2021届高考数学二轮复习专题小题专练09解析几何(A)

小题专练09

解析几何(A)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:直线的斜率与倾斜角的关系,★)下列命题中,正确的是(    ).

A.若直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大

B.若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α

C.若直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是α

D.当直线的倾斜角α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增

2.(考点:求直线的方程,★)已知直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l的方程是(    ).

A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0

C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0

3.(考点:椭圆的标准方程,★)“-1<m<3”是“方程+=1表示椭圆”的(    ).

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.(考点:求双曲线的渐近线方程,★)若双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则该双曲线的渐近线方程为(    ).

A.y=±x B.y=±x

C.y=±x D.y=±x

5.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则该双曲线的方程为(    ).

A.-=1 B.-=1

C.-=1 D.-=1

6.(考点:求双曲线的离心率,★★)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),以点P(b,0)为圆心,a为半径作圆P,圆P与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若∠MPN=90°,则双曲线C的离心率为(    ).

A. B. C. D.

7.(考点:抛物线定义的应用,★★)已知F是抛物线x2=6y的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=9,则线段AB的中点到x轴的距离为(    ).

A.3 B. C.4 D.

8.(考点:点差法的应用,★★★)已知椭圆+=1的一条弦被点A(4,2)平分,则此弦所在的直线方程是(    ).

A.x-2y=0 B.x+2y=4

C.2x+3y=14 D.x+2y=8

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:直线方程的应用,★★)下列说法正确的是(    ).

A.当x1≠x2,y1≠y2时,过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为=

B.点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)

C.直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2

D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0

10.(考点:圆的对称性的应用,★★)已知圆O的方程为x2+y2-4x-1=0,则圆O(    ).

A.关于点(2,0)对称

B.关于直线y=0对称

C.关于直线x+3y-2=0对称

D.关于直线x-y+2=0对称

11.(考点:双曲线的简单几何性质的应用,★★)已知双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上的一点,则下列结论正确的是(    ).

A.|PF1|-|PF2|=4

B.双曲线E的离心率是

C.|PF1|的最小值是6

D.点P到两渐近线的距离的乘积是3

12.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F且斜率为的直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AF|=8,则下列结论正确的是(    ).

A.p=4 B.=

C.|BD|=2|BF| D.|BF|=4

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:抛物线的应用,★)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为        . 

14.(考点:直线与圆的位置关系,★★)已知a,b为正实数,直线x+y+1=0截圆(x-a)2+(y-b)2=4所得的弦长为2,则ab的最大值为        . 

15.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线C:-=1(b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P在双曲线C上,且直线PA与直线PB的斜率之积为1,则该双曲线C的焦距为        . 

16.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l:y=4x+b截抛物线C所得的弦长为17,设点A为抛物线C上的动点,点B(2,6),过点A作抛物线C的准线l1的垂线,垂足为D,则p的值为        ,|AB|+|AD|的最小值为        . 

答案解析：

1.(考点:直线的斜率与倾斜角的关系,★)下列命题中,正确的是(    ).

A.若直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大

B.若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α

C.若直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是α

D.当直线的倾斜角α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增

【解析】当直线的倾斜角α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增,故A错误,D正确;当α=时,斜率不存在,故B错误;只有当α∈∪时,直线的倾斜角才是α,故C错误.故选D.

【答案】D

2.(考点:求直线的方程,★)已知直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l的方程是(    ).

A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0

C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0

【解析】因为直线2x-3y+4=0的斜率为,所以直线l的斜率为-,

所以直线l的方程为y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0.

【答案】A

3.(考点:椭圆的标准方程,★)“-1<m<3”是“方程+=1表示椭圆”的(    ).

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】因为方程+=1表示椭圆,所以解得-1<m<3或3<m<7.故“-1<m<3”是“方程+=1表示椭圆”的充分不必要条件.

【答案】A

4.(考点:求双曲线的渐近线方程,★)若双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则该双曲线的渐近线方程为(    ).

A.y=±x B.y=±x

C.y=±x D.y=±x

【解析】因为双曲线的离心率为,即e==,

所以c=a,

又c2=a2+b2,所以b=a,所以=,

所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.

【答案】C

5.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则该双曲线的方程为(    ).

A.-=1 B.-=1

C.-=1 D.-=1

【解析】由题意可得=.  ①

因为抛物线y2=4x的准线是x=-,所以c=,即a2+b2=c2=7.  ②

联立①②,解得

所以双曲线的方程为-=1.

【答案】D

6.(考点:求双曲线的离心率,★★)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),以点P(b,0)为圆心,a为半径作圆P,圆P与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若∠MPN=90°,则双曲线C的离心率为(    ).

A. B. C. D.

【解析】设双曲线C的一条渐近线为bx-ay=0,且与圆P交于M,N两点,

因为∠MPN=90°,所以圆心P到直线bx-ay=0的距离为==a,即2c2-2a2=ac,因为e=>1,解得e=.

【答案】A

7.(考点:抛物线定义的应用,★★)已知F是抛物线x2=6y的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=9,则线段AB的中点到x轴的距离为(    ).

A.3 B. C.4 D.

【解析】由题意可得F,抛物线的准线方程为y=-.

设A,B,根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|=y1+y2+3=9,解得y1+y2=6,

∴线段AB中点的纵坐标为3,

即线段AB的中点到x轴的距离为3.

【答案】A

8.(考点:点差法的应用,★★★)已知椭圆+=1的一条弦被点A(4,2)平分,则此弦所在的直线方程是(    ).

A.x-2y=0 B.x+2y=4

C.2x+3y=14 D.x+2y=8

【解析】设过点A的直线与椭圆相交于E(x1,y1),F(x2,y2)两点,

则有+=1,+=1,

两式相减得+=0.

又∵A为弦EF的中点,且A(4,2),∴x1+x2=8,y1+y2=4,

∴(x1-x2)+(y1-y2)=0,

∴kEF==-,

∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y-2=-(x-4),即x+2y-8=0.

【答案】D

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:直线方程的应用,★★)下列说法正确的是(    ).

A.当x1≠x2,y1≠y2时,过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为=

B.点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)

C.直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2

D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0

【解析】对于A,当x1≠x2,y1≠y2时,过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为=,故A正确;

对于B项,点(0,2)与(1,1)的中点坐标为,满足直线方程y=x+1,并且两点连线的斜率为-1,所以点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1),所以B正确;

对于C项,直线x-y-2=0在两坐标轴上的截距分别为2,-2,故直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是×2×2=2,所以C正确;

对于D项,经过点(1,1),且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0或y=x,所以D不正确.

【答案】ABC

10.(考点:圆的对称性的应用,★★)已知圆O的方程为x2+y2-4x-1=0,则圆O(    ).

A.关于点(2,0)对称

B.关于直线y=0对称

C.关于直线x+3y-2=0对称

D.关于直线x-y+2=0对称

【解析】x2+y2-4x-1=0⇒(x-2)2+y2=5,所以圆心O的坐标为(2,0).

对于A项,圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是圆心,所以A选项正确;

对于B项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,所以B选项正确;

对于C项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线x+3y-2=0过圆心,所以C选项正确;

对于D项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线x-y+2=0不过圆心,所以D选项不正确.

【答案】ABC

11.(考点:双曲线的简单几何性质的应用,★★)已知双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上的一点,则下列结论正确的是(    ).

A.|PF1|-|PF2|=4

B.双曲线E的离心率是

C.|PF1|的最小值是6

D.点P到两渐近线的距离的乘积是3

【解析】由双曲线E:-=1,得a2=4,b2=12,c2=a2+b2=16,解得a=2,b=2,c=4,

由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=4,所以A正确;

离心率e===2,所以B错误;

当点P在右顶点时,|PF1|取得最小值,即|PF1|min=a+c=6,所以C正确;

因为双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,

设点P(x0,y0),则-=1,即3-=12,

则点P到直线y=x和y=-x的距离的乘积为×===3,所以D正确.

【答案】ACD

12.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F且斜率为的直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AF|=8,则下列结论正确的是(    ).

A.p=4 B.=

C.|BD|=2|BF| D.|BF|=4

【解析】如图所示,

分别过点A,B作抛物线C的准线m的垂线,垂足分别为点E,M.

抛物线C的准线m交x轴于点P,则|PF|=p,由于直线l的斜率为,其倾斜角为60°,又∵AE∥x轴,∴∠EAF=60°,由抛物线的定义可知,|AE|=|AF|,则△AEF为等边三角形,

∴∠EFP=∠AEF=60°,则∠PEF=30°,

∴|AF|=|EF|=2|PF|=2p=8,解得p=4,故A选项正确;

∵|AE|=|EF|=2|PF|,又PF∥AE,∴F为AD的中点,则=,故B选项正确;

∵∠DAE=60°,∴∠ADE=30°,∴|BD|=2|BM|=2|BF|,故C选项正确;

∵|BD|=2|BF|,∴|BF|=|DF|=|AF|=,故D选项错误.

【答案】ABC

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:抛物线的应用,★)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为        . 

【解析】抛物线的准线方程为x=-,准线与圆相切,则3+=4,解得p=2.

【答案】2

14.(考点:直线与圆的位置关系,★★)已知a,b为正实数,直线x+y+1=0截圆(x-a)2+(y-b)2=4所得的弦长为2,则ab的最大值为        . 

【解析】由题意可得圆心(a,b)到直线x+y+1=0的距离d==,故=.

又a,b为正实数,故a+b=1,所以ab≤=,当且仅当a=b=时取等号.

【答案】

15.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线C:-=1(b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P在双曲线C上,且直线PA与直线PB的斜率之积为1,则该双曲线C的焦距为        . 

【解析】由双曲线方程可知A(-2,0),B(2,0),

设P(x0,y0),则kPA·kPB=·==1,即-=4.

又-=1,∴b2=4,∴c2=a2+b2=8,∴双曲线C的焦距2c=4.

【答案】4

16.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l:y=4x+b截抛物线C所得的弦长为17,设点A为抛物线C上的动点,点B(2,6),过点A作抛物线C的准线l1的垂线,垂足为D,则p的值为        ,|AB|+|AD|的最小值为        . 

【解析】抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为,直线l过焦点,故b=-2p,即直线l:y=4x-2p.

设直线l与抛物线C交点的横坐标分别为x1,x2,联立得8x2-9px+2p2=0,所以x1+x2=p,

故x1+x2+p=p=17,解得p=8,所以y2=16x.

易知点B(2,6)在抛物线外,所以|AB|+|AD|=|AB|+|AF|≥|BF|=2,当B,A,F三点共线时等号成立.

【答案】8  2