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2021年广西贵港市港南区中考数学一模试题（word版 含答案）
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这是一份2021年广西贵港市港南区中考数学一模试题（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．的倒数是（ ）
A．2021B．C．D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247，253，247，255，263．这五次成绩的平均数和中位数分别是（ ）
A．253，253B．255，253C．253，247D．255，247
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．x6÷x3=x2C．=2D．a2（﹣a2）=a4
5．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（ ）元．
A．B．C．D．
6．已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A．10B．14C．10或14D．8或10
7．下列命题中真命题是（ ）
A．内错角相等
B．反比例函数y＝的图象性质是y随x的增大而减小
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D．数0.00000069可以表示6.9×10﹣6
8．关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ）．
A．﹣2＜a≤﹣1B．﹣2≤a＜﹣1C．﹣3＜a≤﹣2D．﹣3≤a＜﹣2
9．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A．B．C．1D．2
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，BD是∠ABC的平分线，设△ABD，△BCD的面积分别是S1，S2，则S1：S2等于（ ）
A．2：1B．：1C．3：2D．2：
11．如图，已知正方形的边长为，点分别是边上的动点，满足则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定成立的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13．计算：_______．
14．分解因式：x2+3x=____________
15．口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是___．
16．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5．则△BEC的周长是_____．
17．如图，四边形ABCD是矩形，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是________．
18．如图，点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值为_____．
三、解答题
19．计算：（）﹣2﹣23×0.125+30+|1﹣2|；
20．先化简，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．
21．已知，在△ABC中，BC＝2．
（1）用尺规作图求作点P，使PB＝PC，且点P到AB、BC的距离相等；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）若∠ABC＝60°，则BP＝ ．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A，与轴交于点C（，），且与反比例 函数在第一象限内的图象交于点B，且BD⊥轴于点D，OD．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）设点P是轴上的点，若△PBC的面积等于，直接写出点P的坐标．
23．中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：
(1)统计表中的________，________，________；
(2)请将频数分布表直方图补充完整；
(3)求所有被调查学生课外阅读的平均本数；
(4)若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数.
24．某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和台式电脑．经招投标，购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元．
（1）求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元？
（2）根据该校实际情况，购买电子白板和台式电脑的总台数为24，并且台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍．问怎样购买最省钱？
25．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的直线交OP于点C，且∠CBP＝∠ADB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若OA＝2，AB＝，求线段BP的长．
26．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．
（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G，使△FCG是等腰三角形，直接写出P的横坐标．
27．（1）如图①，在矩形中，分别是上的点，且，求的值；
（2）如图②，在矩形中（为常数），将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形交于点，连接交于点，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接，当时，若，求的长.
本数(本)
频数(人数)
频率
5
0.2
6
18
0.36
7
14
8
8
0.16
合计
1
参考答案
1．D
【分析】
直接利用倒数的定义分析得出答案．
【详解】
解：-2021的倒数为：，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了倒数，正确把握相关定义是解题关键．
2．D
【分析】
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】
解：A．因为的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式，所以A选项不符合题意；
B．因为的被开方数中含有可以开方的因数4，所以它不是最简二次根式，所以B选项不符合题意；
C．＝，它的被开方数中含有可以开方的因数9，所以它不是最简二次根式，所以C选项不符合题意；
D．符合最简二次根式的定义，它是最简二次根式，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记定义是解此题的关键，注意：最简二次根式具备以下两个条件：①被开方数不含有分母，②被开方数的每个因式的指数都小于根指数2．
3．A
【分析】
根据题干找出基准数，排列出新数列，则找到平均数，再由从小到大排列找出中位数．
【详解】
求平均数可用基准数法，设基准数为250，则新数列为-4，3，-3，5，13，新数列的平均数为3，则原数列的平均数为253；对数据从小到大进行排列，可知中位数为253，故选A．
【点睛】
此题考查中位数和平均数相关知识，难度一般．
4．C
【详解】
解：A．，故该选项错误；
B．x6÷x3=x3≠x2，故该选项错误；
C．=2，该选项正确；
D．a2（﹣a2）=-a4，故原选项错误.
故选C.
考点：1.实数的运算；2.整式的运算.
5．B
【分析】
设商品进价为x元，则售价为每件0.8×200元，由利润=售价-进价建立方程求出其解即可．
【详解】
解：设商品的进价为x元，售价为每件0.8×200元，由题意得
0.8×200=x+40
解得：x=120
答：商品进价为120元．
故选：B．
【点睛】
此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题的数量关系利润=售价-进价，建立方程是关键．
6．B
【详解】
试题分析： ∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，
∴22﹣4m+3m=0，m=4，
∴x2﹣8x+12=0，
解得x1=2，x2=6．
①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
7．C
【分析】
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答．
【详解】
解：A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题；
B、反比例函数y＝的图象性质是在每个象限上，y随x的增大而减小，原命题是假命题；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题；
D、数0.00000069可以表示6.9×10﹣7，原命题是假命题；
故选：C．
【点睛】
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．B
【分析】
分别求出每个不等式的解集，结合不等式组整数解的个数计算，可得a的取值范围．
【详解】
∵x﹣a＞0
∴x＞a
∵1﹣x＞2x﹣5
∴x＜2
∵不等式组有3个整数解
∴不等式组的解集为a＜x＜2，
∴不等式组的整数解为1、0、﹣1，
即﹣2≤a＜﹣1，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的性质，从而完成求解．
9．C
【分析】
由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，利用特殊角的三角函数值即可求出OD．
【详解】
解：∵OD⊥弦BC，
∴∠BDO＝90°，
∵∠BOD＝∠BAC＝60°，
∴OD＝OB＝1，
故答案选：C．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、特殊角的三角函数计算．
10．B
【分析】
由已知条件可得点D到∠ABC两边距离相等，即两三角形的高相等，要求三角形的面积比，只要求出两个三角形的底的比即可．
【详解】
解：过D作DE⊥AB于E，如图，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DE＝DC
又∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝，
∴S1：S2＝AB：BC＝：1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质；发现并利用两个三角形等高是正确解答本题的关键．
11．D
【分析】
连接，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，易得，当D、E、A′在同一直线时，最小，利用勾股定理求解即可．
【详解】
连接，根据正方形的性质及，可得△DCE≌△ADF，
则有，
，
作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，
则AE=A ′E，
即，
当D、E、A′在同一直线时，最小，
AA′=2AB=4，
此时，在Rt△ADA′中，DA′=，
故的最小值为，
故答案为：D．
【点睛】
本题考查正方形的性质和最短距离问题，解题的关键是把两条线段的和转化在同一条线段上求解．
12．C
【分析】
利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】
解：①∵F是BC的中点，
∴BF＝FC，
在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，
∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴2∠BAF＝∠BAD，故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠MBF＝∠C，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，
，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∵E与C不重合，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；
④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．
13．
【分析】
先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解.
【详解】
2-=.
故答案为.
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．
14．x（x+3）
【详解】
考点：因式分解-提公因式法．
分析：观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案．
解答：解：x2+3x=x（x+3）．
故答案为x（x+3）
点评：主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题．
15．
【分析】
用袋子中编号为偶数的小球的数量除以球的总个数即可得．
【详解】
解：∵从袋子中随机摸出一个球共有7种等可能结果，其中摸出编号为偶数的球的结果数为3，
∴摸出编号为偶数的球的概率为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
16．
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BEC的周长＝BC+CE+EB＝BC+CE+EA＝BC+AC＝13．
故答案为：13．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
17．．
【分析】
根据题意可以求得和的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与的面积之差的和，本题得以解决．
【详解】
解：连接AE，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积是：，
故答案为．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．3
【分析】
根据题意得出△AOD∽△OCE，进而得出，即可得出k=EC×EO=3．
【详解】
解:连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，
∴CO⊥AB，∠CAB=30°，
则∠AOD+∠COE=90°，
∵∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
又∵∠ADO=∠CEO=90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴ =tan60°= ，
∴= =3，
∵点A是双曲线y=- 在第二象限分支上的一个动点，
∴S△AOD=×|xy|= ，
∴S△EOC= ，即×OE×CE=，
∴k=OE×CE=3，
故答案为3．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线，得出△AOD∽△OCE是解题关键．
19．3+2
【分析】
直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：（）﹣2﹣23×0.125+30+|1﹣2|
＝4﹣8×0.125+1+2﹣1
＝4﹣1+1+2﹣1
＝3+2．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．5
【详解】
解：原式=．
取a=2，原式．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值（使分式的分母和除式不为0）代入进行计算即可．
21．（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质即可用尺规作图求作点P，使PB＝PC，且点P到AB、BC的距离相等；
（2）根据∠ABC＝60°，结合（1）得BP平分∠ABC，PD是BC的垂直平分线，即可求出BP的长．
【详解】
解：（1）如图，
点P即为所求；
（2）∵∠ABC＝60°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBD＝30°，
∵PD是BC的垂直平分线，
∴∠PDB＝90°，，
∴BP＝＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质．
22．（1）；（2）P（0，8）或P（0，）
【分析】
（1）由BD⊥x轴，OD＝2，即可求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得此一次函数的解析式；
（2）由点P是y轴上的点，若△PBC的面积等于6，可求得CP的长，继而求得点P的坐标．
【详解】
解：（1）∵BD ⊥轴，OD＝2， ∴点D的横坐标为2．
将代入得．∴B（2，4）．
设直线AB的函数解析式为（），
将点C（0，2）、B（2，4）代入得，∴．
∴直线AB的函数解析式为．
（2）∵点P是y轴上的点，若△PBC的面积等于6，B（2，4），
即S△PBC＝CP×2＝6，
∴CP＝6，
∵C（0，2），
∴P（0，8）或P（0，−4）
【点睛】
此题考查了反比例函数综合题，涉及到了待定系数法求一次函数的解析式以及反比例函数与一次函数的交点问题．
23．（1）10，0.28，50（2）图形见解析（3）6.4（4）528
【详解】
分析：（1）首先求出总人数，再根据频率，总数，频数的关系即可解决问题；
（2）根据a的值画出条形图即可；
（3）根据平均数的定义计算即可；
（4）用样本估计总体的思想解决问题即可；
详解：（1）由题意c==50，
a=50×0.2=10，b==0.28，c=50；
故答案为10，0.28，50；
（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：
（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：
（5×10+6×18+7×14+8×8）÷50=320÷50=6.4（本）．
（4）该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数为：
（0.28+0.16）×1200=528（人）．
点睛：本题考查频数分布直方图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（1）购买一台电子白板需9000元，一台台式电脑需3000元；（2）购买电子白板6台，台式电脑18台最省钱．
【分析】
（1）先设购买一台电子白板需x元，一台台式电脑需y元，根据购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元列出方程组，求出x，y的值即可；
（2）先设需购买电子白板a台，则购买台式电脑（24﹣a）台，根据台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍列出不等式，求出a的取值范围，再设总费用为w元，根据一台电子白板和一台台式电脑的价格列出w与a的函数解析式，根据一次函数的性质，即可得出最省钱的方案．
【详解】
（1）设购买一台电子白板需x元，一台台式电脑需y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买一台电子白板需9000元，一台台式电脑需3000元；
（2）设需购买电子白板a台，则购买台式电脑（24﹣a）台，
根据题意得：24﹣a≤3a，
解得：a≥6，
设总费用为w元，则w＝9000a+3000（24﹣a）＝6000a+72000，
∵6000＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴a＝6时，w有最小值．
答：购买电子白板6台，台式电脑18台最省钱．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出关系式．
25．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠OBC＝90°，即可得出结论；
（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．
【详解】
解：（1）证明：连接OB，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠A+∠ADB＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵∠CBP＝∠ADB，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∴∠OBC＝180°﹣90°＝90°，
∴BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OA＝2，
∴AD＝2OA＝4，
∵OP⊥AD，
∴∠POA＝90°，
∴∠P+∠A＝90°，
∴∠P＝∠D，
∵∠A＝∠A，
∴△AOP∽△ABD，
∴＝，
即，
解得：BP＝．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．
26．（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）M（2，-1）；周长最小为3+；（3）P的坐标是：（5，0）或（4，0）或（3﹣，0）或（3+，0）
【分析】
1）将A（1，0）和B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得到二元一次方程组求解即可；
（2）求出C坐标及BC解析式，BC与对称轴交点即为M，AC+BC即是△AMC的最小周长；
（3）设P（m，0），用m表示出△FCG的三边长，分类列方程求解．
【详解】
解（1）将A（1，0）和B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：
，解得，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）连接BC交直线DE于M′，如答图1：
抛物线的解析式y＝﹣x2+4x﹣3中令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x＝1或3，
∴C（0，﹣3），A（1，0），B（3，0），且顶点D（2，1），对称轴x＝2，
∴AC＝，BC＝3，
△AMC的周长最小，即是AM+CM最小，而M在对称轴上，
∴AM＝BM，AM+CM最小就是BM+CM最小，
此时M与M′重合，AM+CM最小值即是BC的长度即AM+CM最小值为3，
∴△AMC的周长最小为3+，
设直线BC解析式为y＝kx+n，将C（0，﹣3），B（3，0）代入得：
，解得，
∴直线BC解析式为y＝x﹣3，令x＝2得y＝-1，
∴M（2，-1）；
（3）设P（m，0），
∵过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G，
∴F（m，﹣m2+4m﹣3），G（m，m﹣3），
而C（0，﹣3），
∴CF2＝m2+（﹣m2+4m）2，CG2＝m2+m2＝2m2，FG2＝（﹣m2+3m）2，
△FCG是等腰三角形，分三种情况：
①CF＝CG时，m2+（﹣m2+4m）2＝2m2，解得m＝0或m＝3或m＝5，
m＝0时F、G与C重合，舍去；m＝3时，F、G与B重合，舍去，
∴m＝5，P（5，0），
②CF＝FG时，m2+（﹣m2+4m）2＝（﹣m2+3m）2，解得m＝0（舍去）或m＝4，
∴P（4，0），
③CG＝FG时，2m2＝（﹣m2+3m）2，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣或m＝3+，
∴P（3﹣，0）或P（3+，0），
总上所述，△FCG是等腰三角形，P的坐标是：（5，0）或（4，0）或（3﹣，0）或（3+，0）．
【点睛】
本题考查二次函数、等腰三角形及线段和的最小值等知识点，解题关键是设出坐标表示线段长度，分类列方程求解．
27．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）①证明，利用相似三角形的性质可求出的值；
②作于点，证明，利用相似三角形的性质可求出的值；
（2）结论：．如图2中，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题．
（3）先根据余角的性质证明∠BFE=∠CGH，设，根据勾股定理求出k，再证明△BFE∽△CEP，即可求解.
【详解】
（1）四边形是矩形，
∴，∠ABC=∠BAD=90°，
，
，
∴，
，
，
；
（2）如图②中，作于点.
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
∴；
（3）∵∠CGH+∠GPH=90°，∠CEP+∠CPE=90°，
∴∠CGH=∠CEP，
同理∠BFE=∠CEP，
∴∠BFE=∠CGH，
，
设，
，
.
在中，，
，
或（舍去），
，BF=4，AB=9，
，
∴BC=6，
∴CE=6-3=3，
∠BFE=∠CEP，∠B=∠PEC，
∴△BFE∽△CEP，
∴，
∴，
∴CP=.
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
一、单选题
1．的倒数是（ ）
A．2021B．C．D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247，253，247，255，263．这五次成绩的平均数和中位数分别是（ ）
A．253，253B．255，253C．253，247D．255，247
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．x6÷x3=x2C．=2D．a2（﹣a2）=a4
5．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（ ）元．
A．B．C．D．
6．已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A．10B．14C．10或14D．8或10
7．下列命题中真命题是（ ）
A．内错角相等
B．反比例函数y＝的图象性质是y随x的增大而减小
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D．数0.00000069可以表示6.9×10﹣6
8．关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ）．
A．﹣2＜a≤﹣1B．﹣2≤a＜﹣1C．﹣3＜a≤﹣2D．﹣3≤a＜﹣2
9．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A．B．C．1D．2
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，BD是∠ABC的平分线，设△ABD，△BCD的面积分别是S1，S2，则S1：S2等于（ ）
A．2：1B．：1C．3：2D．2：
11．如图，已知正方形的边长为，点分别是边上的动点，满足则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定成立的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13．计算：_______．
14．分解因式：x2+3x=____________
15．口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是___．
16．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5．则△BEC的周长是_____．
17．如图，四边形ABCD是矩形，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是________．
18．如图，点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值为_____．
三、解答题
19．计算：（）﹣2﹣23×0.125+30+|1﹣2|；
20．先化简，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．
21．已知，在△ABC中，BC＝2．
（1）用尺规作图求作点P，使PB＝PC，且点P到AB、BC的距离相等；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）若∠ABC＝60°，则BP＝ ．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A，与轴交于点C（，），且与反比例 函数在第一象限内的图象交于点B，且BD⊥轴于点D，OD．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）设点P是轴上的点，若△PBC的面积等于，直接写出点P的坐标．
23．中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：
(1)统计表中的________，________，________；
(2)请将频数分布表直方图补充完整；
(3)求所有被调查学生课外阅读的平均本数；
(4)若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数.
24．某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和台式电脑．经招投标，购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元．
（1）求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元？
（2）根据该校实际情况，购买电子白板和台式电脑的总台数为24，并且台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍．问怎样购买最省钱？
25．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的直线交OP于点C，且∠CBP＝∠ADB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若OA＝2，AB＝，求线段BP的长．
26．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．
（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G，使△FCG是等腰三角形，直接写出P的横坐标．
27．（1）如图①，在矩形中，分别是上的点，且，求的值；
（2）如图②，在矩形中（为常数），将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形交于点，连接交于点，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接，当时，若，求的长.
本数(本)
频数(人数)
频率
5
0.2
6
18
0.36
7
14
8
8
0.16
合计
1
参考答案
1．D
【分析】
直接利用倒数的定义分析得出答案．
【详解】
解：-2021的倒数为：，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了倒数，正确把握相关定义是解题关键．
2．D
【分析】
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】
解：A．因为的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式，所以A选项不符合题意；
B．因为的被开方数中含有可以开方的因数4，所以它不是最简二次根式，所以B选项不符合题意；
C．＝，它的被开方数中含有可以开方的因数9，所以它不是最简二次根式，所以C选项不符合题意；
D．符合最简二次根式的定义，它是最简二次根式，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记定义是解此题的关键，注意：最简二次根式具备以下两个条件：①被开方数不含有分母，②被开方数的每个因式的指数都小于根指数2．
3．A
【分析】
根据题干找出基准数，排列出新数列，则找到平均数，再由从小到大排列找出中位数．
【详解】
求平均数可用基准数法，设基准数为250，则新数列为-4，3，-3，5，13，新数列的平均数为3，则原数列的平均数为253；对数据从小到大进行排列，可知中位数为253，故选A．
【点睛】
此题考查中位数和平均数相关知识，难度一般．
4．C
【详解】
解：A．，故该选项错误；
B．x6÷x3=x3≠x2，故该选项错误；
C．=2，该选项正确；
D．a2（﹣a2）=-a4，故原选项错误.
故选C.
考点：1.实数的运算；2.整式的运算.
5．B
【分析】
设商品进价为x元，则售价为每件0.8×200元，由利润=售价-进价建立方程求出其解即可．
【详解】
解：设商品的进价为x元，售价为每件0.8×200元，由题意得
0.8×200=x+40
解得：x=120
答：商品进价为120元．
故选：B．
【点睛】
此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题的数量关系利润=售价-进价，建立方程是关键．
6．B
【详解】
试题分析： ∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，
∴22﹣4m+3m=0，m=4，
∴x2﹣8x+12=0，
解得x1=2，x2=6．
①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
7．C
【分析】
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答．
【详解】
解：A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题；
B、反比例函数y＝的图象性质是在每个象限上，y随x的增大而减小，原命题是假命题；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题；
D、数0.00000069可以表示6.9×10﹣7，原命题是假命题；
故选：C．
【点睛】
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．B
【分析】
分别求出每个不等式的解集，结合不等式组整数解的个数计算，可得a的取值范围．
【详解】
∵x﹣a＞0
∴x＞a
∵1﹣x＞2x﹣5
∴x＜2
∵不等式组有3个整数解
∴不等式组的解集为a＜x＜2，
∴不等式组的整数解为1、0、﹣1，
即﹣2≤a＜﹣1，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的性质，从而完成求解．
9．C
【分析】
由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，利用特殊角的三角函数值即可求出OD．
【详解】
解：∵OD⊥弦BC，
∴∠BDO＝90°，
∵∠BOD＝∠BAC＝60°，
∴OD＝OB＝1，
故答案选：C．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、特殊角的三角函数计算．
10．B
【分析】
由已知条件可得点D到∠ABC两边距离相等，即两三角形的高相等，要求三角形的面积比，只要求出两个三角形的底的比即可．
【详解】
解：过D作DE⊥AB于E，如图，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DE＝DC
又∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝，
∴S1：S2＝AB：BC＝：1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质；发现并利用两个三角形等高是正确解答本题的关键．
11．D
【分析】
连接，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，易得，当D、E、A′在同一直线时，最小，利用勾股定理求解即可．
【详解】
连接，根据正方形的性质及，可得△DCE≌△ADF，
则有，
，
作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，
则AE=A ′E，
即，
当D、E、A′在同一直线时，最小，
AA′=2AB=4，
此时，在Rt△ADA′中，DA′=，
故的最小值为，
故答案为：D．
【点睛】
本题考查正方形的性质和最短距离问题，解题的关键是把两条线段的和转化在同一条线段上求解．
12．C
【分析】
利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】
解：①∵F是BC的中点，
∴BF＝FC，
在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，
∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴2∠BAF＝∠BAD，故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠MBF＝∠C，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，
，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∵E与C不重合，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；
④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．
13．
【分析】
先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解.
【详解】
2-=.
故答案为.
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．
14．x（x+3）
【详解】
考点：因式分解-提公因式法．
分析：观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案．
解答：解：x2+3x=x（x+3）．
故答案为x（x+3）
点评：主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题．
15．
【分析】
用袋子中编号为偶数的小球的数量除以球的总个数即可得．
【详解】
解：∵从袋子中随机摸出一个球共有7种等可能结果，其中摸出编号为偶数的球的结果数为3，
∴摸出编号为偶数的球的概率为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
16．
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BEC的周长＝BC+CE+EB＝BC+CE+EA＝BC+AC＝13．
故答案为：13．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
17．．
【分析】
根据题意可以求得和的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与的面积之差的和，本题得以解决．
【详解】
解：连接AE，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积是：，
故答案为．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．3
【分析】
根据题意得出△AOD∽△OCE，进而得出，即可得出k=EC×EO=3．
【详解】
解:连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，
∴CO⊥AB，∠CAB=30°，
则∠AOD+∠COE=90°，
∵∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
又∵∠ADO=∠CEO=90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴ =tan60°= ，
∴= =3，
∵点A是双曲线y=- 在第二象限分支上的一个动点，
∴S△AOD=×|xy|= ，
∴S△EOC= ，即×OE×CE=，
∴k=OE×CE=3，
故答案为3．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线，得出△AOD∽△OCE是解题关键．
19．3+2
【分析】
直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：（）﹣2﹣23×0.125+30+|1﹣2|
＝4﹣8×0.125+1+2﹣1
＝4﹣1+1+2﹣1
＝3+2．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．5
【详解】
解：原式=．
取a=2，原式．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值（使分式的分母和除式不为0）代入进行计算即可．
21．（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质即可用尺规作图求作点P，使PB＝PC，且点P到AB、BC的距离相等；
（2）根据∠ABC＝60°，结合（1）得BP平分∠ABC，PD是BC的垂直平分线，即可求出BP的长．
【详解】
解：（1）如图，
点P即为所求；
（2）∵∠ABC＝60°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBD＝30°，
∵PD是BC的垂直平分线，
∴∠PDB＝90°，，
∴BP＝＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质．
22．（1）；（2）P（0，8）或P（0，）
【分析】
（1）由BD⊥x轴，OD＝2，即可求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得此一次函数的解析式；
（2）由点P是y轴上的点，若△PBC的面积等于6，可求得CP的长，继而求得点P的坐标．
【详解】
解：（1）∵BD ⊥轴，OD＝2， ∴点D的横坐标为2．
将代入得．∴B（2，4）．
设直线AB的函数解析式为（），
将点C（0，2）、B（2，4）代入得，∴．
∴直线AB的函数解析式为．
（2）∵点P是y轴上的点，若△PBC的面积等于6，B（2，4），
即S△PBC＝CP×2＝6，
∴CP＝6，
∵C（0，2），
∴P（0，8）或P（0，−4）
【点睛】
此题考查了反比例函数综合题，涉及到了待定系数法求一次函数的解析式以及反比例函数与一次函数的交点问题．
23．（1）10，0.28，50（2）图形见解析（3）6.4（4）528
【详解】
分析：（1）首先求出总人数，再根据频率，总数，频数的关系即可解决问题；
（2）根据a的值画出条形图即可；
（3）根据平均数的定义计算即可；
（4）用样本估计总体的思想解决问题即可；
详解：（1）由题意c==50，
a=50×0.2=10，b==0.28，c=50；
故答案为10，0.28，50；
（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：
（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：
（5×10+6×18+7×14+8×8）÷50=320÷50=6.4（本）．
（4）该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数为：
（0.28+0.16）×1200=528（人）．
点睛：本题考查频数分布直方图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（1）购买一台电子白板需9000元，一台台式电脑需3000元；（2）购买电子白板6台，台式电脑18台最省钱．
【分析】
（1）先设购买一台电子白板需x元，一台台式电脑需y元，根据购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元列出方程组，求出x，y的值即可；
（2）先设需购买电子白板a台，则购买台式电脑（24﹣a）台，根据台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍列出不等式，求出a的取值范围，再设总费用为w元，根据一台电子白板和一台台式电脑的价格列出w与a的函数解析式，根据一次函数的性质，即可得出最省钱的方案．
【详解】
（1）设购买一台电子白板需x元，一台台式电脑需y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买一台电子白板需9000元，一台台式电脑需3000元；
（2）设需购买电子白板a台，则购买台式电脑（24﹣a）台，
根据题意得：24﹣a≤3a，
解得：a≥6，
设总费用为w元，则w＝9000a+3000（24﹣a）＝6000a+72000，
∵6000＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴a＝6时，w有最小值．
答：购买电子白板6台，台式电脑18台最省钱．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出关系式．
25．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠OBC＝90°，即可得出结论；
（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．
【详解】
解：（1）证明：连接OB，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠A+∠ADB＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵∠CBP＝∠ADB，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∴∠OBC＝180°﹣90°＝90°，
∴BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OA＝2，
∴AD＝2OA＝4，
∵OP⊥AD，
∴∠POA＝90°，
∴∠P+∠A＝90°，
∴∠P＝∠D，
∵∠A＝∠A，
∴△AOP∽△ABD，
∴＝，
即，
解得：BP＝．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．
26．（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）M（2，-1）；周长最小为3+；（3）P的坐标是：（5，0）或（4，0）或（3﹣，0）或（3+，0）
【分析】
1）将A（1，0）和B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得到二元一次方程组求解即可；
（2）求出C坐标及BC解析式，BC与对称轴交点即为M，AC+BC即是△AMC的最小周长；
（3）设P（m，0），用m表示出△FCG的三边长，分类列方程求解．
【详解】
解（1）将A（1，0）和B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：
，解得，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）连接BC交直线DE于M′，如答图1：
抛物线的解析式y＝﹣x2+4x﹣3中令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x＝1或3，
∴C（0，﹣3），A（1，0），B（3，0），且顶点D（2，1），对称轴x＝2，
∴AC＝，BC＝3，
△AMC的周长最小，即是AM+CM最小，而M在对称轴上，
∴AM＝BM，AM+CM最小就是BM+CM最小，
此时M与M′重合，AM+CM最小值即是BC的长度即AM+CM最小值为3，
∴△AMC的周长最小为3+，
设直线BC解析式为y＝kx+n，将C（0，﹣3），B（3，0）代入得：
，解得，
∴直线BC解析式为y＝x﹣3，令x＝2得y＝-1，
∴M（2，-1）；
（3）设P（m，0），
∵过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G，
∴F（m，﹣m2+4m﹣3），G（m，m﹣3），
而C（0，﹣3），
∴CF2＝m2+（﹣m2+4m）2，CG2＝m2+m2＝2m2，FG2＝（﹣m2+3m）2，
△FCG是等腰三角形，分三种情况：
①CF＝CG时，m2+（﹣m2+4m）2＝2m2，解得m＝0或m＝3或m＝5，
m＝0时F、G与C重合，舍去；m＝3时，F、G与B重合，舍去，
∴m＝5，P（5，0），
②CF＝FG时，m2+（﹣m2+4m）2＝（﹣m2+3m）2，解得m＝0（舍去）或m＝4，
∴P（4，0），
③CG＝FG时，2m2＝（﹣m2+3m）2，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣或m＝3+，
∴P（3﹣，0）或P（3+，0），
总上所述，△FCG是等腰三角形，P的坐标是：（5，0）或（4，0）或（3﹣，0）或（3+，0）．
【点睛】
本题考查二次函数、等腰三角形及线段和的最小值等知识点，解题关键是设出坐标表示线段长度，分类列方程求解．
27．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）①证明，利用相似三角形的性质可求出的值；
②作于点，证明，利用相似三角形的性质可求出的值；
（2）结论：．如图2中，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题．
（3）先根据余角的性质证明∠BFE=∠CGH，设，根据勾股定理求出k，再证明△BFE∽△CEP，即可求解.
【详解】
（1）四边形是矩形，
∴，∠ABC=∠BAD=90°，
，
，
∴，
，
，
；
（2）如图②中，作于点.
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
∴；
（3）∵∠CGH+∠GPH=90°，∠CEP+∠CPE=90°，
∴∠CGH=∠CEP，
同理∠BFE=∠CEP，
∴∠BFE=∠CGH，
，
设，
，
.
在中，，
，
或（舍去），
，BF=4，AB=9，
，
∴BC=6，
∴CE=6-3=3，
∠BFE=∠CEP，∠B=∠PEC，
∴△BFE∽△CEP，
∴，
∴，
∴CP=.
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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