2021届高考数学二轮复习专题小题专练21

小题专练21

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:集合,★)设集合A={x|y=},B={|x|≤2},则A∩B=(    ).

A.{-2,-1,0} B.{-2,-1}

C.{1,2} D.{0,1,2}

2.(考点:等比数列,★)在等比数列{an}中,已知a3a4=a2,且a4与a6的等差中项为,则公比q=(    ).

A. B.或2 C.2 D.或2

3.(考点:命题的真假,★)下列命题中为假命题的是(    ).

A.∀x∈R,2x-1>1

B.∀x∈N*,(x-1)2≥0

C.∃x0∈R,lg x0<1

 D.∃x0∈R,tan x0=2

4.(考点:样本分布与数字特征,★★)在军训射击比赛中,小明、小强两名同学在相同的条件下各射击6次,两名同学射击命中的环数如折线图所示(虚线表示小明同学,实线表示小强同学),以下说法错误的是(    ).

A.小明和小强两人射击命中环数的平均数相等

B.小明的命中环数的中位数比小强的大

C.小明的命中环数的众数比小强的大

D.小明的命中环数的成绩比小强的更稳定

5.(考点:传统文化,★★)已知有两个惰性气体原子,原子核正电荷的电荷量为q,这两个相距为R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U.其计算式为U=kcq2,其中kc为静电常量,x1,x2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知R+x1-x2=R,R+x1=R,R-x2=R,且(1+x)-1≈1-x+x2,则U的近似值为(    ).

A. B.-

C. D.-

6.(考点:双曲线,★★)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且点P(b,0)满足|PF1|=9|PF2|,则双曲线的离心率为(    ).

A. B. C. D.2

7.(考点:函数图象的判断,★★)函数f(x)=3e-x·sin 2x的图象大致是(    ).

8.(考点:函数的奇偶性与周期性,★★)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-(f(x)≠0),且在区间(119,120)上单调递减,已知α,β是锐角三角形的两个内角,则f(sin β),f(cos α)的大小关系是(    ).

A.f(sin β)<f(cos α) B.f(sin β)>f(cos α)

C.f(sin β)=f(cos α) D.以上情况均有可能

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:点、线、面的位置关系,★★)已知α,β是两个不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,则下列命题正确的是(    ).

A.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β

B.若m⊥α,n∥α,则m⊥n

C.若α∥β,m⊂α,则m∥β

D.若m∥α,α∩β=n,则m∥n

10.(考点:导数与函数的综合应用,★★)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,下列说法正确的是(    ).

A.-3是函数y=f(x)的极值点

B.-1是函数y=f(x)的最小值点

C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增

D.曲线y=f(x)在x=0处切线的斜率小于0

11.(考点:函数的零点与方程的根,★★★)已知关于x的函数f(x)=(x2-2x)2-4x+2x2+k,则下列命题正确的是(    ).

A.存在实数k,使得f(x)无零点

B.存在实数k,使得f(x)恰有2个不同的零点

C.存在实数k,使得f(x)恰有3个不同的零点

D.存在实数k,使得f(x)恰有4个不同的零点

12.(考点:新定义题型,★★★)定义=ad-bc,已知α,λ是常数,f(x)=,则下列说法正确的是(    ).

A.当λ=1,α=时,y=f(|x|)的最小正周期是

B.当λ=1,α=时, 函数f(x)在上单调递增

C.不存在λ,使得f(x)的值与x的取值无关

D.存在λ,使得f(x)的值与x的取值无关

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:函数的基本性质,★)设f(x)是定义在R上的函数,若g(x)=f(x)+x是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=        . 

14.(考点:平面向量,★★)已知向量a,b的夹角为45°,若a=(1,1),|b|=2,则|2a-b|=        . 

15.(考点:抛物线,★★)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,斜率为2的直线l与C的交点为A,B,若|AF|+|BF|=7,则直线l的方程为        . 

16.(考点:立体几何的综合运用,★★★)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=1,点P是棱AB上任一点.若平面B1DP和平面AA1D1D所成二面角的平面角为θ,则tan θ的最小值为        . 

答案解析：

1.(考点:集合,★)设集合A={x|y=},B={|x|≤2},则A∩B=(    ).

A.{-2,-1,0} B.{-2,-1}

C.{1,2} D.{0,1,2}

【解析】因为A={x|x≥0},B={-2,-1,0,1,2},所以A∩B={0,1,2}.故选D.

【答案】D

2.(考点:等比数列,★)在等比数列{an}中,已知a3a4=a2,且a4与a6的等差中项为,则公比q=(    ).

A. B.或2 C.2 D.或2

【解析】因为a4与a6的等差中项为,所以a4+a6=,联立即消去a1,得2q2-5q+2=0,解得q=或q=2.

【答案】B

3.(考点:命题的真假,★)下列命题中为假命题的是(    ).

A.∀x∈R,2x-1>1

B.∀x∈N*,(x-1)2≥0

C.∃x0∈R,lg x0<1

 D.∃x0∈R,tan x0=2

 【解析】A错误,如x=0,20-1=<1;B正确,∀x∈N*,(x-1)2≥0是正确的;C正确,∃x0∈R,lg x0<1,如x0=1,lg x0=0<1;D正确,由正切函数y=tan x∈R,∃x0∈R,tan x0=2.故选A.

【答案】A

4.(考点:样本分布与数字特征,★★)在军训射击比赛中,小明、小强两名同学在相同的条件下各射击6次,两名同学射击命中的环数如折线图所示(虚线表示小明同学,实线表示小强同学),以下说法错误的是(    ).

A.小明和小强两人射击命中环数的平均数相等

B.小明的命中环数的中位数比小强的大

C.小明的命中环数的众数比小强的大

D.小明的命中环数的成绩比小强的更稳定

【解析】小明射击命中的环数分别为8,6,8,6,9,8,射击命中的环数的平均数为7.5,中位数为8,众数为8;小强射击命中的环数分别为4,6,8,7,10,10,射击命中的环数的平均数为7.5,中位数为7.5,众数为10.故选C.

【答案】C

5.(考点:传统文化,★★)已知有两个惰性气体原子,原子核正电荷的电荷量为q,这两个相距为R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U.其计算式为U=kcq2,其中kc为静电常量,x1,x2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知R+x1-x2=R,R+x1=R,R-x2=R,且(1+x)-1≈1-x+x2,则U的近似值为(    ).

A. B.-

C. D.-

【解析】U=kcq2

=kcq2

≈1+1-+-1+--1--=-.

    【答案】D

6.(考点:双曲线,★★)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且点P(b,0)满足|PF1|=9|PF2|,则双曲线的离心率为(    ).

A. B. C. D.2

【解析】∵双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,∴F1(-c,0),F2(c,0).

又P(b,0),∴|PF1|=b+c,|PF2|=c-b.

∵==9,∴c=b,

又a2=c2-b2=-b2=b2,

∴a=b,即e==.

【答案】B

7.(考点:函数图象的判断,★★)函数f(x)=3e-x·sin 2x的图象大致是(    ).

【解析】因为f(x)=,且ex>0恒成立,所以f(-0.01)<0,f(0.01)>0,排除选项A,B;当x→+∞时,函数f(x)→0.故选C.

【答案】C

8.(考点:函数的奇偶性与周期性,★★)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-(f(x)≠0),且在区间(119,120)上单调递减,已知α,β是锐角三角形的两个内角,则f(sin β),f(cos α)的大小关系是(    ).

A.f(sin β)<f(cos α) B.f(sin β)>f(cos α)

C.f(sin β)=f(cos α) D.以上情况均有可能

【解析】由f(x+1)=-可得f(x+2)=-=f(x),即函数f(x)的周期T=2,因为f(x)在区间(119,120)上单调递减,所以f(x)在区间(-1,0)上单调递减,根据偶函数的对称性可知,f(x)在(0,1)上单调递增,

因为α,β是锐角三角形的两个内角,

所以α,β∈且α+β>,即α>-β,

所以cos α<cos,即0<cos α<sin β<1,故f(cos α)<f(sin β).

【答案】B

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:点、线、面的位置关系,★★)已知α,β是两个不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,则下列命题正确的是(    ).

A.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β

B.若m⊥α,n∥α,则m⊥n

C.若α∥β,m⊂α,则m∥β

D.若m∥α,α∩β=n,则m∥n

【解析】A错误,若m⊥n,m⊥α,则n⊂α或n∥α,又n∥β,并不能得到α⊥β这一结论;B正确,若m⊥α,n∥α,则由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理可得m⊥n;C正确,若α∥β,m⊂α,则由面面平行的性质定理可知m∥β;D错误,n可能为平面α内的任意一条直线,由m∥α不能得出m∥n.故选BC.

【答案】BC

10.(考点:导数与函数的综合应用,★★)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,下列说法正确的是(    ).

A.-3是函数y=f(x)的极值点

B.-1是函数y=f(x)的最小值点

C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增

D.曲线y=f(x)在x=0处切线的斜率小于0

【解析】根据导函数图象可知,当x∈(-∞,-3)时,f'(x)<0;当x∈(-3,1)时,f'(x)≥0.

∴函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,且-3是函数y=f(x)的极小值点,故AC正确;

∵y=f(x)在(-3,1)上单调递增,∴-1不是函数y=f(x)的最小值点,故B不正确;

∵函数y=f(x)在x=0处的导数大于0,∴切线的斜率大于0,故D不正确.故选AC.

【答案】AC

11.(考点:函数的零点与方程的根,★★★)已知关于x的函数f(x)=(x2-2x)2-4x+2x2+k,则下列命题正确的是(    ).

A.存在实数k,使得f(x)无零点

B.存在实数k,使得f(x)恰有2个不同的零点

C.存在实数k,使得f(x)恰有3个不同的零点

D.存在实数k,使得f(x)恰有4个不同的零点

【解析】设t=x2-2x,函数化为关于t的二次函数g(t)=t2+2t+k.

当k>1时,函数g(t)无零点,故原函数无零点.

当k=1时,可得t=-1,则x2-2x=-1,原函数有两个相等的零点.

当k<1时,函数g(t)有两个零点t1,t2(t1<t2),由t1+t2=-2可知,t1<-1,t2>-1.因为t=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以方程x2-2x=t1无实根,方程x2-2x=t2有两个不同的实根.故原函数有两个不同的零点.

综上可知,AB正确.

【答案】AB

12.(考点:新定义题型,★★★)定义=ad-bc,已知α,λ是常数,f(x)=,则下列说法正确的是(    ).

A.当λ=1,α=时,y=f(|x|)的最小正周期是

B.当λ=1,α=时, 函数f(x)在上单调递增

C.不存在λ,使得f(x)的值与x的取值无关

D.存在λ,使得f(x)的值与x的取值无关

【解析】由定义可知f(x)=

=λcos2x-(sin2xcos2α-cos2xsin2α)

=(λ+sin2α)cos2x-cos2αsin2x

=(λ+1)cos2x-cos2α,

当λ=1,α=时,f(x)=cos 2x+,

所以f(|x|)=f(x)的最小正周期T=π,故A错误;

由-π+2kπ≤2x≤2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤kπ(k∈Z),令k=1,得≤x≤π,所以f(x)在上单调递增,故B正确;

因为f(x)=(λ+1)cos2x-cos2α,

所以当λ+1=0,即λ=-1时,f(x)的值与x的取值无关,故D正确,C错误.

【答案】BD

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:函数的基本性质,★)设f(x)是定义在R上的函数,若g(x)=f(x)+x是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=        . 

【解析】∵g(x)为偶函数,∴g(x)=g(-x),即f(x)+x=f(-x)-x,∴f(2)+2=f(-2)-2,

又g(-2)=f(-2)-2=-4,∴f(2)=-6.

【答案】-6

14.(考点:平面向量,★★)已知向量a,b的夹角为45°,若a=(1,1),|b|=2,则|2a-b|=        . 

【解析】因为a=(1,1),所以|a|==,

    又向量a,b的夹角为45°,

所以a·b=|a||b|cos 45°=×2×=2,

所以|2a-b|====2.

【答案】2

15.(考点:抛物线,★★)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,斜率为2的直线l与C的交点为A,B,若|AF|+|BF|=7,则直线l的方程为        . 

【解析】设直线l:y=2x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).

由题设得F(1,0),故+=x1+x2+2,

由题设可得x1+x2=5.

由可得4x2+4(t-1)x+t2=0,

则x1+x2=1-t,从而1-t=5,得t=-4,

所以直线l的方程为y=2x-4.

【答案】2x-y-4=0

16.

(考点:立体几何的综合运用,★★★)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=1,点P是棱AB上任一点.若平面B1DP和平面AA1D1D所成二面角的平面角为θ,则tan θ的最小值为        . 

【解析】延长B1P与直线A1A交于点Q,则Q为平面B1DP与平面AA1D1D的公共点,DQ为所成二面角的棱.由PA⊥平面AA1D1D,在平面AA1D1D内作AH⊥QD于点H,连接PH(图略),则∠PHA为所成二面角的平面角θ,设PA=x(0≤x≤1),则AQ=,DQ=,AH=,

则tan θ=tan∠PHA===≥,当且仅当x=,即P为AB的中点时取等号.

【答案】