当小正方形的边长为1 cm时，盒子容积最大．
9．解析：设每次进书x千册(0所以当x＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，故当x＝15时，y取得最小值，此时进货次数为eq \f(150,15)＝10(次)．
即该书店分10次进货，每次进15千册书，所付手续费与库存费之和最少．
10．解析：设C点距D点x km，则AC＝50－x(km)，
所以BC＝eq \r(BD2＋CD2)＝eq \r(x2＋402)(km)．
又设总的水管费用为y元，
依题意，得y＝3a(50－x)＋5aeq \r(x2＋402)(0y′＝－3a＋eq \f(5ax,\r(x2＋402)) .
令y′＝0，解得x＝30.
在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．
故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．