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人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程优质课ppt课件
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这是一份人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程优质课ppt课件，共24页。PPT课件主要包含了审清题意，设未知数，列方程，解方程验根，知识回顾，学习目标，新知探究，知识点，跟踪训练，答AB的长为5m等内容，欢迎下载使用。
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：
1.会用面积法建立一元二次方程数学模型.
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.
如图，要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？
分析：封面的长宽之比是 27∶21＝9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是 9∶7.设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm.
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试．
设未知数的方法直接设元法:题中问什么就设什么，即直接设待求量为未知数，如探究中的第一种设法.间接设元法：设待求量之外的量为未知数，将待求量用含未知数的代数式表示,如探究中的第二种设法.
例1 如图，某小区有一块长为 30 m，宽为 24 m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽为多少米？
解：设人行通道的宽为 x m，将两块矩形绿地合在一起，长为 (30-3x) m，宽为 (24-2x) m，列方程，得(30-3x)(24-2x)=480，整理，得 x2-22x+40=0，解得 x1=2，x2=20，当x=20时，30-3x=-30，24-2x=-16，不符合题意，舍去，所以 x=2，即人行通道的宽为 2 m.
例2 如图,在一面靠墙(墙的最大可用长度为10m)的空地上用长为24m的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.如果要围成面积为45m2的花圃,AB的长是多少米？
解：设AB= x m ，
整理，得 x2-8x+15=0，
解得 x1=3，x2=5，
当 x=3 时，24-3x=15>10，不合题意，舍去.
则BC=（24-3x）m,
由题意得x(24-3x)=45，
例3 如图, 在△ABC 中,∠C=90°，AC=8 cm，BC=4 cm，一动点 P 从 C 出发沿着CB 方向以 1 cm/s 的速度在边BC上运动(不与点B,C重合)，另一动点 Q 从 A 出发沿着 AC 方向以 2 cm/s 的速度在边AC上运动(不与点A,C重合)，P，Q 两点同时出发，运动时间为 t s.
(2)请问△PCQ 的面积能否为△ABC 面积的一半？若能，求出 t 的值；若不能，说明理由.
解：(1)由题意知，CP=t cm，AQ=2t cm，AC=8 cm，则 CQ=AC-AQ=(8-2t) cm，
又 CP
此时 Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×8=-16<0，
所以此时方程没有实数根，
所以 △PCQ 的面积不可能为 △ABC 面积的一半.
解法一：设道路的宽为 x 米，
1. 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，求道路的宽为多少.
整理，得 x2-52x+100=0，
解得 x1=2，x2=50，
当 x=50 时，32-x=-18，不合题意，舍去.
解法二：设道路的宽为 x 米，则由题意得
(32-x)(20-x)=540，
如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，求道路的宽为多少.
2.一个直角三角形的两条直角边的和是 14 cm，面积是 24 cm2.求两条直角边的长．
解：设一条直角边的长为 x cm，则另一条直角边的长为 (14－x) cm，
整理，得x2－14x＋48＝0，解得 x1＝6，x2＝8.
当 x＝6 时，14-x＝14-6＝8；
当 x＝8 时，14-x＝14-8＝6.
所以两条直角边的长分别为 8 cm和 6 cm.
3.如图，矩形 ABCD 中，AB=16 cm，AD=6 cm，动点 P，Q 分别从 A，C 两点同时出发，点 P 以 3 cm/s 的速度沿AB边向点 B 移动，点 Q以 2 cm/s 的速度沿CD边向点 D 移动.（当点P到达点B时，Q也停止移动）(1)P，Q 两点从出发开始，经过几秒时，四边形 PBCQ 的面积为33 cm2？(2)P，Q 两点从出发开始，经过几秒时，点P和点Q的距离为10cm？
(2)设经过 y s 时，点 P 和 Q 的距离为 10 cm，依题意得 62+(16-3y-2y)2=102，整理得 25y2-160y+192=0，解得 y1=1.6，y2=4.8，均符合题意，所以经过 1.6 s 或 4.8 s 时，点 P 和 Q 的距离为 10 cm .
几何图形与一元二次方程问题
常采用图形平移，聚零为整方便列方程.
1.在长为 160 m ，宽为 100 m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 13500 m2，求这种方案下的道路的宽为多少.
解：设道路的宽为 x 米，
(160-x)(100-x)=13500，
整理，得 x2-260x+2500=0，
解得 x1=10，x2=250(不合题意，舍去)，
所以x=10，即道路的宽为10米.
2.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80 m2？
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为 x m，则平行于墙的一边的长为 (25-2x+1) m，由题意得 x(25-2x+1)=80，化简得x2-13x+40=0，解得 x1=5，x2=8，当 x=5 时，26-2x=16>12(舍去)；当x=8 时，26-2x=10<12，符合题意.答：所围猪舍的长为10 m，宽为 8 m 时，面积为 80 m2.
3.(2020·山西中考)如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 cm．
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：
1.会用面积法建立一元二次方程数学模型.
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.
如图，要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？
分析：封面的长宽之比是 27∶21＝9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是 9∶7.设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm.
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试．
设未知数的方法直接设元法:题中问什么就设什么，即直接设待求量为未知数，如探究中的第一种设法.间接设元法：设待求量之外的量为未知数，将待求量用含未知数的代数式表示,如探究中的第二种设法.
例1 如图，某小区有一块长为 30 m，宽为 24 m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽为多少米？
解：设人行通道的宽为 x m，将两块矩形绿地合在一起，长为 (30-3x) m，宽为 (24-2x) m，列方程，得(30-3x)(24-2x)=480，整理，得 x2-22x+40=0，解得 x1=2，x2=20，当x=20时，30-3x=-30，24-2x=-16，不符合题意，舍去，所以 x=2，即人行通道的宽为 2 m.
例2 如图,在一面靠墙(墙的最大可用长度为10m)的空地上用长为24m的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.如果要围成面积为45m2的花圃,AB的长是多少米？
解：设AB= x m ，
整理，得 x2-8x+15=0，
解得 x1=3，x2=5，
当 x=3 时，24-3x=15>10，不合题意，舍去.
则BC=（24-3x）m,
由题意得x(24-3x)=45，
例3 如图, 在△ABC 中,∠C=90°，AC=8 cm，BC=4 cm，一动点 P 从 C 出发沿着CB 方向以 1 cm/s 的速度在边BC上运动(不与点B,C重合)，另一动点 Q 从 A 出发沿着 AC 方向以 2 cm/s 的速度在边AC上运动(不与点A,C重合)，P，Q 两点同时出发，运动时间为 t s.
(2)请问△PCQ 的面积能否为△ABC 面积的一半？若能，求出 t 的值；若不能，说明理由.
解：(1)由题意知，CP=t cm，AQ=2t cm，AC=8 cm，则 CQ=AC-AQ=(8-2t) cm，
又 CP
此时 Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×8=-16<0，
所以此时方程没有实数根，
所以 △PCQ 的面积不可能为 △ABC 面积的一半.
解法一：设道路的宽为 x 米，
1. 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，求道路的宽为多少.
整理，得 x2-52x+100=0，
解得 x1=2，x2=50，
当 x=50 时，32-x=-18，不合题意，舍去.
解法二：设道路的宽为 x 米，则由题意得
(32-x)(20-x)=540，
如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，求道路的宽为多少.
2.一个直角三角形的两条直角边的和是 14 cm，面积是 24 cm2.求两条直角边的长．
解：设一条直角边的长为 x cm，则另一条直角边的长为 (14－x) cm，
整理，得x2－14x＋48＝0，解得 x1＝6，x2＝8.
当 x＝6 时，14-x＝14-6＝8；
当 x＝8 时，14-x＝14-8＝6.
所以两条直角边的长分别为 8 cm和 6 cm.
3.如图，矩形 ABCD 中，AB=16 cm，AD=6 cm，动点 P，Q 分别从 A，C 两点同时出发，点 P 以 3 cm/s 的速度沿AB边向点 B 移动，点 Q以 2 cm/s 的速度沿CD边向点 D 移动.（当点P到达点B时，Q也停止移动）(1)P，Q 两点从出发开始，经过几秒时，四边形 PBCQ 的面积为33 cm2？(2)P，Q 两点从出发开始，经过几秒时，点P和点Q的距离为10cm？
(2)设经过 y s 时，点 P 和 Q 的距离为 10 cm，依题意得 62+(16-3y-2y)2=102，整理得 25y2-160y+192=0，解得 y1=1.6，y2=4.8，均符合题意，所以经过 1.6 s 或 4.8 s 时，点 P 和 Q 的距离为 10 cm .
几何图形与一元二次方程问题
常采用图形平移，聚零为整方便列方程.
1.在长为 160 m ，宽为 100 m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 13500 m2，求这种方案下的道路的宽为多少.
解：设道路的宽为 x 米，
(160-x)(100-x)=13500，
整理，得 x2-260x+2500=0，
解得 x1=10，x2=250(不合题意，舍去)，
所以x=10，即道路的宽为10米.
2.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80 m2？
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为 x m，则平行于墙的一边的长为 (25-2x+1) m，由题意得 x(25-2x+1)=80，化简得x2-13x+40=0，解得 x1=5，x2=8，当 x=5 时，26-2x=16>12(舍去)；当x=8 时，26-2x=10<12，符合题意.答：所围猪舍的长为10 m，宽为 8 m 时，面积为 80 m2.
3.(2020·山西中考)如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 cm．
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