长郡中学2021届高三上月考(一)数学试题及答案

长郡中学2021届高三月考试卷（一）

数学

本试卷共8页。时量120分钟。满分150分。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给田的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，.则（    ）

A. B. C. D.

2.已复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知实数，，满足，且，则下列不等式中正确的是（    ）

A. B. C. D.

4.在中， ，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

5.设函数，则“函数在上存在零点”是的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

6.已知实数，，满足，则下列关系式中不可能成立的是（     ）

A. B. C. D.

7.已知，则函数的最小值为（    ）

A.-5 B.-3 C. D.-1

8.设函数，若存在区间，使得在上的值域为，则是的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分.部分选对的得3分.

9.下列命题中正确的是（    ）

A.，  B.，

C.， D.，

10.已知数列前项和为.且，（为非零常数）测下列结论中正确的是（    ）

A.数列为等比数列  B.时，

C.当时， D.

11.已知函数满足:对于定义域中任意，在定义城中总存在，使得成立.下列函数中，满足上述条件的函数是（    ）

A. B. C. D.

12.下图是函数（其中，，）的部分图象，下列结论正确的是（    ）

A.函数的图象关于顶点对称

B.函数的图象关于点 

C.函数在区间上单调递增

D.方程在区间上的所有实根之和为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量，满足，，若，则向量与的夹角为___________.

14.已知，则的最小值是___________.

15.《易经》中记载着一种几何图形一一八封图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边形的过长为，代表阴阳太极图的圆的半径为，则每块八卦田的面积为___________.

16.已知数列满足，则前48项之和为___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题

①；②的面积为；③.

在中，角，，所对的边分别为，，.在已知，为钝角，.

（1）求边的长；

（2）求的值.

18.（12分）已知是偶函数.

（1）求实数的值；

（2）解不等式；

（3）记，若对任意的成立，求实数的取值范围.

19.（12分）已知正项等差数列中， ，且，，成等比数列，数列的前项和为. ，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）这，求数列的前项和的取值范围.

20.（12分）已知函数为奇函数，且相邻同对称轴间的距离为.

（1）当时，求的单调递减区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.

21.（12分）习近平指出，倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.

（1）试求改良后石的函数模型，

（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过. 试问：至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？（参考数据：取）

22.（12分）已知点，，为坐标原点，设函数.

（1）当时，判断函数在上的单调性；

（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

长郡中学2021届高三月考试卷（一）

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.C【解析】由题意得，， ，所以，故选C.

2.D【解析】，则，在复平面内对应的点是，在第四象限，故选D.

3.C【解析】且，则，.所以.故选C.

4.A【解析】，故选A.

5.B【解析】函数在区间上单调递增，

由函数在上存在零点，则，，

解得，故“函数在上存在零点”是“”的必要不分条件.

故选B.

6.D【解析】设，，则，，，

在同一坐标系中分别画出函数，，的图象，如图，当时，；当时，；当时，.故选D

7.A【解析】由，有，解得，

故，

故当时，取最小值-5，故选A.

8.D【解析】，，

∴当时，，

∴在上单调增，

∴，

∴在上单调递增，

∵，∴在上单调递增，

∵在上的值域为，∴，

∴方程在上有两解，.

作出与直线的函数图象，则两图象有两交点.

若直线过点，

则，

若直线与的图象相切，设切点为，

则，解得，.

∴，故选D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.BD【解析】对于A，当时，，恒成立，A错误；

对于B，，，B正确；

对于C，当时，，，则，C错误；

对于D，当，，由对数函数与指数函数的性质可知，当时，恒成立，D正确.

故选BD.

10.AC【解析】由，得.

时， ，相减可得，

又，数列为首项为，公比为的等比数列，故A正确；

由A可得时，，故B错误；

由A可得等价为，可得，故C正确；

，，

则，即D不正确；

故选AC.

11.ACD【解析】函数的值域关于原点对称，

对A，函数的值域为，关于原点对称，符合题意；

对B，函数的值域为，不关于原点对称，不符合题意；

对C，函数的值域为关于原点对称，符合题意；

对D，函数的值域为，关于原点对称，符合题意；

故选ACD.

12.ABD【解析】由已知，，，因此，∴，

所以，过点，

因此，，又，

所以，∴，

对A，图象关于原点对称，故A正确；

对B，当时， ，故B正确；

对C，由，有，故C不正确；

对D，当时，，所以与函数有4个交点令横坐标为，，，，，故D正确.

故选ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【解析】由已知，，则，

则，又，故.
故答案为.

14.【解析】∵，

∴，且，，

∴，

则，

当且仅当，即时取等号，

则的最小值是.

15.【解析】由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为，设等腰三角形的腰长为，

由正弦定理可得，解得，

所以三角形的面积，

则每块八卦田的面积为.

16.1176【解析】由，则

，，，

，，，，…

可知相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可得到所求值.

因，

，

而，

，

所以数列前48项之和为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【解析】方案一：选择条件①

（1）由，解得，

为钝角，，，

则，

故；

（2），

∴，

∴，，

∴

；

方案二：选择条件②

（1），，∴，

由，解得，

则，

故；

（2）同方案一.

方案三：选择条件③：

（1）为钝角，，，

，，

由，解得，，

则，

故；

（2）同方案一.

18.【解析】（1）因为是偶函数，则对任意实数恒成立，

即，

对任意实数恒成立，则；

（2），，

当时，，在上是增函数，

又因为是偶函数，

∴，

两边平方可得，解得或；

故不等式的解集为；

（3），问题即为恒成立，显然，

首先对任意成立，即，

因为，则，所以，

其次，，即为，

即成立，

亦即成立，

因为，所以对于任意成立，

即所以，

综上，实数的取值范围为.

19.【解析】（1）设等差数列的公差为，由，且，，成等比数列，

∴，即，

由已知，∴，；

由得，，∴，

数列是首项为，公比为的等比数列，则；

（2），

∴

，

∵，则，

又数列单调递增，则，

则的取值范围是.

20.【解析】（1），

因为相邻两对称轴间的距离为，所以，，

因为函数为奇函数，所以，，.

因为，所以，函数为.

时，，单调递减，需满足，，

所以函数的单调递减区间为.

（2）由题意可得：，

∵，∴，

∴，

，即函数的值域为.

21.【解析】（1）由题意得，，

所以当时，，

即，解得，

所以，

故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.

（2）由题意可得，，

整理得，即，

两边同时取常用对数，得，

整理得，

取代入，得，

又因为，所以.

综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.

22.【解析】（1）由已知，，

当时，，，

当时，，又，

则，

所以函数在上单调递减；

（2）①当时，，对于，恒成立；

②当时，，设，

则，因为，又，

所以，在上单调递增，

又，所以，

所以在上单调递增，且，

（ⅰ）当时，，在上单调递增，

因为，所以恒成立；

（ⅱ）当时，，

因为在上单调递增，

又当时，，

则存在，对于，恒成立，

故在上单调递减，

所以，当时，，不合题意.

综上，所求的取值范围为.