【2021高考】数列知识点、公式总结

数列知识点、公式总结

一、数列的概念

1、数列的概念：

一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成，简记为数列，其中第一项也成为首项；是数列的第项，也叫做数列的通项.

数列可看作是定义域为正整数集（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.

2、数列的分类：

按数列中项的多数分为：

（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；

（2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.

3、通项公式：

如果数列的第项与项数之间的函数关系可以用一个式子表示成，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.

4、数列的函数特征：

一般地，一个数列，

如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即，那么这个数列叫做递增数列;

如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即，那么这个数列叫做递减数列;

如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.

5、递推公式：

某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．

二、等差数列

1、等差数列的概念：

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.

即（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.

2、等差数列的通项公式：

设等差数列的首项为，公差为，则通项公式为：

.

3、等差中项：

（1）若成等差数列，则叫做与的等差中项，且;

（2）若数列为等差数列，则成等差数列，即是与的等差中项，且；反之若数列满足，则数列是等差数列.

4、等差数列的性质：

（1）等差数列中，若则，若则；

（2）若数列和均为等差数列，则数列也为等差数列；

（3）等差数列的公差为，则

为递增数列，为递减数列，为常数列.

5、等差数列的前n项和：

（1）数列的前n项和=；

（2）数列的通项与前n项和的关系：

（3）设等差数列的首项为公差为，则前n项和

6、等差数列前n和的性质：

（1）等差数列中，连续m项的和仍组成等差数列，即

,仍为等差数列（即成等差数列）；

（2）等差数列的前n项和当时，可看作关于n的二次函数，且不含常数项；

（3）若等差数列共有2n+1（奇数）项，则若等差数列共有2n（偶数）项，则

7、等差数列前n项和的最值问题：

设等差数列的首项为公差为，则

（1）（即首正递减）时，有最大值且的最大值为所有非负数项之和；

（2）（即首负递增）时，有最小值且的最小值为所有非正数项之和.

三、等比数列

1、等比数列的概念：

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（）.

即，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.

2、等比数列的通项公式：

设等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：.

3、等比中项：

（1）若成等比数列，则叫做与的等比中项，且;

（2）若数列为等比数列，则成等比数列，即是与的等比中项，且；反之若数列满足，则数列是等比数列.

4、等比数列的性质：

（1）等比数列中，若则，若则；

（2）若数列和均为等比数列，则数列也为等比数列；

（3）等比数列的首项为，公比为，则

为递增数列，为递减数列，

为常数列.

5、等比数列的前n项和：

（1）数列的前n项和=；

（2）数列的通项与前n项和的关系：

（3）设等比数列的首项为，公比为，则

由等比数列的通项公式及前n项和公式可知，已知中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.

6、等比数列的前n项和性质：

设等比数列中，首项为，公比为，则

（1）连续m项的和仍组成等比数列，即,仍为等比数列（即成等差数列）；

（2）当时，，

设，则.

四、递推数列求通项的方法总结

1、递推数列的概念：

一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.

2、两个恒等式：

对于任意的数列恒有：

（1）

（2）

3、递推数列的类型以及求通项方法总结：

类型一（公式法）：已知（即）求，用作差法：

类型二（累加法）：已知：数列的首项,且，求.

给递推公式中的n依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：

利用公式可得：

类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且，求.

给递推公式中的n一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：

利用公式可得：

类型四（构造法）：形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。

①解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

②解法：该类型较要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用的方法解决。

类型五（倒数法）：已知：数列的首项,且，求.

设，

若则，即数列是以为公差的等差数列.

若则（转换成类型四①）.

五、数列常用求和方法

1.公式法

   直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式，立方和公式等公式求解.

2.分组求和法

   一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减.

3.裂项相消法

   把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项和就变成了首尾少数项之和.

4.错位相减法

   如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的，此时可把式子的两边同乘以公比，得到，两式错位相减整理即可求出.

5、常用公式：

1、平方和公式：

2、立方和公式：

3、裂项公式：

六、数列的应用

1、零存整取模型：

银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.

注：单利的计算是仅在原本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为:利息=本金×利率×存期.以符号p代表本金,n代表存期,r代表利率,s代表本金和利息和(即本利和),则有s=p(1+nr).

零存整取是等差数列求和在经济方面的应用.

2、定期自动转存模型：

银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.

注：复利是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是:s=p(1+r)n.

定期自动转存（复利）是等比数列求和在经济方面的应用.

3、分期付款模型：

分期付款要求每次付款金额相同外,各次付款的时间间隔也相同.分期付款总额要大于一次性付款总额,二者的差额与分多少次付款有关,且付款的次数越少,差额越大.分期付款是等比数列的模型.

采用分期付款的方法，购买售价为a元的商品（或贷款a元），，每期付款数相同，购买后1个月（或1年）付款一次，如此下去，到第n次付款后全部付清，如果月利率（或年利率）为b，按复利计算，那么每期付款x元满足下列关系：

设第n次还款后，本利欠款数为，则

由知，

数列是以为首项，为公比的等比数列.

.

令得：，

数列求和公式总结

一、利用常用求和公式求和

1、等差数列求和公式：   2、等比数列求和公式：

 [例1] 已知，求的前n项和.

解：由

由等比数列求和公式得： = ＝＝1－

 [例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.

解：由等差数列求和公式得 ，           

 ∴ ＝＝＝ ∴ 当 ，即n＝8时，

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：………………………①

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积：设…②（设制错位）

①－②得     （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：。∴   

[例4] 求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

设…………………………………①

…………② ①－②得 ∴  

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

 [例6] 求的值

解：设…………. ①

将①式右边反序得：……②              又因为 ，①+②得 ：                                                                    ＝89 ∴  S＝44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例7] 求数列的前n项和：，…

解：设

将其每一项拆开再重新组合得（分组）

当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝

[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设∴  ＝

将其每一项拆开再重新组合得：  Sn＝ ＝       

          = ＝

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）       （2）

（3）   （4）

（5）

[例9]  求数列的前n项和.

解：设，则                                       

＝

[例10]  在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.

解： 　 ∵ ∴ 数列{bn}的前n项和：

＝ ＝

 [例11] 求证：

解：设

∵                            ＝

       ＝＝＝ ∴　原等式成立

例2. 计算：
六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

 [例12]  求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵        （找特殊性质项）

∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90°＝ 0   （合并求和）

 [例13]  数列{an}：，求S2002.

解：设S2002＝，由可得

……

∵                  

∴　S2002＝=                                   

=＝＝5

[例14]  在各项均为正数的等比数列中，若的值。

解：设

由等比数列的性质 和对数的运算性质   得：

        ＝＝＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

 [例15]  求之和.解：由于                         

∴ ＝                  ＝＝＝

[例16]  已知数列{an}：的值.

解：∵                              ＝＝      ＝ ＝