新高考数学复习专题60 切线与切点问题（解析版）

这是一份新高考数学复习专题60 切线与切点问题（解析版），共14页。试卷主要包含了题型选讲，由切线方程求含参问题，切线方程的应用等内容，欢迎下载使用。
题型一 、求曲线的切线方程或切点
例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数的图像在点处的切线方程为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
例2、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a-1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x，f'(x)=3x2+1，
所以f'(0)=1,f(0)=0，
所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y-f(0)=f'(0)x，化简可得y=x.
故选D.
例3、【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 ▲ .
【答案】
【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.
设点，则.
又，
当时，，
则曲线在点A处的切线为，
即，
将点代入，得，
即，
考察函数，
当时，，当时，，
且，
当时，单调递增，
注意到，
故存在唯一的实数根，
此时，
故点的坐标为.
例4、（2020山东21）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积；
【解析】（1）．
切线方程为，与坐标轴交点坐标分别为，
因此所求三角形面积为．
题型二、由切线方程求含参问题
例5、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则
A． B．a=e，b=1
C． D．，
【答案】D
【解析】∵
∴切线的斜率，，
将代入，得.
故选D．
例6、(2019常州期末）若直线kx－y－k＝0与曲线y＝ex(e是自然对数的底数)相切，则实数k＝________．
【答案】 e2
【解析】设切点A(x0，ex0)，由(ex)′＝ex，得切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，即y＝ex0x＋(1－x0)ex0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝ex0，,－k＝（1－x0）ex0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝2，,k＝e2.))
例6、（2017泰州模拟）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围．
【解析】（1），，所以在点处的切线方程是；
（2）设切点为，切线方程为，将代入切线方程得，令，，题设中有三条切线等价于有三个不同实根，故．
题型三、切线方程的应用
例7、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.
【解析】（1）f（x）的定义域为（0，1）（1，+∞）．
因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增．
因为f（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零点．
综上，f（x）有且仅有两个零点．
（2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y=ex上．
由题设知，即，故直线AB的斜率．
曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，
所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线．
例8、【2018年高考天津理数】已知函数，，其中a>1.
（I）求函数的单调区间；
（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；
【解析】（I）由已知，，有.
令，解得x=0.
由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.
由，可得曲线在点处的切线斜率为.
因为这两条切线平行，故有，即.
两边取以a为底的对数，得，所以.
（III）曲线在点处的切线l1：.
曲线在点处的切线l2：.
要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1与l2重合.
即只需证明当时，方程组有解．
由①得，代入②，得. ③
因此，只需证明当时，关于x1的方程③存在实数解.
设函数，即要证明当时，函数存在零点.
，可知时，；时，单调递减，又，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值.
因为，故，
所以
下面证明存在实数t，使得.
由（I）可得，
当时，
有，
所以存在实数t，使得．
因此，当时，存在，使得.
所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.
二、达标训练
1、【2020年高考全国III卷理数】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为
A．y=2x+1B．y=2x+
C．y=x+1D．y=x+
【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D．
2、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）当直线和曲线E：交于三点时，曲线E在点A，点C处的切线总是平行的，则过点可作曲线E的切线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
直线过定点
由题意可知：定点是曲线的对称中心，
，解得，所以曲线，
f′（x）= ，设切点M（x0，y0），
则M纵坐标y0=，又f′（x0）=，
∴切线的方程为：
又直线过定点
，
得﹣-2=0，
，
即
解得：
故可做两条切线
故选C
3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线在点处的切线方程为____________．
【答案】
【解析】
所以切线的斜率，
则曲线在点处的切线方程为，即．
4、【2018年高考全国Ⅱ卷理数】曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】y=2x
【解析】∵y'=2x+1，∴在点（0,0）处切线的斜率为k=20+1=2，
则所求的切线方程为y=2x.
5、【2020年高考北京】已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
【解析】（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程：，即.
（Ⅱ）显然，
因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为.
6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时，若曲线与曲线存在唯一的公切线，求实数的值;
【解析】
(1)，
当时，恒成立，在上单调递减，
当时，由，解得，
由于时，导函数单调递增，
故，单调递减，
单调递增.
综上，当时在上单调递减;
当时， 在上单调递减，在上单调递增. .
(2)曲线与曲线存在唯一公切线，设该公切线与分别切于点，显然.
由于，
所以，
，

由于，故，且
因此，
此时，
设
问题等价于直线与曲线在时有且只有一个公共点，
又，令，解得，
则在上单调递增，上单调递减，
而，当时，
所以的值域为.
故.
7、（2020届山东师范大学附中高三月考）设函数.
（Ⅰ）当，时，恒成立，求的范围；
（Ⅱ）若在处的切线为，且方程恰有两解，求实数的取值范围.
【解析】
由，
当时，得.
当时，，且当时，，此时.
所以，即在上单调递増，
所以，
由恒成立，得，所以.
（2）由得
，且.
由题意得，所以.
又在切线上.
所以.所以.
所以.
即方程有两解，可得，所以.
令，则，
当时，，所以在上是减函数.
当时，，所以在上是减函数.
所以.
又当时，；且有.
数形结合易知：.x
0
0
+
极小值