2021年黑龙江省哈尔滨市阿城区中考数学调研试卷（4月份）解析版

这是一份2021年黑龙江省哈尔滨市阿城区中考数学调研试卷（4月份）解析版，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答下列各题等内容，欢迎下载使用。

2021年黑龙江省哈尔滨市阿城区中考数学调研试卷（4月份）
一、选择题：（每小题3分，共计30分）
1．计算（﹣3）+5的结果等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
2．下列计算正确的是（　　）
A．（a5）2＝a7 B．a+2a＝3a2 C．（2a）3＝6a3 D．a6÷a2＝a4
3．下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
5．将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A．y＝﹣5（x+1）2﹣1 B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣5（x+1）2+3 D．y＝﹣5（x﹣1）2+3
6．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A＝20°，则∠C的度数是（　　）

A．25° B．65° C．50° D．75°
7．若双曲线y＝图象的一个分支位于第四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣1 B．k＜1 C．k＜0 D．k≤0
8．一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500米，则它上升的最大高度为（　　）
A．500sinα B． C．500cosα D．
9．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，点F在CD的延长线上，AF∥BC，则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．
10．一快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地．快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时．甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：（每小题3分，共30分）
11．5G是第五代移动通信技术，5G网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上，这意味着下载一部高清电影只需要1秒．请将1300000用科学记数法表示为　 　．
12．函数y＝中自变量x的取值范围是　 　．
13．分解因式：（x+2）x﹣（x+2）＝　 　．
14．计算：的结果是　 　．
15．不等式组的解集是　 　．
16．半径为6的扇形的面积为12π，则该扇形的圆心角为　 　°．
17．一个不透明的袋子中装有4个红球，3个白球，2个黄球，这些小球除颜色不同外，其它都相同，从袋子中随机摸出1个小球，则摸出红球的概率是　 　．
18．某商场分别用2000元和2400元购进相同数量的甲、乙两种商品，已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，则甲种商品每件进价为　 　元．
19．△ABC中，AB＝AC，点D在直线AC上，DE⊥BC，垂足是E，cos∠CBD＝，BC＝6，CE＝1，则BD＝　 　．
20．如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AP和BQ分别为∠BAC和∠ABC的角平分线，若△ABQ的周长为20，BP＝4，则AB的长为　 　．

三、解答下列各题：（21-22题每题7分；23-24题每题8分；25-27题每题10分，共60分）
21．先化简，再求值：
÷（a﹣），其中a＝3tan30°+1，b＝cos45°．
22．如图是由边长为1的小正方形构成的网格（下面所画三角形顶点都在小正方形顶点上）．
（1）在图1中画出以AB为腰的等腰三角形ABC，使AB＝AC，S△ABC＝7.5，并且直接写出BC的长；
（2）在图2中画出一个以DE为斜边的直角三角形DEF，使tan∠FDE＝．

23．某数学小组将课外书大概分四类：“文学名著”、“科普”、“人文社科”和“猎奇类”，在校内对你最喜欢读的一类书进行调查，随机调查了若干人（每名学生必选一种且只能从这四项中选择一项），并将调查结果绘制成不完整的统计图．
（1）求本次共抽查了多少名学生；
（2）请补全条形统计图，并求出“科普”类书在扇形统计图中圆心角的度数；
（3）若该学校共有2000名学生，请你估计最喜欢读“猎奇类”书的学生有多少名？

24．已知：四边形ABCD中，AC为对角线，∠BAC＝∠DCA，∠DAC＝∠BCA，∠BAC+∠ACB＝90°．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图2，将△ABC沿着对角线AC翻折得到△AEC，CE交AD于点F，请直接写出图中所有的全等三角形．

25．为更好地推进太原市生活垃圾分类工作，改善城市生态环境．某小区准备购买A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
（1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
（2）该小区物业计划用不多于2100元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个（两种都需要购买），则该小区最多可以购买B型垃圾箱多少个？有几种购货方案？

26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点E，弧AB＝弧BC．
（1）如图1，∠BD＝∠BEA；
（2）如图2，点F是弧AD上一点，连接FB分别交AC、AD于S、G，连接FC分别交AD、BD于M、N，若∠FBD+∠FMD＝180°，求证：DG＝AG+CD；
（3）如图3，在（2）的条件下，R是CD上一点，连接FR分别交AD、BD于P、Q，若∠GFM＝∠FPA，MN＝NS，FP＝2CN，FM＝2，求CD长．

27．如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝2OC．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，若P是第一象限抛物线上的一点连接AC、PA、PC，PA交y轴于点F，△PAC的面积是S，P点横坐标是t，求出S与t的函数解析式并直接写出自变量t的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，若D是y轴的负半轴上的点，连接PD、AD，PD交x轴于点M，当S＝2时，将线段PD绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，射线EB与AD交于点R、与PD交于点N，若tan∠APD＝，求R点坐标．



2021年黑龙江省哈尔滨市阿城区中考数学调研试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．计算（﹣3）+5的结果等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【分析】依据有理数的加法法则计算即可．
【解答】解：（﹣3）+5＝5﹣3＝2．
故选：A．
2．下列计算正确的是（　　）
A．（a5）2＝a7 B．a+2a＝3a2 C．（2a）3＝6a3 D．a6÷a2＝a4
【分析】依据幂的乘方法则、合并同类项法则、积的乘方法则以及同底数幂的除法法则进行计算，即可得出结论．
【解答】解：A．（a5）2＝a10，故本选项错误，不合题意；
B．a+2a＝3a，故本选项错误，不合题意；
C．（2a）3＝8a3，故本选项错误，不合题意；
D．a6÷a2＝a4，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
3．下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可求出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
4．六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】俯视图有3列，从左到右正方形个数分别是2，1，2．
【解答】解：俯视图从左到右分别是2，1，2个正方形，如图所示：．
故选：B．
5．将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A．y＝﹣5（x+1）2﹣1 B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣5（x+1）2+3 D．y＝﹣5（x﹣1）2+3
【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．
【解答】解：将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，得到y＝﹣5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为：y＝﹣5（x+1）2﹣1．
故选：A．
6．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A＝20°，则∠C的度数是（　　）

A．25° B．65° C．50° D．75°
【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ODC＝90°，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠A，计算即可．
【解答】解：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，
∠COD＝2∠A＝40°，
∴∠C＝90°﹣40°＝50°，
故选：C．

7．若双曲线y＝图象的一个分支位于第四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣1 B．k＜1 C．k＜0 D．k≤0
【分析】直接根据反比例函数的性质直接回答即可．
【解答】解：∵双曲线y＝的图象的一支位于第四象限，
∴k+1＜0，
解得k＜﹣1．
故选：A．
8．一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500米，则它上升的最大高度为（　　）
A．500sinα B． C．500cosα D．
【分析】在三角函数中，根据坡度角的正弦值＝垂直高度：坡面距离即可解答．
【解答】解：如图，∠A＝α，AE＝500．
则EF＝500sinα．
故选：A．

9．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，点F在CD的延长线上，AF∥BC，则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行公理，相似三角形的判定与性质即可解答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵DE∥AF，
∴∠DEC＝∠FAC，
∵∠DCE＝∠FCA，
∴△FAC∽△DEC，
∴，
∴，
故A正确；
∵DE∥BC，AF∥BC，
∴DE∥AF，
∴，
即，
故B正确；
∵DE∥BC，
∴，
故C正确；
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠CBD，
∵∠ADF＝∠BDC，
∴△ADF∽△BDC，
∴＝，
∵△FAC∽△DEC，
∴＝，
故选：D．
10．一快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地．快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时．甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分三段讨论，①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小，②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加，③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大，结合实际选符合的图象即可．
【解答】解：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；
②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地这段时间两车距迅速增加；
③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；
结合图象可得C选项符合题意．
故选：C．
二．填空题
11．5G是第五代移动通信技术，5G网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上，这意味着下载一部高清电影只需要1秒．请将1300000用科学记数法表示为　1.3×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：将数据1300000用科学记数法可表示为：1.3×106．
故答案是：1.3×106．
12．函数y＝中自变量x的取值范围是　x≠0　．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0解答．
【解答】解：函数y＝中自变量x的取值范围是x≠0．
故答案为：x≠0．
13．分解因式：（x+2）x﹣（x+2）＝　（x+2）（x﹣1）　．
【分析】直接提取公因式（x+2），进而分解因式即可．
【解答】解：原式＝（x+2）（x﹣1）．
故答案为：（x+2）（x﹣1）．
14．计算：的结果是　3　．
【分析】直接利用立方根的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣4×+2
＝3﹣2+2
＝3．
故答案为：3．
15．不等式组的解集是　﹣3＜x≤1　．
【分析】分别解两个不等式得到x≤1和x＞﹣3，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得x≤1，
解②得x＞﹣3，
所以不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
故答案为﹣3＜x≤1．
16．半径为6的扇形的面积为12π，则该扇形的圆心角为　120　°．
【分析】根据扇形的面积公式求出即可．
【解答】解：设该扇形的圆心角为n2，
则＝12π，
解得：n＝120，
故答案为：120．
17．一个不透明的袋子中装有4个红球，3个白球，2个黄球，这些小球除颜色不同外，其它都相同，从袋子中随机摸出1个小球，则摸出红球的概率是　　．
【分析】用红球的个数除以总球的个数即可得出摸出红球的概率．
【解答】解：∵不透明的袋子中装有4个红球，3个白球，2个黄球，共有9个球，
∴摸出红球的概率是；
故答案为：．
18．某商场分别用2000元和2400元购进相同数量的甲、乙两种商品，已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，则甲种商品每件进价为　40　元．
【分析】设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为（x+8）元，根据数量＝总价÷单价，结合用2000元和2400元购进相同数量的甲、乙两种商品，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为（x+8）元，
依题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意．
故答案为：40．
19．△ABC中，AB＝AC，点D在直线AC上，DE⊥BC，垂足是E，cos∠CBD＝，BC＝6，CE＝1，则BD＝　6或　．
【分析】分两种情况：点D在直线AC上和点D在线段AC上，再根据余弦的定义可得答案．
【解答】解：如图：

当点D在线段AC上时，
∵BC＝6，CE＝1，
∴BE＝6﹣1＝5．
在Rt△DEB中，cos∠CBD＝，
∴＝，即BD＝6．
当点D在直线AC上时，
∵BC＝6，CE＝1，
∴BE＝6+1＝7．
在Rt△DEB中，cos∠CBD＝，
∴＝，即BD＝．
故答案为：6或．
20．如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AP和BQ分别为∠BAC和∠ABC的角平分线，若△ABQ的周长为20，BP＝4，则AB的长为　8　．

【分析】根据角平分线的定义求出∠CBQ＝∠ABC，由等角对等边得出BQ＝CQ，得出BQ+AQ＝CQ+AQ＝AC…①；过点P作PD∥BQ，由“角角边”证明△ABP≌△ADP，由全等三角形对应边相等可得AB＝AD，BP＝PD，得出AB+BP＝AD+PD＝AD+CD＝AC…②，由①②可得，BQ+AQ＝AB+BP；即可得出AB的长．
【解答】解：∵BQ平分∠ABC，
∴∠CBQ＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠CBQ＝∠C，
∴BQ＝CQ，
∴BQ+AQ＝CQ+AQ＝AC…①，
过点P作PD∥BQ交CQ于点D，如图所示：
则∠CPD＝∠CBQ，∠ADP＝∠AQB，
∵∠AQB＝∠C+∠CBQ＝2∠C，
∴∠ADP＝2∠C，
∴∠ABC＝∠ADP，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP，
在△ABP与△ADP中，，
∴△ABP≌△ADP（AAS），
∴AB＝AD，BP＝PD，
∴AB+BP＝AD+PD＝AD+CD＝AC…②，
由①②可得，BQ+AQ＝AB+BP；
∵△ABQ的周长为20，BP＝4，
∴AB+BQ+AQ＝AB+BP+AB＝20，
∴AB＝8；
故答案为：8．

三．解答题（共7小题）
21．先化简，再求值：
÷（a﹣），其中a＝3tan30°+1，b＝cos45°．
【分析】直接将原式通分进而分解因式后再化简，把已知代入得出答案．
【解答】解：原式＝•＝，
当a＝3tan30°+1＝3×+1＝+1，
b＝cos45°＝×＝1，
原式＝＝．
22．如图是由边长为1的小正方形构成的网格（下面所画三角形顶点都在小正方形顶点上）．
（1）在图1中画出以AB为腰的等腰三角形ABC，使AB＝AC，S△ABC＝7.5，并且直接写出BC的长；
（2）在图2中画出一个以DE为斜边的直角三角形DEF，使tan∠FDE＝．

【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可．
（2）根据要求画出图形即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求作，BC＝＝．
（2）如图，△DEF即为所求作．

23．某数学小组将课外书大概分四类：“文学名著”、“科普”、“人文社科”和“猎奇类”，在校内对你最喜欢读的一类书进行调查，随机调查了若干人（每名学生必选一种且只能从这四项中选择一项），并将调查结果绘制成不完整的统计图．
（1）求本次共抽查了多少名学生；
（2）请补全条形统计图，并求出“科普”类书在扇形统计图中圆心角的度数；
（3）若该学校共有2000名学生，请你估计最喜欢读“猎奇类”书的学生有多少名？

【分析】（1）根据人文社科的人数和所占的百分比求出总人数；
（2）用总人数减去其它项目的人数求出科普的人数，补全统计图；用360°乘以“科普”所占的百分比即可得出“科普”类书在扇形统计图中圆心角的度数；
（3）用总人数乘以“猎奇类”所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次共抽查的学生有：35÷35%＝100（名）；

（2）选择“科普”的人数有：100﹣15﹣35﹣10＝40（人），
补全统计图如下：

“科普”类书在扇形统计图中圆心角的度数是360°×＝144°；

（3）2000×＝200（名），
答：最喜欢读“猎奇类”书的学生有200名．
24．已知：四边形ABCD中，AC为对角线，∠BAC＝∠DCA，∠DAC＝∠BCA，∠BAC+∠ACB＝90°．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图2，将△ABC沿着对角线AC翻折得到△AEC，CE交AD于点F，请直接写出图中所有的全等三角形．

【分析】（1）根据平行线的判定得出AB∥CD，AD∥BC，进而利用平行四边形的判定和矩形的判定解答即可；
（2）根据翻折的性质和全等三角形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∵∠DAC＝∠BCA，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°，
∴▱ABCD是矩形；
（2）△AEC≌△ABC≌△CDA，△AEF≌△CDF，
由翻折得，AE＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB，∠E＝∠B＝∠D＝90°，AC＝AC，
∴Rt△AEC≌Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（AAS）．
25．为更好地推进太原市生活垃圾分类工作，改善城市生态环境．某小区准备购买A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
（1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
（2）该小区物业计划用不多于2100元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个（两种都需要购买），则该小区最多可以购买B型垃圾箱多少个？有几种购货方案？

【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买B型垃圾箱m个，则购买A型垃圾箱（20﹣m）个，依题意有120m+100（20﹣m）≤2100，解得m≤5．可得出答案．
【解答】解：（1）设每个A型垃圾箱x元，B型垃圾箱y元，依题意有，
解得，
故每个A型垃圾箱100元，B型垃圾箱120元；
（2）设购买B型垃圾箱m个，则购买A型垃圾箱（20﹣m）个，依题意有120m+100（20﹣m）≤2100，
解得m≤5．
∵两种垃圾箱都要购买，
∴0＜m≤5且m为整数，
∴m＝1，2，3，4，5，
故该小区最多可以购买B型垃圾箱5个，共有5种购货方案．
26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点E，弧AB＝弧BC．
（1）如图1，∠BD＝∠BEA；
（2）如图2，点F是弧AD上一点，连接FB分别交AC、AD于S、G，连接FC分别交AD、BD于M、N，若∠FBD+∠FMD＝180°，求证：DG＝AG+CD；
（3）如图3，在（2）的条件下，R是CD上一点，连接FR分别交AD、BD于P、Q，若∠GFM＝∠FPA，MN＝NS，FP＝2CN，FM＝2，求CD长．

【分析】（1）由圆周角定理得出结论；
（2）由圆周角定理得出∠CMD＝∠FCD，得出CD＝DM，连接AF，证得AF＝FM，AG＝MG，则可得出结论；
（3）连接SM，设QD＝y，则QP＝QD＝y，设CN＝x，则BN＝CN＝MN＝x，证得FN＝x+2，NQ＝x+1，FQ＝2x+1，连接FD，由勾股定理求出x的值，由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）证明：∵弧AB＝弧BC，
∴∠ADB＝∠BAC，
∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD，∠BEA＝∠ADB+∠CAD．
∴∠BAD＝∠BEA；
（2）证明：∵∠FBD+∠FMD＝180°，∠CMD+∠FMD＝180°，
∴∠FBD＝∠CMD，弧FD＝弧FD，
∴∠FBD＝∠FCD，
∴∠CMD＝∠FCD，
∴CD＝DM，
连接AF，

∵弧FD＝弧FD，
∴∠FAM＝∠FCD，
∴∠AMF＝∠CMD，
∴∠FAM＝∠FMA，
∴AF＝FM，
∵弧AB＝弧BC，
∴∠AFG＝∠MFG，
∴AG＝MG，
∴DM+MG＝CD+AG，
∴DG＝AG+CD；
（3）解：连接SM，

∵∠GFM＝∠FPA，∠QPD＝∠FPA，弧AB＝弧BC，
∴∠GFM＝∠PDQ，
∴∠DPQ＝∠PDQ，
∴QP＝QD，
设QD＝y，则QP＝QD＝y，
∵MN＝NS，
∴∠NSM＝∠NMS，
由（2）知DC＝DM，∠CDN＝∠MDN，
∴MN＝CN，
∴SN＝NC，
∴∠NCS＝∠NSC，
∵∠NSM+∠NMS+∠NCS+∠NSC＝180°，
∴∠CSM＝90°，
∴∠ASM＝180°﹣∠CSM＝90°，
由（2）得FG⊥AM，AG＝GM，
∴∠SAM＝∠SMA，
∵∠MAS+∠AMS＝90°，
∴∠SAM＝∠AMS＝45°，
∴∠CBN＝∠CAM＝45°，
∴∠BCN＝90°﹣∠CBN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CBN＝∠BCN＝45°，
设CN＝x，
∴BN＝CN＝MN＝x，
∵FM＝2，
∴CF＝2x+2，
连接FD，
∵弧CD＝弧CD，
∴∠NFD＝∠CBN＝45°，
∵弧FB＝弧FB，
∴∠FDN＝∠NCB＝45°，
∴∠NFD＝∠FDN，
∴FN＝DN＝x+2，
设∠FPD＝α，
∴∠BFP＝90°﹣α，∠FBQ＝90°﹣α，
∴∠BFP＝∠FBQ，
∴BQ＝FQ，
∵FP＝2CN＝2x，
∴2x+y＝2x+2﹣y，
∴y＝1，
在Rt△FQN中，FN＝x+2，NQ＝x+1，FQ＝2x+1，
∵FN2+NQ2＝FQ2，
∴（x+2）2+（x+1）2＝（2x+1）2，
解得x＝2（x＝﹣1舍去），
∴CD＝＝＝2．
27．如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝2OC．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，若P是第一象限抛物线上的一点连接AC、PA、PC，PA交y轴于点F，△PAC的面积是S，P点横坐标是t，求出S与t的函数解析式并直接写出自变量t的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，若D是y轴的负半轴上的点，连接PD、AD，PD交x轴于点M，当S＝2时，将线段PD绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，射线EB与AD交于点R、与PD交于点N，若tan∠APD＝，求R点坐标．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S＝S△CFP+S△CFA＝×CF×（xP﹣xA），即可求解；
（3）证明Rt△EHP≌Rt△PGD（AAS），求出点E的坐标为（10，2），进而求解．
【解答】解：（1）令y＝a（x+2）（x﹣6）＝0，解得x＝﹣2或6，故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（6，0），
则OB＝6＝2OC，则OC＝3，故点C的坐标为（0，3），
将点C的坐标代入y＝a（x+2）（x﹣6）并解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+3；

（2）设点P的坐标为（t，﹣t2+t+3），
设直线AP的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故点F的坐标为（0，），
则S＝S△CFP+S△CFA＝×CF×（xP﹣xA）＝×（3﹣）×（t+2）＝t2+t（0＜t＜6）；

（3）当S＝2＝t2+t时，解得t＝﹣4（舍去）或2，故点P的坐标为（2，4），
在△APM中，过点M作MR⊥AP于点R，
由点A、P的坐标知，∠PAB＝45°，AP＝4，
∵tan∠APD＝，故设MR＝3x＝AR，则PR＝5x，
故AP＝AR+PR＝8x＝4，解得x＝，
则AM＝AR＝3x＝3，
故点M的坐标为（1，0），
由点P、M的坐标得，直线PM的表达式为y＝4x﹣4，
故点D的坐标为（0，﹣4），
过点P作y轴的平行线交过点D与x轴的平行线于点G，过点E作EH⊥PG于点H，

∵∠EPH+∠DPG＝90°，∠DPG+∠GDP＝90°，
∴∠EPH＝∠GDP，
∵线段PD绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，则PE＝DP，
∴Rt△EHP≌Rt△PGD（AAS），
∴HE＝PG＝4+4＝8，PH＝DG＝2，
故点E的坐标为（10，2），
由点E、B的坐标得，直线BE的表达式为y＝x﹣3①，
同理可得直线AD的表达式为y＝﹣2x﹣4②，
联立①②并解得，
故点R的坐标为（﹣，﹣）．