2020-2021学年江苏省无锡市宜兴市八年级（上）期中数学试卷（word版 含答案）

这是一份2020-2021学年江苏省无锡市宜兴市八年级（上）期中数学试卷（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省无锡市宜兴市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列标识或简图中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．a＝1、b＝2，c＝3 B．a＝3、b＝4，c＝5
C．a＝9、b＝40，c＝41 D．a＝7、b＝24，c＝25
3．如果等腰三角形的一个角是70°，那么它的底角是（　　）
A．55° B．70°或40° C．40°或55° D．70°或55°
4．如图，已知∠ABC＝∠DCB．若再增加下列条件中的某一个，仍不能判定△ABC≌△DCB，则这个条件是（　　）

A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DBC
5．如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．2 B．4 C．8 D．无法确定
6．如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　）

A．AD B．BE C．BF D．CG
7．下列说法错误的是（　　）
A．关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合
B．线段是轴对称图形
C．全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称
D．轴对称图形的对称轴至少有一条
8．如图，在△ABC中，∠B＝50°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，则∠CB′C′的度数为（　　）

A．50° B．60° C．80° D．100°
9．如图，由4个小正方形组成的田字格，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上能画出与△ABC成轴对称，且顶点都在小正方形顶点上的三角形的个数共有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（每空3分，共24分）
11．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为　 　．
12．已知直角三角形的两条直角边为5和12，则斜边长为　 　．
13．如图，△ABC中，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，AC＝5，△AEC的周长为12，则AB＝　 　．

14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝6，AD＝4，则DE的长为　 　．

15．如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD，连接DE，则∠BDE＝　 　°．

16．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；
②分别以D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F；
③作射线BF交AC于G．
如果AB＝9，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为　 　．

17．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为121，则BE＝　 　．

18．如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝5，DE＝6，则OD＝　 　．

三、解答题（共56分）
19．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）若有一格点P到点A、B的距离相等（PA＝PB），则网格中满足条件的点P共有　 　个；
（3）在直线l上找一点Q，使QB+QC的值最小．

20．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求证：AF＝DE．

21．如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠2＝30°，求∠C的度数．

22．小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．
（1）如果AC＝6cm，AB＝10cm，可求得△ACD的周长为　 　cm；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：4，可求得∠B的度数为　 　；
操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，AB＝15cm，请求出CD的长．

23．如图，△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BAD＝35°时，∠EDC＝　 　°；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？试说明理由；
（3）△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出此时∠BAD的度数；若不能，请说明理由．

24．如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．
（1）点F到直线CA的距离是　 　；
（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，设OF＝x，
①用含x的代数式分别表示OE2、OB2；
②当OE＝OB时，求OF的长．



2020-2021学年江苏省无锡市宜兴市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列标识或简图中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．a＝1、b＝2，c＝3 B．a＝3、b＝4，c＝5
C．a＝9、b＝40，c＝41 D．a＝7、b＝24，c＝25
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断．
【解答】解：A、12+22≠32，则不是直角三角形，
B、32+42＝52，则是直角三角形，
C、92+402＝412，则是直角三角形，
D、72+242＝252，则是直角三角形，
故选：A．
3．如果等腰三角形的一个角是70°，那么它的底角是（　　）
A．55° B．70°或40° C．40°或55° D．70°或55°
【分析】根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于70°，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是70°，
②当这个是70°是顶角，
设等腰三角形的底角是x°，
则2x+70°＝180°，
解可得，x＝55°，即该等腰三角形的底角的度数是55°；
故选：D．
4．如图，已知∠ABC＝∠DCB．若再增加下列条件中的某一个，仍不能判定△ABC≌△DCB，则这个条件是（　　）

A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DBC
【分析】根据题意和图形可以得到∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，再根据各个选项中的条件，即可得到哪个选项中的条件不能判定△ABC≌△DCB，本题得以解决．
【解答】解：∵∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∴若AB＝CD，则△ABC≌△DCB（SAS），故选项A不符合题意；
若AC＝BD，则无法判断△ABC≌△DCB，故选项B符合题意；
若∠A＝∠D，则△ABC≌△DCB（AAS），故选项C不符合题意；
若∠ACB＝∠DBC，则△ABC≌△DCB（ASA），故选项D不符合题意；
故选：B．
5．如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．2 B．4 C．8 D．无法确定
【分析】根据正方形的轴对称的性质可得，阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解．
【解答】解：S阴影＝•S正方形ABCD＝×4×4＝8．
故选：C．
6．如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　）

A．AD B．BE C．BF D．CG
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高线的定义解答．
【解答】解：由图可知，△ABC中，BC边上的高为AD，
故选：A．
7．下列说法错误的是（　　）
A．关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合
B．线段是轴对称图形
C．全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称
D．轴对称图形的对称轴至少有一条
【分析】根据轴对称的概念以及性质对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合，正确，故本选项错误；
B、线段是轴对称图形，正确，故本选项错误；
C、全等的两个三角形不一定关于某直线成轴对称，但关于某直线成轴对称的两个三角形一定，故本选项正确；
D、轴对称图形的对称轴至少有一条，正确，故本选项错误．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，∠B＝50°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，则∠CB′C′的度数为（　　）

A．50° B．60° C．80° D．100°
【分析】根据旋转的性质得到AB＝AB′，∠C′B′A＝∠B，由等腰三角形的性质得到∠AB′B＝∠B，然后根据平角的定义即可得到结论．
【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，
∴AB＝AB′，∠C′B′A＝∠B，
∴∠AB′B＝∠B，
∵∠B＝50°，
∴∠C′B′A＝∠AB′B＝50°，
∴∠CB′C′＝180°﹣∠C′B′A﹣∠AB′B＝80°，
故选：C．
9．如图，由4个小正方形组成的田字格，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上能画出与△ABC成轴对称，且顶点都在小正方形顶点上的三角形的个数共有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】因为顶点都在小正方形上，故可分别以大正方形的两条对角线AB、EF及MN、CH为对称轴进行寻找．
【解答】解：分别以大正方形的两条对角线AB、EF及MN、CH为对称轴，作轴对称图形：

则△ABM、△ANB、△EHF、△EFC都是符合题意的三角形．
故选：C．
10．如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝4，
∴BH＝2，AH＝2，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AH＝CH＝2，
∴AC＝＝＝2，

∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，得矩形ENCK，
∴CK＝EN，
∴AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为2，
综上所述，AE+BF的最大值为2．
故选：B．
二．填空题
11．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为　17　．
【分析】因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：分两种情况：
当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，3+3＝6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，
所以等腰三角形的周长为17．
故答案为：17．
12．已知直角三角形的两条直角边为5和12，则斜边长为　13　．
【分析】根据直角三角形的两条直角边的长为5和12，利用勾股定理即可求出其斜边的长．
【解答】解；∵直角三角形的两条直角边的长为5和12，
∴它的斜边长＝＝13．
故选答案为：13．
13．如图，△ABC中，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，AC＝5，△AEC的周长为12，则AB＝　7　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∵△AEC的周长为12，
∴AC+AE+EC＝12，
∴AC+AE+EB＝AC+AB＝12，
∴AB＝12﹣5＝7，
故答案为：7．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝6，AD＝4，则DE的长为　　．

【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝3，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵AE＝EB，
∴DE＝AB＝，
故答案为．
15．如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD，连接DE，则∠BDE＝　120　°．

【分析】由△ABC为等边三角形，可求出∠BDC＝90°，由△DCE是等腰三角形求出∠CDE＝∠CED＝30°，即可求出∠BDE的度数．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD为中线，
∴∠BDC＝90°，∠ACB＝60°
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝90°+30°＝120°，
故答案为：120．
16．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；
②分别以D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F；
③作射线BF交AC于G．
如果AB＝9，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为　24　．

【分析】如图，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N．证明GM＝GN，求出GM，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N．

由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GM⊥AB，GN⊥BC，
∴GM＝GN，
∵S△ABG＝×AB×GM＝18，
∴GM＝4，
∴GN＝GM＝4，
∴S△CBG＝•BC•GN＝×12×4＝24，
故答案为24．
17．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为121，则BE＝　11　．

【分析】运用割补法把原四边形转化为正方形，求出BE的长．
【解答】解：过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，

∵∠FBC+∠CBE＝90°，∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠FBC＝∠ABE，
在△BCF和△BEA中
，
∴△BCF≌△BEA（AAS），
则BE＝BF，
∵∠BED＝∠F＝∠D＝90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∵BE＝BF，
∴四边形BEDF是正方形，
∴S四边形ABCD＝S正方形BEDF＝121，
∴BE＝11，
故答案为11．
18．如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝5，DE＝6，则OD＝　8　．

【分析】连接AB，首先证明AB⊥OD，推出AB∥DE，推出四边形ABED是平行四边形，再证明OA＝AD＝OB＝BE＝5，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：连接AB．

由作图可知，OA＝OB，OD平分∠AOB，
∴OD⊥AB，
∵DE⊥OD，
∴AB∥DE，
∵AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD＝BE，
∵AD∥OE，
∴∠ADO＝∠DOE，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠DOE＝∠ADO，
∴AD＝OA＝OB＝BE＝5，
∴OE＝10，
∵∠ODE＝90°，
∴OD＝＝＝8．
故答案为8．
三．解答题（共6小题）
19．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）若有一格点P到点A、B的距离相等（PA＝PB），则网格中满足条件的点P共有　4　个；
（3）在直线l上找一点Q，使QB+QC的值最小．

【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）在线段AB的垂直平分线性质格点即可．
（3）连接BC′交直线l于点Q，连接CQ，此时BQ+CQ的值最小．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．

（2）如图，满足条件的点P有4个，
故答案为4．
（3）如图点Q即为所求．
20．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求证：AF＝DE．

【分析】由“ASA”可证△ABF≌△DCE，可AF＝DE．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（ASA），
∴AF＝DE．
21．如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠2＝30°，求∠C的度数．

【分析】（1）由“ASA”可证△AEC≌△BED；
（2）由全等三角形的性质可得DE＝EC，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2
∴∠1+∠AED＝∠2+∠AED，
即∠AEC＝∠BED，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）；
（2）∵△AEC≌△BED，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C，
∵∠1＝∠2＝30°，
∴∠C＝75°．
22．小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．
（1）如果AC＝6cm，AB＝10cm，可求得△ACD的周长为　14　cm；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：4，可求得∠B的度数为　40°　；
操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，AB＝15cm，请求出CD的长．

【分析】操作一：（1）先根据勾股定理求出BC＝8cm，再由折叠的性质得AD＝BD，即可得出结论；
（2）设∠CAD＝x，则∠BAD＝4x，进而判断出∠B＝∠BAD＝4x，最后用直角三角形的两锐角互余建立方程，求解即可得出结论；
操作二：先由折叠得出AE＝AC＝9cm，设出CD＝xcm，进而得出BD＝（12﹣x）cm，DE＝xcm，最后用勾股定理建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：操作一：
（1）在Rt△ABC中，AC＝6cm，AB＝10cm，
根据勾股定理得出，BC＝（cm），
由折叠的性质得，AD＝BD，
∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝8+6＝14（cm）；
故答案为：14cm；

（2）设∠CAD＝x，则∠BAD＝4x，
由折叠的性质得，AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝4x，
∵∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴4x+4x+x＝90°，
∴x＝10°，
∴∠B＝40°；
故答案为：40°；

操作二：
在Rt△ABC中，AC＝9cm，AB＝15cm，
根据勾股定理得，BC＝（cm），
根据折叠性质得，AE＝AC＝9（cm），
∵AB＝15cm，
∴BE＝AB﹣AE＝6（cm），
设CD＝xcm，则BD＝（12﹣x）cm，
由折叠知，DE＝CD＝xcm，
在Rt△BDE中，根据勾股定理得，DE2+BE2＝BD2，
∴x2+62＝（12﹣x）2，
∴x＝4.5，
∴CD＝4.5cm．
23．如图，△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BAD＝35°时，∠EDC＝　35　°；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？试说明理由；
（3）△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出此时∠BAD的度数；若不能，请说明理由．

【分析】（1）先利用平角的意义求出∠CDE，再用三角形外角的性质求出∠AED，最后用三角形的内角和定理求出∠DAE；
（2）先利用等式的性质判断出∠BAD＝∠CDE，再用全等三角形的性质得出CD＝AB，即可得出结论；
（3）先求出∠BAC＝80°，再分三种情况，利用等腰三角形的性质求出∠DAE，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠BAD＝35°，∠B＝50°，
∴∠ADC＝85°，
∵∠ADE＝50°，
∴∠EDC＝85°﹣50°＝35°，
故答案为：35；

（2）当DC＝3时，△ABD≌△DCE；
理由：∵∠ADE＝50°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝50°+∠EDC．
∵∠B＝50°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝50°+∠BAD，
∴∠BAD＝∠EDC．
∵△ABD≌△DCE（ASA），
∴DC＝AB＝3；

（3）能，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形．
理由：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°，
①当DA＝DE时，
∵∠ADE＝50°，
∴∠CAD＝（180°﹣∠ADE）＝65°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，

②当EA＝ED时，
∴∠DAC＝∠ADE＝50°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，

③当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝50°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝80°，此时，点D与点B重合，不符合题意，
综上所述，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形．
24．如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．
（1）点F到直线CA的距离是　2　；
（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，设OF＝x，
①用含x的代数式分别表示OE2、OB2；
②当OE＝OB时，求OF的长．

【分析】（1）先用含30度角的直角三角形的性质，求出AC＝2，进而得出和CF＝4，再判断出∠ACF＝30°，进而得出DF＝CF，即可得出结论；
（2）先表示出OC＝4﹣x，
①根据勾股定理得，OB2＝OC2﹣BC2＝x2﹣8x+12，再判断出EF＝BC＝2，∠FEH＝30°，进而得出FH＝，再根据勾股定理得，EH＝，进而得出OH＝x﹣1，最后用勾股定理即可得出OB2；
②当OE＝OB时，则OE2＝OB2，即x2﹣8x+12＝x2﹣2x+4，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）如（图1）中，过点F作FD⊥AC于D，
∴∠CDF＝90°，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝2，
∴∠ACB＝60°，AC＝2BC＝4，
∵Rt△ABC≌Rt△CEF，
∴CF＝AC＝4，∠ECF＝∠BAC＝∠30°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠ECF＝30°，
在Rt△CDF中，CF＝4，∠ACF＝30°，
∴DF＝CF＝2，
故答案为2；

（2）如（图2）中，
过点E作EH⊥CF于H，
∴∠FEH＝∠OHE＝90°，
由（1）知，CF＝4，
∵OF＝x，
∴OC＝4﹣x，
①在Rt△OCB中，BC＝2，
根据勾股定理得，OB2＝OC2﹣BC2＝（4﹣x）2﹣22＝x2﹣8x+12，
∵Rt△ABC≌Rt△CEF，
∴EF＝BC＝2，∠F＝∠ACB＝60°，
∴∠FEH＝30°，
在Rt△FEH中，∠FEH＝30°，EF＝2，
∴FH＝，
根据勾股定理得，EH＝，
∴OH＝OF﹣FH＝x﹣1，
在Rt△OEH中，；

②当OE＝OB时，则OE2＝OB2，
即x2﹣8x+12＝x2﹣2x+4，
解得x＝，
即OF的长为．