2021年广东省广州市从化区中考数学一模试题（word版 含答案）

这是一份2021年广东省广州市从化区中考数学一模试题（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省广州市从化区中考数学一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．下列算式中，计算结果是负数的是　　
A． B． C． D．
2．下面的每组图形中，平移左边图形可以得到右边图形的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．要使有意义，则x的取值范围为（（ ）
A．x≤0 B．x≥1 C．x≥0 D．x≤1
4．若关于x的不等式组的解在数轴上如图所示，则这个不等式组的解是（ ）

A． B． C． D．
5．计算  的结果为
A．1 B．x C． D．
6．如图，点P是∠AOB的边OA上一点，PC⊥OB于点C，PD∥OB，∠OPC＝35°，则∠APD的度数是( )

A．60° B．55° C．45° D．35°
7．某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类；②去图书馆收集学生借阅图书的记录；
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比；④整现借阅图书记录并绘制频数分布表．
正确统计步踩的顺序是（ ）
A．②→③→①→④ B．②→④→③→① C．③→④→①→② D．①→②→④→③
8．已知圆锥的高为，高所在的直线与母线的夹角为，则圆锥的侧面积为　　
A． B． C． D．
9．直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
10．已知b＜0时，二次函数的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于

A．－2 B．－1 C．1 D．2

二、填空题
11．计算：+（π﹣1）0＝___．
12．分解因式：x3﹣4xy2=_____．
13．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠AED的度数为___．

14．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点BP的长度为_____．

15．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠P的度数为___．

16．斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，21，144，233…在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．若斐波那契数列中的第n个数记为an，则1+a3+a5+a7+a9+…+a2021与斐波那契数列中的第___个数相同．

三、解答题
17．解不等式：2（x﹣1）＜4﹣x．
18．如图，在平行四边形ABCD中，BE＝DF．求证：CE＝AF．

19．巳知：P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）
（1）化简P；
（2）若a为方程x2+x﹣＝0的解，求P的值．
20．数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣，某校同学们就对“概率发展的历史背景”的了解程度在初三年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图：根据统计图的信息，解答下列问题：
两幅统计图：

（1）本次共调查______名学生，条形统计图中______．
（2）若该校初三共有学生1500名，则该校约有名学生不了解“概率发展的历史背景”；
（3）调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两人去市里参加“初中数学知识的历史背景”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．
21．某地有甲、乙两家口罩厂，已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天胎生产口罩数量的1.5倍，并且乙厂单独完成60万只口罩生产的时间比甲厂单独完成同样数量的口罩生产的时间要多用5天．
（1）将60万只用科学记数法表示为　 　只；
（2）求甲、乙两厂每天分别可以生产多少万只口罩？
22．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA＝，tan∠AOC＝，点B的坐标为（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）已知点点P的坐标为（0，），求证△CDP∽△ODC．

23．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2．
（1）作∠ABC的角平分线BM交⊙O于点M，连接MA，MC，并求⊙O半径的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：AB+BC＝BM．

24．在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c（a＜0）经过点A，B．
（1）求a，b满足的关系式及c的值．
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求实数a的取值范围．
（3）当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与点C和点A重合），连接PB，过点P作PF⊥PB交射线DA于点F，连接BF，已知AD＝3，CD＝3，设CP的长为x．
（1）线段PB的最小值为　 　．
（2）如图，当动点P运动到AC的中点时，AP与BF的交点为G，FP的中点为H，求线段GH的长度；
（3）当点P在运动的过程中：
①试探究∠FBP是否会发生变化？若不改变，请求出∠FBP大小；若改变，请说明理由；
②当x为何值时，△AFP是等腰三角形？



参考答案
1．A
【分析】
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】
解：，故选项A符合题意，
，故选项B不符合题意，
，故选项C不符合题意，
，故选项D不符合题意，
故选：．
【点睛】
题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
2．D
【详解】
分析: 根据平移的性质，可以得到平移前后图形全等，由此可知选项A，B是否正确；
由图可知选项C是翻折得到的，根据平移的定义，结合选项D的图形，可以确定答案.
详解: A、左图与右图的形状不同,所以A选项错误;
B、左图与右图的大小不同,所以B选项错误;
C、左图通过翻折得到右图,所以C选项错误;
D、左图通过平移可得到右图,所以D选项正确.
故选D.
点睛: 本题考查了平移的性质:把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点,连接各组对应点的线段平行且相等.
3．B
【分析】
根据二次根式有意义的条件，列出不等式，进而即可求解．
【详解】
解：∵有意义，
∴x-1≥0，即：x≥1，
故选B．
【点睛】
本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．
4．D
【分析】
不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．
【详解】
解：在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．因此，这个不等式组的解是．
故选D．
5．A
【分析】
原式利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．
【详解】
解：原式=
=
=1
故选：A．
【点睛】
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．B
【分析】
由PD∥OB，得出∠PCO＝∠DPC =90°；再根据∠OPC+∠CPD+∠APD= 180°即可求出∠APD
【详解】
PD∥OB, PC⊥OB
∠CPD=90°
∠OPC+∠CPD+∠APD= 180°, ∠OPC＝35°
∠APD=180°-90°-35°=55°
故选B
【点睛】
本题考查了平行线性质，熟练掌握性质是解题的关键.
7．B
【分析】
根据题意和频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题．
【详解】
解：由题意可得，
正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，
故选：B．
【点睛】
本题考查扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确制作频数分布表和扇形统计图的制作步骤．
8．C
【解析】
【分析】
利用含30度的直角三角形三边的关系得到圆锥的底面圆的半径为1，母线长为2，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【详解】
解：高所在的直线与母线的夹角为，
圆锥的底面圆的半径为1，母线长为2，
所以圆锥的侧面积．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
9．D
【分析】
根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.
【详解】
∵直线不经过第二象限，
∴，
∵方程，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
【点睛】
此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论.
10．C
【解析】
由图可知，第1、2两个图形的对称轴为y轴，所以，解得b=0，与b＜0相矛盾．
第3个图，抛物线开口向上，a＞0，经过坐标原点，a2－1=0，解得a1=1，a2=－1（舍去）．
对称轴，解得b＜0，符合题意．故a=1．
第4个图，抛物线开口向下，a＜0，经过坐标原点，a2－1=0，解得a1=1（舍去），a2=－1．
对称轴，解得b＞0，不符合题意．
综上所述，a的值等于1．故选C．
11．3
【分析】
先算算术平方根以及零指数幂，再算加法，即可．
【详解】
解：原式=+（π﹣1）0
=2+1
=3，
故答案是：3．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，掌握算术平方根以及零指数幂，是解题的关键．
12．x（x+2y）（x﹣2y）
【详解】
分析：原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
详解：原式=x（x2-4y2）=x（x+2y）（x-2y），
故答案为x（x+2y）（x-2y）
点睛：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．15°
【分析】
根据正方形性质得出∠ADC＝90°，AD＝DC，根据等边三角形性质得出DE＝DC，∠EDC＝60°，推出∠ADE＝150°，AD＝ED，根据等腰三角形性质得出∠DAE＝∠DEA，根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°＋60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°−∠ADE）＝15°，
故答案是：15°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，正方形性质，等腰三角形性质，等边三角形的性质的应用，主要考查学生运用性质机械能推理和计算的能力，本题综合性比较强，是一道比较好的题目．
14．3
【分析】
根据矩形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
∵四边形OABC是矩形，B（8，7），
∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7，
∵D（5，0），
∴OD＝5，
∵点P是边AB的一点，
∴OD＝DP＝5，
∵AD＝3，
∴PA＝＝4，
∴PB＝3
故答案为：3．
【点睛】
本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，属于中考常考题型．
15．72°
【分析】
根据切线长定理得∠PAC＝90°，PA＝PB，运用三角形内角和定理求解即可．
【详解】
解：∵PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠PAC＝90°，PA＝PB，
∴∠PAB＝90°−∠BAC＝90°−36°＝54°，∠PBA＝∠PAB＝54°，
∴∠P=180°-54°-54°=72°．
故答案为：72°．
【点睛】
此题综合运用了切线的性质定理和切线长定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
16．2022
【分析】
利用递推关系a1＝a2＝1，将所求关系式中的“1”换为a2，再利用an＋2＝an＋1＋an，即可求得答案．
【详解】
解：依题意，得1+a3+a5+a7+a9+…+a2021
＝a2＋a3+a5+a7+a9+…+a2021
＝a4+a5+a7+a9+…+a2021
＝a6+a7+a9+…+a2021
＝…＝a2020＋a2021
＝a2022，
故答案为：2022．
【点睛】
本题考查数列递推式，理解斐波那契数列a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an中递推关系的应用是关键，属于中档题．
17．x＜2
【分析】
利用去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解．
【详解】
解：2（x﹣1）＜4﹣x，
去括号得：2x﹣2＜4﹣x，
移项，合并同类项得：3x＜6，
解得：x＜2．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，是解题的关键．
18．见详解
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，得AB＝CD，AB∥CD，已知BE＝DF，从而可得到AE＝CF，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出CFAF是平行四边形，从而不难得到结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵BE＝DF，
∴AE＝CF，
∵AB∥CD，
∴四边形CEAF是平行四边形，
∴CE＝AF．
【点睛】
此题主要考查平行四边形的性质及判定，熟练掌握“有一组边平行且相等的四边形是平行四边形”是解题的关键．
19．（1）2a2+3a+1；（2）6
【分析】
（1）通过去括号，合并同类项，即可得到答案；
（2）把原方程整理得2x2+3x﹣5＝0，再根据解的定义得到2a2+3a=5，进而即可求解．
【详解】
解：（1）P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）
=3a2+3a-a2+1
=2a2+3a+1；
（2）x2+x﹣＝0，
整理得：2x2+3x﹣5＝0，
∵a为方程x2+x﹣＝0的解，
∴2a2+3a﹣5＝0，即：2a2+3a=5，
∴P=2a2+3a+1=5+1=6．
【点睛】
本题主要考查整式的化简，一元二次方程的的解的定义，掌握整体代入思想方法，是解题的关键．
20．（1）60，18；（2）300人；（3）．
【分析】
（1）根据了解很少的有24人，占40%，即可求得总人数；再利用调查的总人数减去其它各项的人数即可求得m的值；
（2）利用1500乘以不了解“概率发展的历史背景”的人所占的比例即可求解；
（3）画出树状图即可求出恰好抽中一男生一女生的概率．
【详解】
（1）由题目图表提供的信息可知总人数=24÷40%=60（名），
m=60-12-24-6=18，
故答案为：60，18；
（2）1500×=300（名），
即该校共有学生1500名，则该校约有300名学生不了解“概率发展的历史背景”，
（3）画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，其中恰好抽中一男生一女生的共有4种情况，
∴恰好抽中一男生一女生的概率为．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识，读懂统计图，正确画出树状图是解题的关键．
21．（1）6×105；（2）甲厂每天能生产口罩6万只，乙厂每天能生产口罩4万只．
【分析】
（1）根据科学记数法的定义，即可求解；
（2）设乙厂每天能生产口罩x万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x万只，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合在独立完成60万只口罩的生产任务时甲厂比乙厂少用5天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】
解：（1）60万=6×105，
故答案是：6×105；
（2）设乙厂每天能生产口罩x万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x万只，
依题意，得：，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝6．
答：甲厂每天能生产口罩6万只，乙厂每天能生产口罩4万只．
【点睛】
本题考查了科学记数法，分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．（1）y＝；（2）y＝x−1；（3）见详解
【分析】
（1）过A作AE⊥x轴于E，由tan∠AOC＝，得到OE＝3AE，根据勾股定理即可求出AE和OE的长，即得到A的坐标，代入双曲线即可求出k的值，得到解析式；
（2）把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出B的坐标，把A和B的坐标代入一次函数的解析式即可求出a、b的值，即得到答案；
（2）求出C、D的坐标，结合点P的坐标，可得OD，OC，OP的长，从而可得△COP∽△DOC，进而即可求证△CDP∽△ODC．
【详解】
解：（1）过A作AE⊥x轴于E，

tan∠AOC=，
∴OE＝3AE，
∵OA＝，由勾股定理得：OE2＋AE2＝10，
解得：AE＝1，OE＝3，
∴A的坐标为（3，1），
∵A点在双曲线上，
∴1＝，
∴k＝3，
∴双曲线的解析式为：y＝；
（2）∵B（m，−2）在双曲y＝，
∴−2＝，解得：m＝，
∴B的坐标是（，−2），
代入一次函数的解析式得：，解得：
∴一次函数的解析式为：y＝x−1；
（3）∵在y＝x−1中，令x=0，则y=−1，令y=0时，则x=，
∴C(，0)，D(0，-1)，即：OC=，OD=1，
∵点P的坐标为（0，），
∴OP=，
∴，
又∵∠COP=∠DOC=90°，
∴△COP∽△DOC，
∴∠OPC=∠OCD，
∴∠OCD+∠OCP=∠OPC+∠OCP=90°，即：∠PCD=90°，
∴∠PCD=∠COD，
又∵∠PDC=∠ODC
∴△CDP∽△ODC．

【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数的定义，用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，先相似三角形的判定和性质，综合运用这些知识进行计算是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
23．（1）作图见详解，⊙O的半径为2；（2）见详解
【分析】
（1）先尺规作∠ABC的平分线，交⊙O于点M，连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，由圆内接四边形的性质求得∠AMC，再求得∠AOC，最后解直角三角形得OA便可；
（2）在BM上截取BE＝BC，连接CE，证明BC＝BE，再证明△ACB≌△MCE，得AB＝ME，进而得结论．
【详解】
解：（1）尺规作图如下：连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，

∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°−∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH＝∠AOC＝60°，
∵AH＝AC＝，
∴OA＝AH÷sin60°＝2，
∴⊙O的半径为2；
（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，

∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝60°，
∵BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD＋∠DCE＝60°，
∵∠ACM＝∠ABM =60°，
∴∠ECM＋∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD，
∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∴△ACB≌△MCE，
∴AB＝ME，
∵ME＋EB＝BM，
∴AB＋BC＝BM．
【点睛】
本题是圆的一个综合题，主要考查圆的圆内接四边形定理，圆周角定理，垂径定理，角平分线定义，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，内容较多，有一定难度，第一题关键在于求∠AOC的度数，第二题的关键在于构造全等三角形．
24．（1）b＝2a＋1，c＝2；（2）−≤a＜0；（3）P（−1，2）或（−1＋，）或（−1−，−）．
【分析】
（1）求出点A、B的坐标，即可求解；
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴直线x= ≥0，而b＝2a＋1，即：≥0，即可求解；
（3）过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，由S△PAB＝×AB×PH＝×2×PQ×＝1，得| yP−yQ |＝1，即可求解．
【详解】
解：（1）y＝x＋2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝−2，
∴点A、B的坐标分别为（−2，0）、（0，2），
把（0，2）代入y＝ax2+bx+c，可得：c＝2，
∴函数表达式为：y＝ax2+bx+2，
将点A坐标代入上式并整理得：b＝2a＋1；
（2）∵当x＜0时，y＝ax2+bx+c，（a＜0）的函数值随x的增大而增大，
∴函数图像的对称轴为：直线x= ≥0，而b＝2a＋1，
即：≥0，解得：a≥−，
∴a的取值范围为：−≤a＜0；
（3）当a=−1时，二次函数表达式为：y=−x2−x＋2，
过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，

∵OA＝OB=2，
∴∠BAO＝∠PQH＝45°，AB=2，
∵S△PAB＝×AB×PH＝×2×PQ×＝1，
∴PQ＝yP−yQ＝1，
在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，
则直线m与抛物线两个交点，分别与线段AB组成的三角形的面积也为1，
∴| yP−yQ |＝1，
设点P（x，−x2−x＋2），则点Q（x，x＋2），
即：−x2−x＋2−x−2＝±1，解得：x＝−1或−1±，
∴P（−1，2）或（−1＋，）或（−1−，−）．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合问题．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
25．（1）；（2）；（3）①不改变，∠FBP＝30°；②x=3或3，△AFP是等腰三角形．
【分析】
（1）根据勾股定理求出AC，根据垂线段最短得到BP⊥AC时，线段PB的值最小，根据三角形的面积公式求出BP；
（2）证明△ABP为等边三角形，得到∠ABP＝60°，证明Rt△ABF≌Rt△PBF，得到∠ABF＝∠PBF＝30°，AP⊥BF，根据直角三角形的性质求出GH；
（3）①过点P作PM⊥AD于M，交BC于N，则PN⊥BC，根据相似三角形的性质、正切的定义，即可求出∠FBP；②分FA＝FP、AP＝AF、PA＝PF三种情况，根据等腰三角形的性质解答即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴AC=，
当BP⊥AC时，线段PB的值最小，
S△ABC=×AB×BC=×AC×BP，即3×3=BP×6，解得，BP=，
故答案是：；
（2）∵在Rt△ABC中，AP＝PC，

∴BP=BC=3，
∴BA＝BP＝AP=3，
∴△ABP为等边三角形，
∴∠ABP＝∠BAP=60°，
在Rt△ABF和Rt△PBF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△PBF（HL），
∴∠ABF＝∠PBF＝30°，AP⊥BF，
∴PF＝BP•tan∠PBF=，
在Rt△FGP中，FH＝HP，
∴GH＝PF=；
（3）①∠FBP＝30°，
理由如下：过点P作PM⊥AD于M，交BC于N，则PN⊥BC，
∴∠FPM+∠BPN=90°，∠PBN+∠BPN=90°，
∴∠FPM=∠PBN，
又∵∠FMP=∠PNB=90°，

∴△FMP∽△PNB，
∴，
∵BN=AM，
∴，
∴tan∠PBF==，
∴∠FBP＝30°；
②当FA＝FP时，则BA＝BP，
又∵∠BAC=60°，
∴△ABP为等边三角形，
∴AP＝AB＝3，
∴x＝CP＝3，
当PA＝PF时，∠APF＝120°＞90°，不合题意；
当AP＝AF时，（点F在DA的延长线上），如图，
∴∠PAF=180°-30°=150°，
∴∠APF=15°，
∴∠BPC=75°，
∵∠BCP=30°，
∴∠CBP=∠BPC=75°，
∴CB=CP=3，
综上所述，x=3或3，△AFP是等腰三角形．

【点睛】
本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形的应用，掌握相似三角形的判断定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．