2021届高考数学二轮复习专题小题专练13数列

小题专练13

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:集合,★)设集合A={1,2,3,6},B={x|x2-3x≥0},则A∩B=(    ).

A.{1,2,3,6} B.{1,2,6}  C.{3,6} D.{6}

2.(考点:复数,★)已知i是虚数单位,若复数z满足z(1-i)=(1+i)2,则|z|=(    ).

A.1 B. C.2 D.

3.(考点:等差数列,★)在等差数列{an}中,a4=2,a8=6,则a20=(    ).

A.17 B.18 C.19 D.20

4.(考点:平面向量,★★)在△ABC中,=,=3,若=m+n,则m+n=(    ).

A. B. C. D.

5.(考点:双曲线,★★)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,则此双曲线的离心率为(    ).

A. B. C. D.

6.(考点:三角恒等变换,★★)已知tan α=0<α<,则cos=(    ).

A.- B.  C.- D.

7.(考点:函数图象的判断,★★)函数f(x)=的大致图象为(    ).

8.(考点:三角函数的图象,★★★)定义一种运算:(a1,a2)?(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数f(x)=(,sin x)?(-1,cos x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是(    ).

A. B. C. D.

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:分层抽样,★★)某中学有高中学生3000人,现采用分层抽样的方法从该校抽取部分学生参加志愿服务,已知该校高二年级1300人中抽取了130人,高一年级抽取的人数比高三年级多10人,则下列说法正确的有(    ).

A.每个人被抽到的概率不一定相等

B.抽取的总人数为300

C.高一年级共抽取了70人参加志愿服务

D.该中学高三年级的人数为800

10.(考点:等比数列,★★★)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1+a2=4,Sn=,则下列结论正确的是(    ).

A.a1=1

B.数列{an}是等比数列

C.an=3n-2

D.S6=364

11.

(考点:抛物线,★★★)如图,已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,AB是经过点F的弦,过点A,B分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为A1,B1,则下列结论中一定成立的是(    ).

A.|AB|=p

B.若AB的倾斜角为,则|AF|·|BF|=2p2

C.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切

D.+=

12.(考点:函数与导数的综合运用,★★★)已知函数f(x)=ex(x3+mx2-2x+2),则下列结论正确的是(    ).

A.f(x)的定义域为R

B.当m=-2时,f(x)在(-∞,-3)上单调递减

C.当m=-2时,f(x)的极小值为-37e-3

D.若f(x)在[-2,-1]上单调递增,则实数m的取值范围为(-∞,6]

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:二项式定理,★)的展开式中的常数项为        . 

14.(考点:古典概型,★★)五一期间,甲、乙两人决定随机从A,B,C三个景区中选择一个景区进行游玩,甲、乙两人互不影响,则甲、乙两人同去一个景区的概率为        . 

15.

(考点:立体几何的综合,★★★)在如图所示的正方体中,若三棱锥P-ABC外接球的半径为,则球心到平面ABC的距离为        . 

16.(考点:解三角形,★★★)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D是AC上靠近点A的三等分点,·=0,∠ABD=,若BD=,则=        ,△ABC的面积为        . 

答案解析：

1.(考点:集合,★)设集合A={1,2,3,6},B={x|x2-3x≥0},则A∩B=(    ).

A.{1,2,3,6} B.{1,2,6}

C.{3,6} D.{6}

【解析】因为A={1,2,3,6},B={x|x2-3x≥0}={x|x≤0或x≥3},所以A∩B={3,6}.故选C.

【答案】C

2.(考点:复数,★)已知i是虚数单位,若复数z满足z(1-i)=(1+i)2,则|z|=(    ).

A.1 B. C.2 D.

【解析】因为z(1-i)=(1+i)2=2i,所以z=,故|z|===.

【答案】B

3.(考点:等差数列,★)在等差数列{an}中,a4=2,a8=6,则a20=(    ).

A.17 B.18 C.19 D.20

【解析】设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,因为a4=2,a8=6,所以a1+3d=2,a1+7d=6,解得a1=-1,d=1,所以a20=a1+19d=18,故选B.

【答案】B

4.(考点:平面向量,★★)在△ABC中,=,=3,若=m+n,则m+n=(    ).

A. B. C. D.

【解析】

如图,因为=,=3,所以=,所以=+=+=+(-)=+.故m+n=+=.

【答案】B

5.(考点:双曲线,★★)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,则此双曲线的离心率为(    ).

A. B. C. D.

【解析】因为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,所以=.又a2+b2=c2,所以c2=a2+a2=a2,所以e==.故选A.

【答案】A

6.(考点:三角恒等变换,★★)已知tan α=0<α<,则cos=(    ).

A.- B.

C.- D.

【解析】因为tan α=,所以cos α=,sin α=,cos=coscos α+sinsin α=-×-×=-.

【答案】C

7.(考点:函数图象的判断,★★)函数f(x)=的大致图象为(    ).

    【解析】因为f(x)=,x≠0,所以f(-x)==-f(x),故函数f(x)为奇函数,排除A,C选项.当x=1时,f(x)=e+>0,排除B选项.故选D.

【答案】D

8.(考点:三角函数的图象,★★★)定义一种运算:(a1,a2)?(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数f(x)=(,sin x)?(-1,cos x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是(    ).

A. B. C. D.

【解析】函数f(x)=cos x+sin x=2sin的图象向左平移m个单位长度后,得到函数y=2sin的图象,因为函数y=2sin的图象关于y轴对称,所以函数y=2sin为偶函数,则有+m=kπ+(k∈Z),解得m=kπ+(k∈Z).当k=0时,m取得最小值,最小值为.

【答案】B

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:分层抽样,★★)某中学有高中学生3000人,现采用分层抽样的方法从该校抽取部分学生参加志愿服务,已知该校高二年级1300人中抽取了130人,高一年级抽取的人数比高三年级多10人,则下列说法正确的有(    ).

A.每个人被抽到的概率不一定相等

B.抽取的总人数为300

C.高一年级共抽取了70人参加志愿服务

D.该中学高三年级的人数为800

【解析】分层抽样中每个人被抽到的概率是相等的,故A错误;设抽取的总人数为x,则×1300=130,解得x=300,故B正确;高一年级和高三年级共抽取了300-130=170人,设高三年级抽取的人数为y,则y+y+10=170,解得y=80,所以高一年级共抽取了90人参加志愿服务,故C错误;高三年级的人数为×80=800.故D正确.综上,BD正确.

【答案】BD

10.(考点:等比数列,★★★)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1+a2=4,Sn=,则下列结论正确的是(    ).

A.a1=1

B.数列{an}是等比数列

C.an=3n-2

D.S6=364

【解析】由题意,a1+a2=4,a2=2a1+1⇒a1=1,a2=3,再由Sn=,Sn-1=(n≥2)⇒an+1-an=2an⇒an+1=3an(n≥2),又a2=3a1,所以an+1=3an(n≥1),所以数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=1×3n-1=3n-1,S6==364,故选ABD.

【答案】ABD

11.

(考点:抛物线,★★★)如图,已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,AB是经过点F的弦,过点A,B分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为A1,B1,则下列结论中一定成立的是(    ).

A.|AB|=p

B.若AB的倾斜角为,则|AF|·|BF|=2p2

C.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切

D.+=

【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=x1+x2+p,故A错误;若AB的倾斜角为,则|AF|=,|BF|=,|AF|·|BF|==2p2,故B正确;设AB的中点为M,M到准线的距离为d,则d===,所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切,故C正确;当直线AB的斜率不存在时,+=+=+=+=,当直线AB的斜率存在时,设其斜率为k,联立抛物线的方程与直线AB的方程,整理得k2x2-(k2p+2p)x+=0,则x1+x2=+p,x1x2=,所以+=+=+===,故D正确.

【答案】BCD

12.(考点:函数与导数的综合运用,★★★)已知函数f(x)=ex(x3+mx2-2x+2),则下列结论正确的是(    ).

A.f(x)的定义域为R

B.当m=-2时,f(x)在(-∞,-3)上单调递减

C.当m=-2时,f(x)的极小值为-37e-3

D.若f(x)在[-2,-1]上单调递增,则实数m的取值范围为(-∞,6]

【解析】显然f(x)的定义域为R,故A正确.

当m=-2时,f(x)=ex(x3-2x2-2x+2),则f'(x)=ex(x3-2x2-2x+2)+ex(3x2-4x-2)

=xex(x2+x-6)=x(x+3)(x-2)ex,

所以当x∈(-∞,-3)或x∈(0,2)时,f'(x)<0,

当x∈(-3,0)或x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,

所以f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故B正确.当x=-3或x=2时,f(x)取得极小值,极小值分别为-37e-3和-2e2,故C错误.

f'(x)=ex(x3+mx2-2x+2)+ex(3x2+2mx-2)

=xex[x2+(m+3)x+2m-2],

因为f(x)在[-2,-1]上单调递增,所以当x∈[-2,-1]时,f'(x)≥0,又因为当x∈[-2,-1]时,xex<0,所以当x∈[-2,-1]时,x2+(m+3)x+2m-2≤0,

则解得m≤4,故D错误.

综上,AB正确.

【答案】AB

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:二项式定理,★)的展开式中的常数项为        . 

【解析】的展开式的通项公式为Tr+1=x4-r=(-1)rx4-2r,令4-2r=0,得r=2,所以展开式的常数项为T3=(-1)2=6.

【答案】6

14.(考点:古典概型,★★)五一期间,甲、乙两人决定随机从A,B,C三个景区中选择一个景区进行游玩,甲、乙两人互不影响,则甲、乙两人同去一个景区的概率为        . 

【解析】因为甲、乙两人去景区进行游玩的所有事件有3×3=9个,其中甲、乙两人同去一个景区的事件有3个,所以两人同去一个景区的概率为=.

【答案】

15.

(考点:立体几何的综合,★★★)在如图所示的正方体中,若三棱锥P-ABC外接球的半径为,则球心到平面ABC的距离为        . 

【解析】设正方体的棱长为a,则3a2=(2)2=12,得a=2,所以AB=BC=AC=2.

由VP-ABC=VB-APC得S△ABC·h=S△APC·BP,即××(2)2××h=××22×2,得h=,所以球心到截面ABC的距离d=-=.

【答案】

16.(考点:解三角形,★★★)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D是AC上靠近点A的三等分点,·=0,∠ABD=,若BD=,则=        ,△ABC的面积为        . 

【解析】

如图,设CD=2x,则AD=x.因为·=0,∠ABD=,所以∠ABC=.

在Rt△BCD中,CB=CD·sin∠CDB=2x·sin∠CDB.  ①

在△ADB中,由正弦定理可得=,

    则AB==2x·sin∠ADB.  ②

因为∠BDA+∠CDB=π,所以sin∠BDA=sin∠CDB.  ③

联立①②③可得=1,所以△ABC是顶角为的等腰三角形,所以∠C=.因为BD=,所以BC==3,所以△ABC的面积为BC·AB·sin=.

【答案】1