2021届高考数学二轮复习专题小题专练24

小题专练24

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:集合,★)已知集合A={-1,1,2,3,5},B=,则A∩B=(    ).

A. B.

C. D.

2.(考点:复数,★)若复数z满足(1-i)z=1+2i,则在复平面内对应的点位于(    ).

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3.(考点:函数的奇偶性与周期性,★★)已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈(-1,1)时,f(x)=lg,则f=(    ).

A.0 B.lg 3 C.lg 5 D.1

4.(考点:三角恒等变换,★★)已知tan α=2tan,则=(    ).

A.3 B.1 C.-1 D.-3

5.(考点:等比数列,★★)已知数列中,a1=1,an+1=an(n∈N*),则a1+a3+a5+a7+a9=(    ).

A.31 B.63 C.123 D.1023

6.(考点:双曲线,★★)已知直线y=2b与双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线在第一象限交于点C,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,若tan∠CF2F1=,则双曲线的离心率为(    ).

A. B.2 C.4 D.4或

7.(考点:样本的数字特征,★★★)一张白纸上曾经写有x1,x2,…,x16等16个数据,由于时间长了,除了数据9.22比较清楚外,剩下的15个数据模糊不清,但是这15个数据的平均数为10.02,16个数据的标准差s=≈0.212,其中i=1,2,…,16,则=(    ).(结果保留小数点后三位数字)

A.1584.034 B.1589.134

C.1591.134 D.1594.134

8.(考点:函数图象的判断,★★★)函数f(x)=在[-π,π]上的大致图象为(    ).

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:立体几何的综合运用,★★)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为矩形,AA1=2,且其外接球O的表面积为20π,则下列说法正确的是(    ).

A.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面积的最小值为16

B.直四棱柱的对角线长为2

C.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积的最大值为8

D.直四棱柱的外接球的体积为

10.(考点:椭圆,★★)过椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F2作x轴的垂线,交椭圆C于A,B两点,直线l过椭圆C的左焦点和上顶点,以AB为直径的圆与l相切,则下列结论正确的是(    ).

A.直线l的斜率为2

B.椭圆C的长轴长为短轴长的倍

C.椭圆C的离心率为

D.|AF2|与点A到直线x=的距离之比为

11. (考点:三角函数的图象和性质,★★★)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)在区间上单调,若f(x)的图象经过点(0,-1),且f(x)的图象向左平移π个单位长度之后与原图象重合,则下列说法正确的是(    ).

A.f(x)的周期为π

B.是f(x)的一个极值点

C.f(x)在[-π,π]上有4个零点

D.f(x)在的值域为[-1,1]

12.(考点:新定义题型,★★★)我们定义这样一种运算“?”:①对任意a∈R,a?0=0?a=a;②对任意a,b∈R,(a?b)?c=c?(ab)+a?c+b?c,根据上述性质,研究函数f(x)=ex-1?e1-x,以下结论正确的是(    ).

A.f(x)的图象关于直线x=1对称

B.f(x)在R上单调递减

C.f(x)的最小值为3

D.f>f>f

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(2,y),b=(1,-1),若|a-b|=|a+b|,则y的值为        . 

14.(考点:二项式定理,★★)若(ax+1)(x-1)5的展开式中,x3的系数是20,则a=        . 

15.(考点:古典概型,★★)定义个位数字比十位数字大,千位数字是偶数,百位数字为奇数的四位数为“特征数”.从由数字1,2,3,4组成的没有重复数字的四位数中任取一个,则这个四位数是“特征数”的概率为        . 

16.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,周长为5,bcos C=(2a-c)cos B,则角B=        ;若b=2,则△ABC的面积为        . 

答案解析：

1.(考点:集合,★)已知集合A={-1,1,2,3,5},B=,则A∩B=(    ).

A. B.

C. D.

【解析】由题意得B={x∈N|1<x<log220}={2,3,4},所以A∩B={2,3}.

【答案】B

2.(考点:复数,★)若复数z满足(1-i)z=1+2i,则在复平面内对应的点位于(    ).

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【解析】由(1-i)z=1+2i,可得z====-+i.

=--i在复平面内对应的点为-,-,位于第三象限.故选C.

【答案】C

3.(考点:函数的奇偶性与周期性,★★)已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈(-1,1)时,f(x)=lg,则f=(    ).

A.0 B.lg 3 C.lg 5 D.1

【解析】因为f(x)=lg(x∈(-1,1))是奇函数,所以f(0)=lg(2+a)=0,解得a=-1,故当x∈(-1,1)时,f(x)=lg,又因为f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为2的函数,所以f=f=lg 3.

【答案】B

4.(考点:三角恒等变换,★★)已知tan α=2tan,则=(    ).

A.3 B.1 C.-1 D.-3

【解析】根据诱导公式,sin=cos=sin,所以原式===,

分子、分母同时除以cos αcos,得出原式==-3.

【答案】D

5.(考点:等比数列,★★)已知数列中,a1=1,an+1=an(n∈N*),则a1+a3+a5+a7+a9=(    ).

A.31 B.63 C.123 D.1023

【解析】因为an+1=an,所以数列为等比数列,公比为,所以数列也为等比数列,公比为2,故a1+a3+a5+a7+a9==31.

【答案】A

6.(考点:双曲线,★★)已知直线y=2b与双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线在第一象限交于点C,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,若tan∠CF2F1=,则双曲线的离心率为(    ).

A. B.2 C.4 D.4或

【解析】由已知得tan∠CF2F1==,

又b2=c2-a2,∴64a2-60ac+11c2=0,

∴11e2-60e+64=0,解得e=4或e=.

又∵c-2a>0,∴e>2,

∴e=4.

【答案】C

7.(考点:样本的数字特征,★★★)一张白纸上曾经写有x1,x2,…,x16等16个数据,由于时间长了,除了数据9.22比较清楚外,剩下的15个数据模糊不清,但是这15个数据的平均数为10.02,16个数据的标准差s=≈0.212,其中i=1,2,…,16,则=(    ).(结果保留小数点后三位数字)

A.1584.034 B.1589.134

C.1591.134 D.1594.134

【解析】因为=xi=×(15×10.02+9.22)=9.97,s==≈0.212,

    所以=16×0.2122+16×9.972≈1591.134.

【答案】C

8.(考点:函数图象的判断,★★★)函数f(x)=在[-π,π]上的大致图象为(    ).

【解析】因为f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除A;

因为f(π)=>1,所以排除C,D.

故选B.

【答案】B

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:立体几何的综合运用,★★)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为矩形,AA1=2,且其外接球O的表面积为20π,则下列说法正确的是(    ).

A.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面积的最小值为16

B.直四棱柱的对角线长为2

C.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积的最大值为8

D.直四棱柱的外接球的体积为

【解析】因为球O的表面积为20π,所以S=4πR2=20π,解得R=,则直四棱柱的对角线长为2,且外接球的体积为()3=.

设AB=x,BC=y,则x2+y2+12=(2)2,所以x2+y2=8,

所以直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面积为2·(2x+2y)=4(x+y)≤4=16,体积为2xy≤(x2+y2)=8,当且仅当x=y=2时取等号.综上,BC正确.

    【答案】BC

10.(考点:椭圆,★★)过椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F2作x轴的垂线,交椭圆C于A,B两点,直线l过椭圆C的左焦点和上顶点,以AB为直径的圆与l相切,则下列结论正确的是(    ).

A.直线l的斜率为2

B.椭圆C的长轴长为短轴长的倍

C.椭圆C的离心率为

D.|AF2|与点A到直线x=的距离之比为

【解析】由题意知,直线l:+=1,即bx-cy+bc=0,以AB为直径的圆的圆心的坐标为(c,0).根据题意,将x=c代入椭圆C的方程得y=±,即圆的半径r=.又圆与直线l相切,所以=,化简得2c=b,平方整理得a2=5c2,所以e==,直线l的斜率为=2,=,=,点A到直线x=的距离为-c=,所以比值为==.故ACD正确.

【答案】ACD

11. (考点:三角函数的图象和性质,★★★)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)在区间上单调,若f(x)的图象经过点(0,-1),且f(x)的图象向左平移π个单位长度之后与原图象重合,则下列说法正确的是(    ).

A.f(x)的周期为π

B.是f(x)的一个极值点

C.f(x)在[-π,π]上有4个零点

D.f(x)在的值域为[-1,1]

【解析】根据题意,-1=2sin φ,∴φ=-,∴f(x)=2sin,平移后的函数解析式为g(x)=2sin=2sin,∴ωπ=2kπ,∴ω=2k,k∈Z,又-≤=,∴ω≤,故ω=2,∴f(x)=2sin,故A正确;令2x-=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,当+=时,k无整数解,故B错误;令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,∵-π≤+≤π,k∈Z,∴k=-2,-1,0,1,故C正确;∵x∈,2x-∈,∴f(x)∈[-1,2],故D错误.

    【答案】AC

12.(考点:新定义题型,★★★)我们定义这样一种运算“?”:①对任意a∈R,a?0=0?a=a;②对任意a,b∈R,(a?b)?c=c?(ab)+a?c+b?c,根据上述性质,研究函数f(x)=ex-1?e1-x,以下结论正确的是(    ).

A.f(x)的图象关于直线x=1对称

B.f(x)在R上单调递减

C.f(x)的最小值为3

D.f>f>f

【解析】由题意,对任意a,b∈R,(a?b)?c=c?(ab)+a?c+b?c,令c=0,得(a?b)?0=0?(ab)+a?0+b?0,化简可得(a?b)?0=a?b=ab+a+b,

所以f(x)=ex-1?e1-x=ex-1+e1-x+1.

对于A,因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确.

对于B,当x<1时,f'(x)=ex-1-e1-x<0;当x>1时, f'(x)=ex-1-e1-x>0.所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故B错误.

对于C,f(x)=ex-1+e1-x+1≥2+1=3,当且仅当x=1时等号成立,故C正确.

对于D,根据A可知,f=f(-2)=f(4),又因为f(x)在(1,+∞)上单调递增,1<<<4,所以f<f<f(4),所以f<f<f,故D错误.

【答案】AC

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(2,y),b=(1,-1),若|a-b|=|a+b|,则y的值为        . 

【解析】因为a=(2,y),b=(1,-1),所以a+b=(3,y-1),a-b=(1,y+1).因为|a-b|=|a+b|,所以=,解得y=2.

【答案】2

14.(考点:二项式定理,★★)若(ax+1)(x-1)5的展开式中,x3的系数是20,则a=        . 

【解析】因为(ax+1)(x-1)5=ax(x-1)5+(x-1)5,而(x-1)5展开式的通项公式为Tr+1=x5-r·(-1)r,所以(ax+1)(x-1)5的展开式中x3的系数为a(-1)3+(-1)2=20,解得a=-1.

【答案】-1

15.(考点:古典概型,★★)定义个位数字比十位数字大,千位数字是偶数,百位数字为奇数的四位数为“特征数”.从由数字1,2,3,4组成的没有重复数字的四位数中任取一个,则这个四位数是“特征数”的概率为        . 

【解析】根据题意,由数字1,2,3,4组成的没有重复数字的四位数共有=24个.其中“特征数”的个数的求法可分为三步:第一步考虑千位数字,有=2种选择;第二步考虑百位数字,有=2种选择;第三步直接按大小顺序安排个位和十位,只有1种选择.故“特征数”有2×2×1=4个.所以从由数字1,2,3,4组成的没有重复数字的四位数中任取一个,这个数是“特征数”的概率为=.

【答案】

16.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,周长为5,bcos C=(2a-c)cos B,则角B=        ;若b=2,则△ABC的面积为        . 

【解析】由正弦定理可得sin Bcos C=(2sin A-sin C)cos B,

即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Acos B,

所以sin(B+C)=2sin Acos B.

因为sin(B+C)=sin(π-A)=sin A,sin A≠0,所以cos B=.

因为0<B<π,所以B=.

又a+c=3,b=2,所以a2+c2-2accos B=b2,

所以(a+c)2-3ac=4,解得ac=,

所以S△ABC=acsin B=.

【答案】