2021届高考数学二轮复习专题小题专练15

小题专练15

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:集合,★)设集合A={x|x=y2},则RA=(    ).

A.{x|x<0} B.{x|x≤0}

C.{x|x>0} D.{x|x≥0}

2.(考点:复数,★)设i为虚数单位,复数z满足zi=(1-2i)2,则z的共轭复数在复平面内对应的点位于(    ).

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3.(考点:命题的否定,★)命题“∀x<y,sin x>cos y”的否定是(    ).

A.∀x≥y,sin x>cos y

B.∃x<y,sin x≤cos y

C.∀x<y,sin x≤cos y

D.∃x≥y,sin x>cos y

4.(考点:等差数列,★)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5=5,a4=3,则a6=(    ).

A.5 B.7 C.9 D.11

5.(考点:独立性检验,★★)通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表,由K2=得K2=≈8.333,参照附表,得到的正确结论是(    ).

附:

A.有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别有关”

B.有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别无关”

C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“是否爱好该项运动与性别有关”

D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“是否爱好该项运动与性别无关”

6.(考点:双曲线,★★)经过点(2,4),(3,-2)的双曲线的标准方程为(    ).

A.-=1 B.x2-=1

C.-=1 D.x2-=1

7.(考点:函数图象的判断,★★)函数f(x)=的图象大致是(    ).

8.(考点:三角恒等变换,★★)已知α,β为锐角,cos α=,tan(α+β)=-2,则tan(α-β)的值为(    ).

A. B. C.- D.-

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:等比数列,★★)设数列{an}是一个各项均为正数的等比数列,已知a1=1,-9=0,则下列说法正确的是(    ).

A.数列{an}的公比为8

B.数列{an}的通项公式an=3n-1

C.数列{log3an}是等差数列

D.数列{an}的前n项和Sn=

10.(考点:点、线、面的位置关系,★★★)设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法正确的是(    ).

A.若n⊥β,n⊂α,则α⊥β

B.若α∩β=m,n⊂γ,n∥β,m⊂γ,则m∥n

C.若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n⊂γ,则m⊥n

D.若m⊥α,α⊥β,α∩β=n,则m∥n

11.(考点:椭圆,★★★)已知椭圆M:+=1(a>0)的长轴长为2,曲线N:5x2+10x+5y2+4=0,若点A在椭圆M上,点B在曲线N上,则下列说法正确的是(    ).

A.椭圆M的焦点坐标为(-1,0)和(1,0)

B.椭圆M的离心率为

C.曲线N在椭圆M的内部

D.|AB|的最小值为-1-

12.(考点:函数与导数的综合运用,★★★)已知函数f(x)=ln x-ax2-2x(a≠0),则下列说法正确的是(    ).

A.若函数f(x)在[1,4]上单调递减,则a的取值范围为

B.若函数f(x)在[1,4]上单调递增,则a的取值范围为(-∞,-1]

C.若函数f(x)在[1,4]上存在单调递减区间,则a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞)

D.若函数f(x)在[1,4]上不单调,则a的取值范围为

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:二项式定理,★)的展开式中x2的系数为        . 

14.(考点:平面向量,★★)已知三个单位向量e1,e2,e3满足e1⊥e2,e1·e2+≤(e1+e2)·e3,则|e1+e2-e3|的最大值为        . 

15.(考点:函数零点与方程的根,★★)已知方程3x=k-2x的解在[1,2)内,则实数k的取值范围为        . 

16.(考点:实际应用型,★★★)已知某海滨浴场海浪的高度y(单位:m)是关于时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作y=f(t).经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数f(t)=1.1-cost-sint,t∈[0,24)的图象,则f(8)的值为       ;这一天的4 h到12 h海滨浴场海浪高度的最大差值为        m. 

答案解析：

1.(考点:集合,★)设集合A={x|x=y2},则RA=(    ).

A.{x|x<0} B.{x|x≤0}

C.{x|x>0} D.{x|x≥0}

【解析】因为A={x|x=y2}={x|x≥0},所以RA={x|x<0}.故选A.

【答案】A

2.(考点:复数,★)设i为虚数单位,复数z满足zi=(1-2i)2,则z的共轭复数在复平面内对应的点位于(    ).

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【解析】因为z====-4+3i,所以=-4-3i在复平面内对应的点为(-4,-3),位于第三象限,故选C.

【答案】C

3.(考点:命题的否定,★)命题“∀x<y,sin x>cos y”的否定是(    ).

A.∀x≥y,sin x>cos y

B.∃x<y,sin x≤cos y

C.∀x<y,sin x≤cos y

D.∃x≥y,sin x>cos y

【解析】命题“∀x<y,sin x>cos y”的否定是“∃x<y,sin x≤cos y”.故选B.

【答案】B

4.(考点:等差数列,★)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5=5,a4=3,则a6=(    ).

A.5 B.7 C.9 D.11

【解析】设等差数列{an}的公差为d,由题意得解得则a6=-3+(6-1)×2=7.故选B.

【答案】B

5.(考点:独立性检验,★★)通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表,由K2=得K2=≈8.333,参照附表,得到的正确结论是(    ).

附:

A.有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别有关”

B.有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别无关”

C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“是否爱好该项运动与性别有关”

D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“是否爱好该项运动与性别无关”

【解析】因为8.333>7.879,所以由表可知有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别有关”,或在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“是否爱好该项运动与性别有关”,故选A.

【答案】A

6.(考点:双曲线,★★)经过点(2,4),(3,-2)的双曲线的标准方程为(    ).

A.-=1 B.x2-=1

C.-=1 D.x2-=1

【解析】设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),

因为所求双曲线经过点(2,4),(3,-2),

所以解得故所求双曲线的标准方程为-=1.

【答案】A

7.(考点:函数图象的判断,★★)函数f(x)=的图象大致是(    ).

【解析】因为f(-x)==f(x),且x≠0,所以f(x)为偶函数,故排除B、D选项,当x=1时,f(1)=>0,故排除C选项,故选A.

【答案】A

8.(考点:三角恒等变换,★★)已知α,β为锐角,cos α=,tan(α+β)=-2,则tan(α-β)的值为(    ).

A. B. C.- D.-

【解析】因为α,β为锐角,cos α=,所以tan α=,所以tan 2α==-.

又tan(α+β)=-2,所以tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.

【答案】D

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:等比数列,★★)设数列{an}是一个各项均为正数的等比数列,已知a1=1,-9=0,则下列说法正确的是(    ).

A.数列{an}的公比为8

B.数列{an}的通项公式an=3n-1

C.数列{log3an}是等差数列

D.数列{an}的前n项和Sn=

【解析】由-9=0,得(an+3an-1)(an-3an-1)=0,又数列{an}各项均为正数,且a1=1,∴an+3an-1>0,∴an-3an-1=0,即=3,∴数列{an}是首项a1=1,公比q=3的等比数列,故an=3n-1,∴数列{log3an}是等差数列,数列{an}的前n项和Sn=.综上,BCD正确.

【答案】BCD

10.(考点:点、线、面的位置关系,★★★)设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法正确的是(    ).

A.若n⊥β,n⊂α,则α⊥β

B.若α∩β=m,n⊂γ,n∥β,m⊂γ,则m∥n

C.若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n⊂γ,则m⊥n

D.若m⊥α,α⊥β,α∩β=n,则m∥n

【解析】对于A项,由两平面垂直的判定定理知,A正确;对于B项,当n∥β,m⊂γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以m∥n,B正确;对于C项,可以推出m⊥γ,n⊂γ,所以m⊥n,C正确;对于D项,能推出m⊥n,推不出m∥n,D错误.故选ABC.

【答案】ABC

11.(考点:椭圆,★★★)已知椭圆M:+=1(a>0)的长轴长为2,曲线N:5x2+10x+5y2+4=0,若点A在椭圆M上,点B在曲线N上,则下列说法正确的是(    ).

A.椭圆M的焦点坐标为(-1,0)和(1,0)

B.椭圆M的离心率为

C.曲线N在椭圆M的内部

D.|AB|的最小值为-1-

【解析】因为椭圆M:+y2=1的长轴长为2,所以a=,由c2=a2-b2=1,可知椭圆M的焦点坐标为(-1,0)和(1,0),故A正确;椭圆M的离心率为,故B错误;5x2+10x+5y2+4=0可化简为(x+1)2+y2=,由椭圆的性质可得椭圆上距离左焦点最近的点为左顶点,所以椭圆上的点到曲线N的圆心的最小距离为a-c=-1,大于圆的半径,所以曲线N在椭圆M的内部,故C正确;由题意可得|AB|的最小值为-1-,故D正确.

【答案】ACD

12.(考点:函数与导数的综合运用,★★★)已知函数f(x)=ln x-ax2-2x(a≠0),则下列说法正确的是(    ).

A.若函数f(x)在[1,4]上单调递减,则a的取值范围为

B.若函数f(x)在[1,4]上单调递增,则a的取值范围为(-∞,-1]

C.若函数f(x)在[1,4]上存在单调递减区间,则a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞)

D.若函数f(x)在[1,4]上不单调,则a的取值范围为

【解析】因为函数f(x)在[1,4]上单调递减,所以当x∈[1,4]时,f'(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥-恒成立.令G(x)=-,所以a≥G(x)max,而G(x)=-1,因为x∈[1,4],所以∈,所以G(x)max=-(此时x=4),所以a≥-,又因为a≠0,所以a的取值范围是∪(0,+∞),故A错误.

因为函数f(x)在[1,4]上单调递增,所以当x∈[1,4]时,f'(x)≥0恒成立,即a≤-恒成立,又因为当x∈[1,4]时,=-1(此时x=1),所以a≤-1,即a的取值范围是(-∞,-1],故B正确.

因为函数f(x)在[1,4]上存在单调递减区间,所以f'(x)<0在[1,4]上有解,所以当x∈[1,4]时,a>-有解,而当x∈[1,4]时,=-1(此时x=1),所以a>-1,又因为a≠0,所以a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞),故C正确.

因为函数f(x)在[1,4]上不单调,所以f'(x)=0在(1,4)上有解,即a=-=-1在(1,4)上有解,令m(x)=-,x∈(1,4),则-1<m(x)<-,所以a的取值范围是,故D正确.

【答案】BCD

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:二项式定理,★)的展开式中x2的系数为        . 

【解析】的展开式的通项公式为Tr+1=x5-r·=.由5-r=2,解得r=2,故展开式中x2的系数为=10.

【答案】10

14.(考点:平面向量,★★)已知三个单位向量e1,e2,e3满足e1⊥e2,e1·e2+≤(e1+e2)·e3,则|e1+e2-e3|的最大值为        . 

【解析】|e1+e2-e3|==,

因为e1⊥e2,且e1,e2,e3为单位向量,所以上式=.又由e1·e2+≤(e1+e2)·e3,得(e1+e2)·e3≥=1,所以|e1+e2-e3|=≤1,故|e1+e2-e3|的最大值为1.

【答案】1

15.(考点:函数零点与方程的根,★★)已知方程3x=k-2x的解在[1,2)内,则实数k的取值范围为        . 

【解析】令函数f(x)=3x+2x-k,

则f(x)在R上是增函数.

当方程3x=k-2x的解在(1,2)内时,f(1)·f(2)<0,即(5-k)(13-k)<0,解得5<k<13.

当f(1)=0时,k=5.

综上,实数k的取值范围为[5,13).

【答案】[5,13)

16.(考点:实际应用型,★★★)已知某海滨浴场海浪的高度y(单位:m)是关于时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作y=f(t).经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数f(t)=1.1-cost-sint,t∈[0,24)的图象,则f(8)的值为       ;这一天的4 h到12 h海滨浴场海浪高度的最大差值为        m. 

【解析】f(8)=1.1-cos-sin

=1.1-cos-sin

=1.1-×-=1.1.

f(t)=1.1-2

=1.1-2sin,

因为4≤t≤12,

所以≤t+≤,-≤sin≤,1.1-≤f(t)≤1.1+,

所以这一天的4 h到12 h海滨浴场海浪高度的最大差值为2 m.

【答案】1.1  2