预测07 锐角三角函数实际应用-2021年中考数学三轮冲刺过关（全国通用）

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预测07 锐角三角函数实际应用

概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
解答题☆☆☆☆☆
考向预测
①根据已知条件直接求出所需要边的长度。
②需要用方程思想，才能求出边的长度。

锐角三角函数实际应用是全国中考的热点内容！锐角三角函数实际应用就是把实际问题转化为解直角三角形问题。
1．从考点频率看，锐角三角函数实际应用是高频考点，通常利用正弦、余弦、正切的定义和特殊角的三角函数值来解决问题。
2．从题型角度看，以解答题为主，分值9分左右！

特殊角的三角函数值
三角函数
定义
30°
45°
60°

sin





cos





tan






仰角和俯角的定义


坡比的定义


坡比==tanα


锐角三角函数实际应用常用的辅助线：做垂线，构造直角三角形。在直角三角形，已知一条边和一个角的三角函数值即可求出其它边。当在一个直角三角形中，一条边长度都不知道时，一定要记得设未知数，利用方程思想。


1．（2020年辽阳中考）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）





2．（2020年江西中考）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，1.732）



3.（2020年随州中考）如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD＝5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB＝25米．
（1）求A与C之间的距离；
（2）求天线BE的高度．（参考数据：1.73，结果保留整数）

4.（2020年湘潭中考）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据：1.732，4.122）





5.（2020年岳阳中考）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，1.41）









6.（2020年怀化中考）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上求古树CD的高度．（已知：1.414，1.732，结果保留整数）






7.（2020年徐州中考）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：1.41，1.73，2.45）










8.（2020年黄冈中考）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临摹亭和P2处的遗爱亭都在东北方向，当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向，当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临摹亭在北偏西60°方向．
（1）求A处到临摹亭P1处的距离；
（2）求临摹亭P1处于遗爱亭P2处之间的距离．（计算结果保留根号）




9.（2020年郴州中考）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：1.732，1.414）．





1．（2020年江苏省南通市中考数学模拟试卷三）小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图所示）．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到1米）？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）



2．（2020年浙江省台州市路桥区中考数学5月模拟试题）等腰三角形的屋顶，是建筑中经常采用的结构形式．在如图所示的等腰三角形屋顶ABC中，AB=AC，测得BC=20米，∠C=41°，求顶点A到BC边的距离是多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：sin41°≈0.656，cos41°≈0.755，tan41°≈0.869．）







3．（江苏省南通市崇川区八一中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题）亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部 ， 颖颖的头顶及亮亮的眼睛恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置 ， ． 然后测出两人之间的距离 ， 颖颖与楼之间的距离（ ， ， 在一条直线上），颖颖的身高 ， 亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离 ． 你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？



4.（四川省成都市东部新区2020-2021学年九年级上学期期末学业质量检测数学试题） 如图，某高为16.5米的建筑物AB楼顶上有一避雷针BC，在此建筑物前方E处安置了一高度为1.5米的测倾器DE，测得避雷针顶端的仰角为45°，避雷针底部的仰角为37°，求避雷针BC的长度．（参考数据： sin370≈0.60，cos370≈0.80，tan370≈0.75）




5.（中国人民大学附属中学2020-2021学年九年级下学期开学考试数学试题）如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点C作直线l⊥AC，点D，E是直线1上的动点（D在E的右侧），且满足DE＝AB，连接BD，∠ABD的平分线与射线AE交于点F，与射线AC交于点G．
（1）如图1，当点C在线段DE上，且∠CAE＝30°时，若AB＝3，求线段EF的长；
（2）如图2，当点D在点C的左侧时，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AG，CD，EF的数量关系，并证明．






6.（2020年河南省周口市西华县九年级中考三模数学试题）如图，一辆轿车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，轿车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是和，如果斑马线的宽度米，驾驶员与车头的距离是1.8米，这时轿车车头与斑马线的距离约是多少米？（参考数据：，，，，结果精确到0.1米）

7.（河南省实验中学2020-2021学年九年级下学期开学考试数学试题）疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机规劝居民回家．如图，一条笔直的街道，在街道处的正上方处有一架无人机，该无人机在处测得俯角为的街道处有人聚集，然后沿平行于街道的方向再向前飞行60米到达处，在处测得俯角为的街道处也有人聚集，已知两处聚集点之间的距离为120米，求无人机飞行的高度．(参考数据：，，，)




8.（四川省成都市东部新区2020-2021学年九年级上学期期末学业质量检测数学试题）如图1，一辆汽车从地出发去往地，，两地相距.由于，之间某路段正在修路.驾驶员临时改变路线，先由地开往地，再由地开往地，如图2是从该场景中抽象出来的示意图，已知，，则这样的行驶路程比原来路程远了多少？（结果精确到，参考数据：，）







9.（2020年陕西省初中学业水平考试数学模拟试卷（一) ）西安市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教学楼的顶部（如图所示）．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为30°，然后向教学楼正方向走了5米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°，已知教学楼高BM＝16米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．（结果保留根号）




1．（2020年辽阳中考）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）

【分析】过点A作AD⊥BC于D，求出∠ABC＝60°，在Rt△ABD中，∠DAB＝30°，由三角函数定义求出AD＝AB•sin∠ABD＝40，求出∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝45°，则△ADC是等腰直角三角形，得出ACAD＝40海里即可．
【解析】过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
由题意得：∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB•sin∠ABD＝80×sin60°＝8040，
∵∠CAB＝30°+45°＝75°，
∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴ACAD4040（海里）．
答：货船与港口A之间的距离是40海里．

2．（2020年江西中考）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，1.732）

【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CB、AF，即可求出点A到直线DE的距离；
（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．
【解析】（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，
由题意可知，AC＝80，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，
在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝8040 （mm）＝FM，
∠DCN＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠DCB＝80°，
∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，
∵AM⊥DE，CN⊥DE，
∴AM∥CN，
∴∠A＝∠BCN＝50°，
∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，
在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44，
∴AM＝AF+FM＝51.44+40120.7（mm），
答：点A到直线DE的距离约为120.7mm；
（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°，
在Rt△BCD中，CD＝80，BC＝40，
∴tan∠D0.500，
∴∠D＝26.6°，
因此旋转的角度为：60°﹣26.6°＝33.4°，
答：CD旋转的角度约为33.4°．


3.（2020年随州中考）如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD＝5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB＝25米．
（1）求A与C之间的距离；
（2）求天线BE的高度．（参考数据：1.73，结果保留整数）

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出AD＝AB＝25米，则可求出答案；
（2）解直角三角形求出AE＝30•tan60°＝30（米），则可求出BE．
【解析】（1）由题意得，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，
∴AD＝AB＝25米，
∵CD＝5米，
∴AC＝AD+CD＝25+5＝30（米），
即A与C之间的距离是30米；
（2）在Rt△ACE中．∠ACE＝60°，AC＝30米，
∴AE＝30•tan60°＝30（米），
∵AB＝25米，
∴BE＝AE﹣AB＝（3025）米，
∵1.73，
∴BE≈1.73×30﹣25＝27米．
即天线BE的高度为27米．
4.（2020年湘潭中考）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据：1.732，4.122）

【分析】先由DE的坡度计算DC的长度，根据矩形性质得AB长度，再由AF的坡度得出BF的长度，根据勾股定理计算出AF的长度．
【解析】∵DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，
∴在Rt△DCE中，10，
∴解得DC＝5．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝5．
∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4，
∴，
∴BF＝4AB＝20，
∴在Rt△ABF中，20.61（m）．
故斜坡AF的长度约为20.61米．
5.（2020年岳阳中考）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，1.41）

【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据锐角三角函数即可求出新建管道的总长度．
【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，

根据题意可知：
AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，
∴AD＝CD，
∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD，
∴0.40，
∴CD＝2，
∴AD＝CD＝2，
BD＝7﹣2＝5，
∴AC＝22.83，
BC5.41，
∴AC+BC≈2.83+5.41≈8.2（km）．
答：新建管道的总长度约为8.2km．
6.（2020年怀化中考）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上求古树CD的高度．（已知：1.414，1.732，结果保留整数）

【分析】设CB＝CD＝x，根据tan30°即可得出答案．
【解析】由题意可知，AB＝20，∠DAB＝30°，∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴CB＝CD，
设CD＝x，则BC＝x，AC＝20+x，
在Rt△ACD中，
tan30°，
解得x＝1010≈10×1.732+10＝27.32≈27，
∴CD＝27，
答：CD的高度为27米．
7.（2020年徐州中考）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：1.41，1.73，2.45）

【分析】作PN⊥BC于N，则四边形ABNP是矩形，得PN＝AB，证出△APM是等腰直角三角形，得AMPM＝15m，则PN＝AB＝2AM＝30m，在Rt△PNQ中，由含30°角的直角三角形的性质得NQPN＝10m，PQ＝2NQ≈49m即可．
【解析】作PN⊥BC于N，如图：
则四边形ABNP是矩形，
∴PN＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠APM＝45°，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AMPM30＝15（m），
∵M是AB的中点，
∴PN＝AB＝2AM＝30m，
在Rt△PNQ中，∠NPQ＝90°﹣∠DPQ＝90°﹣60°＝30°，
∴NQPN＝10m，PQ＝2NQ＝2049（m）；
答：小红与爸爸的距离PQ约为49m．

8.（2020年黄冈中考）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临摹亭和P2处的遗爱亭都在东北方向，当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向，当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临摹亭在北偏西60°方向．
（1）求A处到临摹亭P1处的距离；
（2）求临摹亭P1处于遗爱亭P2处之间的距离．（计算结果保留根号）

【分析】（1）如图，作P1M⊥AC于M，设P1M＝x，在两个直角三角形中，利用三角函数即可x表示出AM与CM，根据AC＝AM+CM即可列方程，从而求得P1M的长，进一步求得AP1的长；
（2）作BN⊥AP2于N，在两个直角三角形中，利用三角函数即可求出AN与P2N，根据（1）的结果求得P1N，从而求得P1P2．
【解析】（1）作P1M⊥AC于M，
设P1M＝x，
在Rt△P1AM中，∵∠P1AB＝45°，
∴AM＝P1M＝x，
在Rt△P1CM中，∵∠P1CA＝30°，
∴MCx，
∵AC＝1000，
∴x100，解得x＝500（1），
∴P1M＝500（1）m
∴P1A500（）m，
故A处到临摹亭P1处的距离为500（）m；
（2）作BN⊥AP2于N，
∵∠P2AB＝45°，∠P2BA＝75°，
∴∠P2＝60°，
在Rt△ABN中，∵∠P1AB＝45°，AB＝600m
∴BN＝ANAB＝300，
∴PN＝500（）﹣300500800，
在Rt△P2BN中，∵∠P2＝60°，
∴P2NBN100，
∴P1P2＝100（500800）＝800400．
故临摹亭P1处于遗爱亭P2处之间的距离是（800400）m．

9.（2020年郴州中考）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：1.732，1.414）．

【分析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，可得AO＝2000，DO＝2000，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，可得BO＝OC，即可得2000+3x＝2000460，进而解得x的值．
【解析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：
AB＝3x，
在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，
∴AO＝2000，
∴DO＝2000，
∵CD＝460，
∴OC＝OD﹣CD＝2000460，
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴BO＝OC，
∵OB＝OA+AB＝2000+3x，
∴2000+3x＝2000460，
解得x≈335（米/秒）．
答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．


1．（2020年江苏省南通市中考数学模拟试卷三）小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图所示）．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到1米）？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）

【答案】约288米
【解析】
【分析】
先过P作PC⊥AB于C，在Rt△APC中，根据AP=200m，∠ACP=90°，∠PAC=60°求出PC的长，再根据在Rt△PBC中，，得出PB的值，即可得出答案.
【详解】解：过P作PC⊥AB于C，


在Rt△APC中，AP=200m，∠ACP=90°，∠PAC=60°，
∴PC=200×sin60°=200×=100.
∵在Rt△PBC中，，
∴（m）.
答：小亮与妈妈相距约288米.
2．（2020年浙江省台州市路桥区中考数学5月模拟试题）等腰三角形的屋顶，是建筑中经常采用的结构形式．在如图所示的等腰三角形屋顶ABC中，AB=AC，测得BC=20米，∠C=41°，求顶点A到BC边的距离是多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：sin41°≈0.656，cos41°≈0.755，tan41°≈0.869．）

【答案】顶点A到BC边的距离是8.7米
【解析】
【分析】
作AD⊥BC,垂足为D点，然后利用等腰三角形的性质得出CD=BC，然后解直角三角形即可求解．
【详解】解：作AD⊥BC，垂足为D点

∵AB=AC， AD⊥BC，BC=20
∴BD=CD=BC=10．
在Rt△ACD中，∠C=41°，
∴tan C=tan41°=，
∴AD=≈10×0.869 ≈8.7．
答：顶点A到BC边的距离是8.7米．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和解直角三角形，掌握等腰三角形的性质和锐角三角函数是解题的关键．
3．（江苏省南通市崇川区八一中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题）亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部 ， 颖颖的头顶及亮亮的眼睛恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置 ， ． 然后测出两人之间的距离 ， 颖颖与楼之间的距离（ ， ， 在一条直线上），颖颖的身高 ， 亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离 ． 你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？

【答案】20.8m．
【解析】
试题分析：过A作CN的平行线交BD于E，交MN于F，由相似三角形的判定定理得出△ABE∽△AMF，再由相似三角形的对应边成比例即可得出MF的长，进而得出结论．
试题解析：过A作CN的平行线交BD于E，交MN于F．

由已知可得FN=ED=AC=0.8m，AE=CD=1.25m，EF=DN=30m，
∠AEB=∠AFM=90°．
又∵∠BAE=∠MAF，
∴△ABE∽△AMF．
∴，
即：，
解得MF=20m．
∴MN=MF+FN=20+0.8=20.8m．
∴住宅楼的高度为20.8m．
考点: 相似三角形的应用.
4.（四川省成都市东部新区2020-2021学年九年级上学期期末学业质量检测数学试题） 如图，某高为16.5米的建筑物AB楼顶上有一避雷针BC，在此建筑物前方E处安置了一高度为1.5米的测倾器DE，测得避雷针顶端的仰角为45°，避雷针底部的仰角为37°，求避雷针BC的长度．（参考数据： sin370≈0.60，cos370≈0.80，tan370≈0.75）

【答案】5米
【解析】
【分析】过点D作DF⊥AB，交AB于点F，知DE=AF=1.5米，BF=AB-AF=15（米），在Rt△BFD中，由，求得DF≈20米，再在Rt△DFC中，由∠CDF=45°知CF=DF≈20米，根据BC=CF-BF求解可得答案．
【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB交AB于点F，

则DE=AF=1.5米，
BF=AB-AF=16.5-1.5=15米.
在Rt△BFD中，∠CDF=，
,

DF≈20米.
在Rt△DFC中，∠CDF=，
CF=DF≈20米，
BC=CFBF≈2015=5米；
答：避雷针BC的长度为约为5米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，正确记忆三角函数的定义，把直角梯形的问题转化为解直角三角形的问题是解决本题的关键．
5.（中国人民大学附属中学2020-2021学年九年级下学期开学考试数学试题）如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点C作直线l⊥AC，点D，E是直线1上的动点（D在E的右侧），且满足DE＝AB，连接BD，∠ABD的平分线与射线AE交于点F，与射线AC交于点G．
（1）如图1，当点C在线段DE上，且∠CAE＝30°时，若AB＝3，求线段EF的长；
（2）如图2，当点D在点C的左侧时，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AG，CD，EF的数量关系，并证明．

【答案】（1）；（2）①补全图形见解析；②证明见解析．
【解析】
【分析】（1）先求解 再证明四边形是平行四边形，可得 证明 可得 从而可得答案；
（2）①根据题干要求画好图形即可，②过作于 交于 交于 证明四边形是菱形，四边形是平行四边形，可得 再证明 再证明 可得 利用 从而可得结论．
【详解】解：（1）




经检验：符合题意，

四边形是平行四边形，

平分





（2）①根据题意画出图形如下：

②理由如下：
过作于 交于 交于

平分



由（1）得：




四边形是菱形，


四边形是平行四边形，














【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键．
6.（2020年河南省周口市西华县九年级中考三模数学试题）如图，一辆轿车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，轿车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是和，如果斑马线的宽度米，驾驶员与车头的距离是1.8米，这时轿车车头与斑马线的距离约是多少米？（参考数据：，，，，结果精确到0.1米）

【答案】1.2米
【解析】
【分析】
如图，过点作，垂足为点，先求出，，在中，，得出，在中，，得出，即可得出，求解即可．
【详解】如图，过点作，

垂足为点，
根据题意，得，，
在中，，
即，
∴，
在中，，
即，
∴，
∴，
解得
所以，轿车车头与斑马线的距离约是1.2米．
【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题关键．
7.（河南省实验中学2020-2021学年九年级下学期开学考试数学试题）疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机规劝居民回家．如图，一条笔直的街道，在街道处的正上方处有一架无人机，该无人机在处测得俯角为的街道处有人聚集，然后沿平行于街道的方向再向前飞行60米到达处，在处测得俯角为的街道处也有人聚集，已知两处聚集点之间的距离为120米，求无人机飞行的高度．(参考数据：，，，)

【答案】180米
【解析】
【分析】
过点E 作EM⊥DC于M．设 BM=x 米．则AC=BC=EM（60+x）米．DM=（120+x）米，得出tan∠D==＝0.75，解出x即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于．





∴四边形为矩形．
米．
设米．
则米，米．
在中，


解得：
(米)．
∴飞机高度为180米．
答：无人机飞行的高度为180米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
8.（四川省成都市东部新区2020-2021学年九年级上学期期末学业质量检测数学试题）如图1，一辆汽车从地出发去往地，，两地相距.由于，之间某路段正在修路.驾驶员临时改变路线，先由地开往地，再由地开往地，如图2是从该场景中抽象出来的示意图，已知，，则这样的行驶路程比原来路程远了多少？（结果精确到，参考数据：，）

【答案】68㎞
【解析】
解：如图，过点作垂直于于点，

在中，设，
，
，
在中，，
∵，
∴ .
∴，

∴ ，

答：这样的行驶路程比原来路程远了.
9.（2020年陕西省初中学业水平考试数学模拟试卷（一) ）西安市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教学楼的顶部（如图所示）．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为30°，然后向教学楼正方向走了5米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°，已知教学楼高BM＝16米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．（结果保留根号）

【解析】解：如图：

过点C作CG⊥AM于G，
得矩形CDMG和矩形EFMG，
∴MG＝CD＝EF＝1 （米），
∵BM＝16（米），
∴GB＝15 （米），
设AB为x，
∵∠AEG＝45°
∴EG＝AG＝15+x，CG＝20+x，
在 Rt△CBG中，∵∠BCG＝30°，
∴tan30°＝＝，
即，
解得x＝15﹣20（米）．
答：宣传牌AB的高度为（15﹣20）米．