2021届高考数学二轮复习专题小题专练16

小题专练16

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:集合,★)已知集合A={x∈Z|-1≤x≤1},则集合A的非空真子集的个数为(    ).

A.4      B.5      C.6      D.7

2.(考点:复数,★)复数z=(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在(    ).

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3.(考点:三角函数的性质,★)已知f(x)=sinωx+的最小正周期为π,则f(x)的单调递增区间为(    ).

A.,k∈Z

B.,k∈Z

C.,k∈Z

D.,k∈Z

4.(考点:古典概型,★)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,2件产品均为合格品的概率为(    ).

A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.7

5.(考点:等差数列,★)在等差数列{an}中,a4,a8是方程x2-4x+1=0的两个实根,则a6=(    ).

A.-4   B.4   C.-2   D.2

6.(考点:函数的基本性质,★★)已知函数f(x)=x3,则不等式f(log2m)<27的解集为(    ).

A.(0,8) B.(log23,8)

C. D.(0,log23)

7.(考点:与球有关的计算,★★)已知圆柱的体积为6π,侧面积为4π,则该圆柱外接球的半径为(    ).

A.1 B.2 C.3 D.4

8.(考点:函数图象的判断,★★)已知函数f(x)=x,则函数f(x)的导函数f'(x)的图象大致是(    ).

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:排列组合,★★)某市为了了解各学校的教学工作,决定从3名男调研员和2名女调研员中选派4人到甲、乙、丙三所学校进行视察,则下列说法正确的是(    ).

A.若甲地需要选派2人且有1名为女调研员,乙地和丙地各需要选派1人,则不同的选派方法有36种

B.若甲地需要选派2人且有1名为女调研员,乙地和丙地各需要选派1人,则不同的选派方法有18种

C.若甲地需要选派2名女调研员,乙地和丙地各需要选派1人,则不同的选派方法有12种

D.若甲地需要选派2名女调研员,乙地和丙地各需要选派1人,则不同的选派方法有6种

10.(考点:椭圆,★★)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为6,F,F'分别是椭圆的左、右焦点,A(1,1)是一个定点,P是椭圆E上的动点,则下列说法正确的是(    ).

A.|PF|+|PF'|=6

B.椭圆E的标准方程为+=1

C.|AF'|=2

D.|PA|+|PF|的最大值为6+

11.

(考点:立体几何的综合运用,★★)如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥BC,E是PC的中点,PA=AC,若△ABC是边长为2的等边三角形,PC=2,则下列说法正确的是(    ).

A.PA⊥AC

B.AE=

C.PA⊥AB

D.异面直线AE和PB所成的角的余弦值为

12.(考点:函数与导数的综合运用,★★★)已知函数f(x)=aln x+(a>0),则下列说法正确的是(    ).

A.函数f(x)的单调递增区间为

B.函数f(x)的极小值为a-aln a

C.函数f(x)无极大值

D.函数f(x)在[1,e]上的最小值可能为0

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:三角恒等变换,★)sin 73°cos 28°+cos 73°·cos 118°的值为        . 

14.(考点:线性回归,★★)下表是随机调查的5个家庭年收入与支出情况:

运用最小二乘法得线性回归方程为=0.76x+a,则a=        . 

15.(考点:直线和圆的综合,★★★)在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦的长为        ,最短弦的长为        . 

16.(考点:新定义题型,★★★)设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,∃y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,那么称函数f(x)为“Ω函数”.给出下列四个函数:①f(x)=cos x;②f(x)=;③f(x)=ex;④f(x)=log2x.其中是“Ω函数”的序号为        . 

答案解析：

1.(考点:集合,★)已知集合A={x∈Z|-1≤x≤1},则集合A的非空真子集的个数为(    ).

A.4      B.5      C.6      D.7

【解析】由题意知A={x∈Z|-1≤x≤1}={-1,0,1},则集合A的非空真子集的个数为23-2=6.故选C.

【答案】C

2.(考点:复数,★)复数z=(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在(    ).

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【解析】z===2+2i,故z在复平面内对应的点在第一象限.

【答案】A

3.(考点:三角函数的性质,★)已知f(x)=sinωx+的最小正周期为π,则f(x)的单调递增区间为(    ).

A.,k∈Z

B.,k∈Z

C.,k∈Z

D.,k∈Z

【解析】因为f(x)=sin的最小正周期为π,所以ω=2,令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间是,k∈Z.

【答案】A

4.(考点:古典概型,★)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,2件产品均为合格品的概率为(    ).

A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.7

【解析】从5件产品中任取2件有=10种情况,其中两件产品均为合格品的情况有=3种,所求概率P==0.3.故选B.

【答案】B

5.(考点:等差数列,★)在等差数列{an}中,a4,a8是方程x2-4x+1=0的两个实根,则a6=(    ).

A.-4 B.4 C.-2 D.2

【解析】因为a4,a8是方程x2-4x+1=0的两个实根,所以a4+a8=4.又a4+a8=2a6,所以a6=2.

【答案】D

6.(考点:函数的基本性质,★★)已知函数f(x)=x3,则不等式f(log2m)<27的解集为(    ).

A.(0,8) B.(log23,8)

C. D.(0,log23)

【解析】因为f(x)=x3,所以f(log2m)<27等价于f(log2m)<f(3),因为f(x)在定义域内单调递增,所以log2m<3,解得0<m<8.

【答案】A

7.(考点:与球有关的计算,★★)已知圆柱的体积为6π,侧面积为4π,则该圆柱外接球的半径为(    ).

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】设圆柱的底面半径为r,高为h.因为圆柱的体积为6π,侧面积为4π,所以πr2h=6π,2πrh=4π,解得h=2,r=.

如图,由题意知圆柱的中心O为这个球的球心,

于是,球的半径r=OB===2.

【答案】B

8.(考点:函数图象的判断,★★)已知函数f(x)=x,则函数f(x)的导函数f'(x)的图象大致是(    ).

【解析】因为f(x)=x,所以g(x)=f'(x)=ln x-x2,当x→+∞时,g(x)→-∞,排除A、C.g'(x)=-=(x>0),由g'(x)>0得0<x<,此时函数g(x)为增函数,由g'(x)<0得x>,此时函数g(x)为减函数,即当x=时,函数g(x)取得极大值,同时也是最大值,最大值为g()=ln 2-<0,排除B.故选D.

【答案】D

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:排列组合,★★)某市为了了解各学校的教学工作,决定从3名男调研员和2名女调研员中选派4人到甲、乙、丙三所学校进行视察,则下列说法正确的是(    ).

A.若甲地需要选派2人且有1名为女调研员,乙地和丙地各需要选派1人,则不同的选派方法有36种

B.若甲地需要选派2人且有1名为女调研员,乙地和丙地各需要选派1人,则不同的选派方法有18种

C.若甲地需要选派2名女调研员,乙地和丙地各需要选派1人,则不同的选派方法有12种

D.若甲地需要选派2名女调研员,乙地和丙地各需要选派1人,则不同的选派方法有6种

【解析】若甲地选派2人且有1名为女调研员,先考虑甲地,有种方法,后考虑乙、丙两地,有种方法,共有=36种方法;若甲地选派2名女调研员,则甲地有种方法,乙、丙两地有种方法,共有=6种方法.综上,AD正确.

【答案】AD

10.(考点:椭圆,★★)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为6,F,F'分别是椭圆的左、右焦点,A(1,1)是一个定点,P是椭圆E上的动点,则下列说法正确的是(    ).

A.|PF|+|PF'|=6

B.椭圆E的标准方程为+=1

C.|AF'|=2

D.|PA|+|PF|的最大值为6+

【解析】由题意知2a=6,e==,所以c=2,b=,F(-2,0).

则|PF|+|PF'|=6,所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF'|+6.当P,A,F'三点共线且F'在P,A两点之间时,|PA|-|PF'|取得最大值,最大值为|AF'|=,所以|PA|+|PF|的最大值为6+.综上,ABD正确.

【答案】ABD

11.

(考点:立体几何的综合运用,★★)如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥BC,E是PC的中点,PA=AC,若△ABC是边长为2的等边三角形,PC=2,则下列说法正确的是(    ).

A.PA⊥AC

B.AE=

C.PA⊥AB

D.异面直线AE和PB所成的角的余弦值为

【解析】

取BC的中点F,连接EF,AF,则EF∥PB,∠AEF(或其补角)就是异面直线AE和PB所成的角,因为△ABC是边长为2的等边三角形,PA=AC,PC=2,所以PA2+AC2=PC2,所以PA⊥AC,又PA⊥BC,AC∩BC=C,所以PA⊥平面ABC,又AB⊂平面ABC,所以PA⊥AB,又PA=AB=AC=2,所以AF=,AE=,EF=.

cos∠AEF===,

即异面直线AE和PB所成的角的余弦值为.综上,AC正确.

【答案】AC

12.(考点:函数与导数的综合运用,★★★)已知函数f(x)=aln x+(a>0),则下列说法正确的是(    ).

A.函数f(x)的单调递增区间为

B.函数f(x)的极小值为a-aln a

C.函数f(x)无极大值

D.函数f(x)在[1,e]上的最小值可能为0

【解析】由题意知函数f(x)的定义域为{x|x>0},f'(x)=-=(a>0).由f'(x)>0,解得x>,所以函数f(x)的单调递增区间为;由f'(x)<0,解得0<x<,所以函数f(x)的单调递减区间为.所以当x=时,函数f(x)取得极小值,极小值为f=aln +a=a-aln a,无极大值.

①当0<≤1,即a≥1时,函数f(x)在[1,e]上为增函数,故函数f(x)的最小值为f(1)=aln 1+1=1,显然1≠0,故不满足条件.

②当1<≤e,即≤a<1时,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,故函数f(x)的最小值为f=aln +a=a-aln a=0,即ln a=1,解得a=e,而≤a<1,故不满足条件.

③当>e,即0<a<时,函数f(x)在[1,e]上单调递减,故函数f(x)的最小值为f(e)=aln e+=a+=0,即a=-,而0<a<,故不满足条件.

综上所述,可知函数f(x)在[1,e]上的最小值不可能为0.

【答案】BC

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:三角恒等变换,★)sin 73°cos 28°+cos 73°·cos 118°的值为        . 

【解析】sin 73°cos 28°+cos 73°cos 118°=sin 73°·cos 28°+cos 73°(-sin 28°)=sin 45°=.

【答案】

14.(考点:线性回归,★★)下表是随机调查的5个家庭年收入与支出情况:

运用最小二乘法得线性回归方程为=0.76x+a,则a=        . 

    【解析】因为=10.0,=8.0,又回归直线必经过样本点的中心,所以8=0.76×10+a,解得a=0.4.

【答案】0.4

15.(考点:直线和圆的综合,★★★)在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦的长为        ,最短弦的长为        . 

【解析】

把圆的方程化为标准方程得(x-1)2+(y-3)2=10,则圆心M的坐标为(1,3),圆的半径为,根据题意画出图象,如图所示.

由图象可知,过点E的最长弦为直径AC,最短弦为过点E与直径AC垂直的弦BD,则AC=2,MB=,ME==,所以BD=2BE=2=2.

【答案】2  2

16.(考点:新定义题型,★★★)设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,∃y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,那么称函数f(x)为“Ω函数”.给出下列四个函数:①f(x)=cos x;②f(x)=;③f(x)=ex;④f(x)=log2x.其中是“Ω函数”的序号为        . 

【解析】①令y=π-x,则cos x+cos y=0,所以f(x)=cos x是“Ω函数”.

②因为f(x)=是奇函数,所以f(x)=-f(-x),即当y=-x时,f(x)=-f(y)成立,故f(x)=是“Ω函数”.

③因为f(x)=ex>0,所以f(x)+f(y)=0不成立,所以f(x)=ex不是“Ω函数”.

④对于f(x)=log2x,若f(x)+f(y)=0成立,则log2x+log2y=0,解得y=,即当y=时,f(x)+f(y)=0成立,故f(x)=log2x是“Ω函数”.

综上可知,①②④是“Ω函数”.

【答案】①②④