2021届高考数学二轮复习专题小题专练04三角函数、平面向量与解三角形(B)

小题专练04

三角函数、平面向量与解三角形(B)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:正弦定理,★)已知在△ABC中,A=30°,a=7,则=(    ).

A.16  B.15  C.14  D.13

2.(考点:两向量垂直的性质,★)已知a=(2,-1),b=(1,λ),若(3a-2b)⊥b,则实数λ的值为(    ).

A.或   B.

C.   D.2

3.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量=(3,0),=(0,1),=t,则当||取最小值时,实数t=(    ).

A.   B.  C.  D.1

4.(考点:三角恒等变换,★★)已知cos=,则cos的值为(    ).

A. B. C.- D.-

5.(考点:三角函数的图象与性质,★★)将函数f(x)=sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g(x)的图象,且g(-x)=g(x),则φ的一个可能值为(    ).

A.   B.   C.   D.

6.(考点:平面向量的数量积,★★)已知在△ABC中,AB=3,AC=1,∠BAC=30°,D,E分别为AB,BC的中点,则·=(    ).

A. B. C.2 D.1

7.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f(x)=cos-2sincosx+,x∈R,给出下列四个结论:

①函数f(x)的最小正周期为4π;

②函数f(x)的最大值为1;

③函数f(x)在上单调递增;

④将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g(x)=sin 2x.

其中正确结论的个数是(    ).

A.1 B.2 C.3 D.4

8.(考点:解三角形的实际应用,★★★)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为30°,沿点A向北偏东60°方向前进10 m到达点B,在点B处测得水柱顶端的仰角为45°,则水柱的高度是(    ).

A.5 m B.10 m

C.10 m或5 m D.15 m

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:平面向量,★★)已知a,b是单位向量,且a+2b=(1,-2),则下列结论正确的是(    ).

A.|a+2b|=

B.a与b垂直

C.a与a-2b的夹角为

D.|a-2b|=5

10.(考点:三角函数的基本性质,★★)下列命题正确的是(    ).

A.若α,β是锐角,且α>β,则tan α>tan β

B.函数y=sin(π-2x)是偶函数

C.y=sin|x|是周期为2π的周期函数

D.函数y=cos的图象关于点成中心对称

11.(考点:解三角形,★★)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值可能为(    ).

A. B. C. D.

12.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x,x∈R,则下列结论正确的是(    ).

A.-≤f(x)≤

B.f(x)在区间上只有1个零点

C.2π为f(x)的一个周期

D.直线x=为f(x)图象的一条对称轴

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:三角函数的性质,★★)函数f(x)=cos2x-2sin x的最大值为        . 

14.(考点:平面向量的数量积,★★)若|a|=,|b|=4,且(a-b)⊥a,则a与b的夹角的余弦值是        . 

15.(考点:利用正、余弦定理解三角形,★★)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,若c=,b=,B=150°,则△ABC的面积为        . 

16.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)设函数f(x)=sin 2x+2cos2x,则函数f(x)的最小正周期为        ;若对于任意x∈R,都有f(x)≤m成立,则实数m的取值范围为        . 

答案解析：

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:正弦定理,★)已知在△ABC中,A=30°,a=7,则=(    ).

A.16 B.15 C.14 D.13

【解析】依题意,利用正弦定理可得=2R==14,

所以

==2R=14.

【答案】C

2.(考点:两向量垂直的性质,★)已知a=(2,-1),b=(1,λ),若(3a-2b)⊥b,则实数λ的值为(    ).

A.或   B.

C.   D.2

【解析】由题意可得3a-2b=(4,-3-2λ),

∵(3a-2b)⊥b,

∴(3a-2b)·b=(4,-3-2λ)·(1,λ)=0,

即2λ2+3λ-4=0,

解得λ=或λ=.故选A.

【答案】A

3.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量=(3,0),=(0,1),=t,则当||取最小值时,实数t=(    ).

A. B. C. D.1

【解析】由=t,得=+t(-)=(3,0)+t[(0,1)-(3,0)]=(3-3t,t),

所以||===,故当t=时,||取到最小值.

【答案】C

4.(考点:三角恒等变换,★★)已知cos=,则cos的值为(    ).

A. B. C.- D.-

【解析】由题意得cos=cos=cos=2cos2-1=2cos2-1=-.

【答案】D

5.(考点:三角函数的图象与性质,★★)将函数f(x)=sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g(x)的图象,且g(-x)=g(x),则φ的一个可能值为(    ).

A. B. C. D.

【解析】由题意可得g(x)=sin,

又g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数,

故-2φ-=kπ+,k∈Z,所以φ=--,k∈Z,

所以当k=-1时,φ=.

故选D.

【答案】D

6.(考点:平面向量的数量积,★★)已知在△ABC中,AB=3,AC=1,∠BAC=30°,D,E分别为AB,BC的中点,则·=(    ).

A. B. C.2 D.1

【解析】由题意可得=+,=-,

所以·=·-=||2-||2-·=×9-×1-×3×1×cos 30°=.

【答案】A

7.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f(x)=cos-2sincosx+,x∈R,给出下列四个结论:

①函数f(x)的最小正周期为4π;

②函数f(x)的最大值为1;

③函数f(x)在上单调递增;

④将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g(x)=sin 2x.

其中正确结论的个数是(    ).

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】f(x)=cos-sin=cos 2xcos+sin 2xsin-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin.

f(x)的最小正周期T==π,故①错误;

∵x∈R,∴sin∈[-1,1],即f(x)的最大值为1,故②正确;

当x∈时,2x-∈,此时f(x)不单调,故③错误;

将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g(x)=f=sin2-=sin,故④错误.

故选A.

【答案】A

8.(考点:解三角形的实际应用,★★★)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为30°,沿点A向北偏东60°方向前进10 m到达点B,在点B处测得水柱顶端的仰角为45°,则水柱的高度是(    ).

A.5 m B.10 m

C.10 m或5 m D.15 m

【解析】设水柱底部为点C,顶端为点D,CD的高度为h m.

由题意知AC==h,BC==h,∠BAC=90°-60°=30°.

在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos 30°,

∴h2=(h)2+102-2×10×h×,

即h2-15h+50=0,解得h=10或h=5.

故选C.

【答案】C

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:平面向量,★★)已知a,b是单位向量,且a+2b=(1,-2),则下列结论正确的是(    ).

A.|a+2b|=

B.a与b垂直

C.a与a-2b的夹角为

D.|a-2b|=5

【解析】由a+2b=(1,-2)两边平方,得|a|2+|2b|2+4a·b=12+(-2)2=5,则|a+2b|=,所以A选项正确;

因为a,b是单位向量,所以1+4+4a·b=5,得a·b=0,所以B选项正确;

|a-2b|2=|a|2+|2b|2-4a·b=5,所以|a-2b|=,所以D选项错误;

cos <a,a-2b>===,所以a与a-2b的夹角不为,所以C选项错误.

故选AB.

【答案】AB

10.(考点:三角函数的基本性质,★★)下列命题正确的是(    ).

A.若α,β是锐角,且α>β,则tan α>tan β

B.函数y=sin(π-2x)是偶函数

C.y=sin|x|是周期为2π的周期函数

D.函数y=cos的图象关于点成中心对称

【解析】对于选项A,y=tan x在上为增函数,故选项A正确;

对于选项B,因为y=sin(π-2x)=sin 2x为奇函数,故选项B不正确;

对于选项C,作出函数y=sin |x|的大致图象如图所示,

由图象可知,函数y=sin |x|为偶函数,图象关于y轴对称,不具有周期性,故选项C错误;

对于选项D,当x=时,x+=,所以y=cos=0,所以函数y=cos的图象关于点成中心对称,故选项D正确.

故选AD.

【答案】AD

11.(考点:解三角形,★★)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值可能为(    ).

A. B. C. D.

【解析】根据余弦定理可知a2+c2-b2=2accos B,

代入化简可得2accos B·=ac,

即sin B=,因为0<B<π,

所以B=或B=.

故选AC.

【答案】AC

12.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x,x∈R,则下列结论正确的是(    ).

A.-≤f(x)≤

B.f(x)在区间上只有1个零点

C.2π为f(x)的一个周期

D.直线x=为f(x)图象的一条对称轴

【解析】对于A项,已知f(x)=sin 2x-cos 2x=sin,x∈R,故A正确;

对于B项,令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,故f(x)在区间上没有零点,故B错误;

对于C项,f(x)的最小正周期为π,所以f(x)的周期为kπ,k∈Z,故C正确;

对于D项,当x=时,f=sin=1,所以直线x=不是f(x)图象的对称轴,故D错误.

故选AC.

【答案】AC

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:三角函数的性质,★★)函数f(x)=cos2x-2sin x的最大值为        . 

【解析】由题意得f(x)=1-sin2x-2sin x=-(sin x+1)2+2,

因为sin x∈[-1,1],

所以当sin x=-1时,f(x)取得最大值,最大值为2.

【答案】2

14.(考点:平面向量的数量积,★★)若|a|=,|b|=4,且(a-b)⊥a,则a与b的夹角的余弦值是        . 

【解析】∵(a-b)⊥a,∴(a-b)·a=a2-a·b=3-a·b=0,即a·b=3,

∴cos<a,b>===,

∴a与b的夹角的余弦值是.

【答案】

15.(考点:利用正、余弦定理解三角形,★★)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,若c=,b=,B=150°,则△ABC的面积为        . 

【解析】由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,

即a2+3a-3=0,解得a=或a=(舍去),

则△ABC的面积S=acsin B=×××=.

【答案】

16.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)设函数f(x)=sin 2x+2cos2x,则函数f(x)的最小正周期为        ;若对于任意x∈R,都有f(x)≤m成立,则实数m的取值范围为        . 

【解析】f(x)=sin 2x+2cos2 x=sin 2x+cos 2x+1=sin+1,所以函数f(x)的最小正周期T==π;

函数f(x)的最大值f(x)max=+1,

因为对于任意x∈R,都有f(x)≤m成立,所以m≥f(x)max=+1,所以实数m的取值范围为[+1,+∞).

【答案】π  [+1,+∞)