2021年天津市部分学校数学中考模拟测试卷 含解析

这是一份2021年天津市部分学校数学中考模拟测试卷 含解析，共31页。试卷主要包含了计算+，正确的结果是，下列整数中，与10﹣最接近的是，已知方程组，则2x+6y的值是等内容，欢迎下载使用。

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4，则sinB的值是（ ）
A．B．C．D．
2．计算+，正确的结果是（ ）
A．1B．C．aD．
3．民国106年8月15日，大潭发电厂因跳电导致供电短少约430万瓩，造成全台湾多处地方停电．已知1瓩等于1千瓦，求430万瓩等于多少瓦？（ ）
A．4.3×107B．4.3×108C．4.3×109D．4.3×1010
4．观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．在水平的桌面上放置着如图所示的实物，则它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
6．下列整数中，与10﹣最接近的是（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．已知方程组，则2x+6y的值是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
8．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为M，E是CD延长线上一点，且AB＝10，CD＝8，3DE＝4OM，过F做作圆O的切线EF，BF交CD于G．则以下说法其中正确的是（ ）
A．MB＝3B．EF＝4C．FD∥ABD．EF＝EG
9．已知x是正实数，则|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|的最小值是（ ）
A．2B．C．D．0
10．已知函数y＝+1，当x≥﹣4，且x≠0时，则函数y的取值范围是（ ）
A．y≤﹣1B．y＞1C．y≤﹣1或y＞1D．y＜﹣1
11．四个形状大小相同的等腰三角形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOC＝90°，EF＝2cm，若点F落在BG的延长线上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：
①abc＞0；
②8a+c＞0；
③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；
④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；
⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4．
其中结论正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．把 a中根号外面的因式移到根号内的结果是 ．
14．定义一种新运算：x*y＝，如2*1＝＝2．则（3*5）*（﹣1）＝ ．
15．在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为，那么盒子内白色乒乓球的个数为 ．
16．函数y＝x+1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有 个．
17．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连接BD．将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．当点F落在AC上时（F不与C重合），若BC＝4，tanC＝3，则AE的长 ．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，取格点A、B、C并连接AB，BC．取格点D、E并连接，交AB于点F．
（Ⅰ）AB的长等于 ；
（Ⅱ）若点G在线段BC上，且满足AF+CG＝FG，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，确定点G的位置，并简要说明点G的位置是如何找到的．
三．解答题（本大题共7小题,共66分,解答中写出文字说明、演算步骤或推理过程）（共7小题，满分66分）
19．（8分）
（1）计算：（﹣1）2014+（sin30°）﹣1+（）0﹣|3﹣|+83×（﹣0.125）3
（2）解不等式组：把解集在数轴上表示出来，并将解集中的整数解写出来．
20．（8分）某校开展读书活动，随机抽查了若干名同学，了解他们半年内阅读名著的情况，调查结果制作了如下部分图：
（1）请求出样本容量，并将条形统计图补充完整；
（2）根据以上统计图中的信息，求这些同学半年内阅读名著数量的众数、中位数、平均数（保留小数）；
（3）你能估计全校2000名同学，在这个读书活动中阅读名著的总数量吗？请指出，并说明理由．
21．（10分）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP
（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；
（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．
22．（10分）小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）
23．（10分）小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：
信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每月工作25天；
信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：
信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元．
信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；
（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？
24．（10分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）动手操作
如图1，当α＝60°时，我们通过用刻度尺和量角器度量发现：的值是1：直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°；请证明以上结论正确
（2）类比探究
如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
25．（10分）如图1，抛物线M1：y＝﹣x2+4x交x正半轴于点A，将抛物线M1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M2，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C．
（1）求抛物线M2的解析式；
（2）点P是抛物线M1上AB间的一点，作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ．设点P的横坐标为m，当m为何值时，使△CPQ的面积最大，并求出最大值；
（3）如图2，将直线OB向下平移，交抛物线M1于点E，F，交抛物线M2于点G，H，则的值是否为定值，证明你的结论．
参考答案与解析
一．选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4，则sinB的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AC＝＝＝
则sinB＝＝，
故选：C．
2．计算+，正确的结果是（ ）
A．1B．C．aD．
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝＝1．
故选：A．
3．民国106年8月15日，大潭发电厂因跳电导致供电短少约430万瓩，造成全台湾多处地方停电．已知1瓩等于1千瓦，求430万瓩等于多少瓦？（ ）
A．4.3×107B．4.3×108C．4.3×109D．4.3×1010
【分析】根据题意将430万瓩化为4.3×109瓦即可解题；
【解答】解：430万瓩＝4300000瓩，
∵1瓩等于1千瓦，
∴4300000瓩＝4300000千瓦＝4.3×106千瓦＝4.3×109瓦；
故选：C．
4．观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第1个是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
第2个不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
第3个不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
第4个是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：B．
5．在水平的桌面上放置着如图所示的实物，则它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从左边向右边看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【解答】解：从左边看可得左视图为：
故选：C．
6．下列整数中，与10﹣最接近的是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】解法一：由于9＜13＜16，可判断与4最接近，从而可判断与10﹣最接近的整数为6．
解法二：计算3.5的平方与13作比较，再得10﹣＜6.5，可作判断．
【解答】解：解法一：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∵3.62＝12.96，3.72＝13.69，
∴3.6＜＜3.7，
∴﹣3.7＜﹣＜﹣3.6，
∴10﹣3.7＜10﹣＜10﹣3.6，
∴6.3＜10﹣＜6.4，
∴与10﹣最接近的是6．
解法二：∵3＜＜4，
∴6＜10﹣＜7，
∵3.52＝12.25，且12.25＜13，
∴＞3.5，
∴10﹣＜6.5，
∴与10﹣最接近的是6．
故选：C．
7．已知方程组，则2x+6y的值是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
【分析】两式相减，得x+3y＝﹣2，所以2（x+3y）＝﹣4，即2x+6y＝﹣4．
【解答】解：两式相减，得x+3y＝﹣2，
∴2（x+3y）＝﹣4，
即2x+6y＝﹣4，
故选：C．
8．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为M，E是CD延长线上一点，且AB＝10，CD＝8，3DE＝4OM，过F做作圆O的切线EF，BF交CD于G．则以下说法其中正确的是（ ）
A．MB＝3B．EF＝4C．FD∥ABD．EF＝EG
【分析】连接OC，根据圆周角定理和垂径定理得到∠OMC＝90°，CM＝DM，求得OM＝3，得到BM＝2，故A选项错误；连接AF，OF，求得∠AFB＝90°，根据切线的性质得到∠OFE＝90°，求得∠AFO＝∠EFG，推出∠EFG＝∠EGF，得到EF＝EG，故D选项正确；根据射影定理得到EF＝4，故B选项错误；连接AD，则∠BAD＝∠BFD，根据三角函数值推出∠BAD≠∠MBG，∠MBF≠∠BFD，于是得到FD与AB不平行，故C 选项错误．
【解答】解：连接OC，
∵AB是圆O的直径，弦CD与AB垂直，
∴∠OMC＝90°，CM＝DM，
∵AB＝10，CD＝8，
∴OC＝5，CM＝4，
∴OM＝3，
∴BM＝2，故A选项错误；
连接AF，OF，
∴∠AFB＝90°，
∵过F作圆O的切线EF，
∴∠OFE＝90°，
∴∠AFO＝∠EFG，
∵∠A+∠B＝∠B+∠BGM＝90°，
∴∠BGM＝∠A，
∵∠A＝∠AFO，∠BGM＝∠DGF，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴EF＝EG，故D选项正确；
∵3DE＝4OM，
∴DE＝4，CE＝12，
∴EF2＝DE•CE＝48，
∴EF＝4，故B选项错误；
连接AD，则∠BAD＝∠BFD，
∵GM＝EM﹣EG＝8﹣4，
∴tan∠MBG＝＝4﹣2，tan∠BAD＝＝＝≠tan∠MBG，
∴∠BAD≠∠MBG，∠MBF≠∠BFD，
∴FD与AB不平行，故C 选项错误，
故选：D．
9．已知x是正实数，则|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|的最小值是（ ）
A．2B．C．D．0
【分析】将使得下列式子分别成立的x值按大小顺序排列，取处在中间的x值，则所求的式子有最小值 原式＝|x﹣1|+2|x﹣|+3|x﹣|+4|x﹣|+5|x﹣|，据此可解得答案．
【解答】解：|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|
＝|x﹣1|+2|x﹣|+3|x﹣|+4|x﹣|+5|x﹣|
当x﹣＝0，即x＝时取最小值，
最小值为：|﹣1|+2|﹣|+3|﹣|+4|﹣|+5|﹣|
＝+++0+
＝．
故选：B．
10．已知函数y＝+1，当x≥﹣4，且x≠0时，则函数y的取值范围是（ ）
A．y≤﹣1B．y＞1C．y≤﹣1或y＞1D．y＜﹣1
【分析】函数y＝+1的图象是由函数y＝图象向上平移1个单位得到，在坐标系画出函数的图象，根据图象即可求得．
【解答】解：如图，函数y＝+1的图象是由函数y＝图象向上平移1个单位得到，
∵函数y＝的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵当x＝﹣4时，y＝﹣1，
∴﹣4≤x＜0时，y≤﹣1；x＞0时y＞1，
故选：C．
11．四个形状大小相同的等腰三角形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOC＝90°，EF＝2cm，若点F落在BG的延长线上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接FG交EO于K，连接EF．首先证明△GOF是等腰直角三角形，再证明OK⊥FG，设OK＝FK＝HK＝x，则OE＝OF＝x，在Rt△EFK中，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．
【解答】解：连接FG交EO于K，连接EF．
∵∠BOG＝∠AOF，
∴∠GOF＝∠AOB＝90°，
∵OG＝OF，
∴△GOF是等腰直角三角形，
∴∠FGO＝45°，
∵B，G，F共线，
∴∠BGO＝135°，
∵GB＝GO，
∴∠GOB＝∠GBO＝22.5°，
∴∠EOF＝2×22.5°＝45°，
∴∠FOK＝∠GOK，
∵OF＝OG，
∴OK⊥FG，GK＝FK，设FK＝OK＝GK＝xcm，则OF＝OE＝xcm，
在Rt△EFK中，∵EF2＝EK2+FK2，
∴4＝x2+（x﹣x）2，
∴x2＝2+，
∴菱形AEOF的面积＝OE•FK＝x2＝（2+2）cm2，
∴阴影部分的面积＝2×（2+2）＝（4+4）cm2
故选：A．
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：
①abc＞0；
②8a+c＞0；
③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；
④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；
⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4．
其中结论正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
＞0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴＝1，
∴b＝﹣2a，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴4a+4a+c＝0，
∴8a+c＝0，故②错误；
③∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故③正确；
④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即≤﹣3，
∵8a+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∵b＝﹣2a，
∴，
解得：a，故④错误；
⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，
则x1、x2为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2，
∴x1＜﹣2＜4＜x2，故⑤错误；
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．把 a中根号外面的因式移到根号内的结果是 ﹣ ．
【分析】判断得到a为负数，利用二次根式性质化简即可．
【解答】解：原式＝﹣＝﹣，
故答案为：﹣
14．定义一种新运算：x*y＝，如2*1＝＝2．则（3*5）*（﹣1）＝ ．
【分析】根据x*y＝，可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵x*y＝，
∴（3*5）*（﹣1）
＝*（﹣1）
＝*（﹣1）
＝*（﹣1）
＝
＝
＝×
＝，
故答案为：．
15．在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为，那么盒子内白色乒乓球的个数为 4 ．
【分析】设盒子内白色乒乓球的个数为x，根据摸到白色乒乓球的概率为列出关于x的方程，解之可得．
【解答】解：设盒子内白色乒乓球的个数为x，
根据题意，得：＝，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原分式方程的解，
∴盒子内白色乒乓球的个数为4，
故答案为：4．
16．函数y＝x+1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有 4 个．
【分析】三角形ABC的找法如下：①以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴交点即为C；②以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴交点即为C；③作AB的中垂线与x轴的交点即为C；
【解答】解以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴交点即为C；
以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴交点即为C；
作AB的中垂线与x轴的交点即为C；
故答案为4；
17．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连接BD．将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．当点F落在AC上时（F不与C重合），若BC＝4，tanC＝3，则AE的长 ．
【分析】先根据tanC＝3，求出AH＝3，CH＝1，然后根据△EHA∽△FHC，得到，HP＝3AP，AE＝2AP，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，
在Rt△AHC中，
∵tanC＝3，
∴＝3，
设CH＝x，
∴BH＝AH＝3x，
∵BC＝4，
∴3x+x＝4，
∴x＝1，
∴AH＝3，CH＝1，
由旋转知，∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，CH＝DH＝FH，
∴∠EHF+∠AHF＝∠AHC+∠AHF，
∴∠EHA＝∠FHC，＝＝1，
∴△EHA∽△FHC，
∴∠EAH＝∠C，
∴tan∠EAH＝tanC＝3，
过点H作HP⊥AE，
∴HP＝3AP，AE＝2AP，
在Rt△AHP中，AP2+HP2＝AH2，
∴AP2+（3AP）2＝9，
∴AP＝，
∴AE＝，
故答案为：．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，取格点A、B、C并连接AB，BC．取格点D、E并连接，交AB于点F．
（Ⅰ）AB的长等于 ；
（Ⅱ）若点G在线段BC上，且满足AF+CG＝FG，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，确定点G的位置，并简要说明点G的位置是如何找到的．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理计算即可．
（Ⅱ）取格点M，连接AM，CM，得到正方形AMCB，取格点N，连接NM，EN，可得等腰直角三角形△EMN，∠EMN＝45°，直线MN交BC于点G，点G即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）AB＝＝．
故答案为．
（Ⅱ）如图，取格点M，连接AM，CM，得到正方形AMCB，取格点N，连接NM，EN，可得等腰直角三角形△EMN，∠EMN＝45°，直线MN交BC于点G，点G即为所求．
三．解答题（本大题共7小题,共66分,解答中写出文字说明、演算步骤或推理过程）（共7小题，满分66分）
19．（8分）（1）计算：（﹣1）2014+（sin30°）﹣1+（）0﹣|3﹣|+83×（﹣0.125）3
（2）解不等式组：把解集在数轴上表示出来，并将解集中的整数解写出来．
【分析】（1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算，第四项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用积的乘方逆运算法则变形，计算即可得到可结果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）原式＝1+2+1﹣3+3﹣1＝6﹣3；
（2），
由①得：x＜1，
由②得：x≥﹣，
∴不等式组的解集为：﹣≤x＜1，
，
则不等式组的整数解为：﹣1，0．
20．（8分）某校开展读书活动，随机抽查了若干名同学，了解他们半年内阅读名著的情况，调查结果制作了如下部分图：
（1）请求出样本容量，并将条形统计图补充完整；
（2）根据以上统计图中的信息，求这些同学半年内阅读名著数量的众数、中位数、平均数（保留小数）；
（3）你能估计全校2000名同学，在这个读书活动中阅读名著的总数量吗？请指出，并说明理由．
【分析】（1）读2册书的有16人，占的比例为32%，故样本容量＝16÷32%＝50，则读3本书的人数＝总数﹣读其它本数的人数；
（2）根据众数、中位数、平均数的概念计算；
（3）用50人读的书的总数去估计全校学生的读书数．
【解答】解：（1）∵读2册书的有16人，占的比例为32%，
∴样本容量＝16÷32%＝50，
读3本书的人数＝50﹣8﹣16﹣10﹣1＝15（人），
如图：
（2）由于读2册书的人数最多，故所求的众数是2，
样本人数为50人，则中位数应为第25，26人的平均数，而读1册和2册的人共有24人，读3册书的人有15人，所以中位数是3，
平均数是（册）；
（3）读书活动中阅读名著的总数量＝（8+2×16+3×15+4×10+30）×（2000÷50）＝6200（册）．
21．（10分）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP
（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；
（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．
【分析】（1）作DF⊥BC于F，连接DB，根据切线的性质得到∠PAC＝90°，根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，得到∠DBC＝∠DCB，得到DB＝DC，根据线段垂直平分线的性质、圆周角定理证明即可；
（2）根据垂径定理求出FC，证明△DEC≌△CFD，根据全等三角形的性质得到DE＝FC＝3，根据射影定理计算即可．
【解答】（1）证明：作DF⊥BC于F，连接DB，
∵AP是⊙O的切线，
∴∠PAC＝90°，即∠P+∠ACP＝90°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，即∠PCA+∠DAC＝90°，
∴∠P＝∠DAC＝∠DBC，
∵∠APC＝∠BCP，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC，
∵DF⊥BC，
∴DF是BC的垂直平分线，
∴DF经过点O，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠BDC＝2∠ODC，
∴∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠OCD；
（2）解：∵DF经过点O，DF⊥BC，
∴FC＝BC＝3，
在△DEC和△CFD中，
，
∴△DEC≌△CFD（AAS）
∴DE＝FC＝3，
∵∠ADC＝90°，DE⊥AC，
∴DE2＝AE•EC，
则EC＝＝，
∴AC＝2+＝，
∴⊙O的半径为．
22．（10分）小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）
【分析】作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，根据坡度的定义分别求出DC、CP，设MF＝ym，根据正切的定义用y分别表示出DF、PE，根据题意列方程，解方程得到答案．
【解答】解：作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，
则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，
设DC＝3x，
∵tanθ＝，
∴CP＝4x，
由勾股定理得，PD2＝DC2+CP2，即252＝（3x）2+（4x）2，
解得，x＝5，
则DC＝3x＝15，CP＝4x＝20，
∴DH＝CP＝20，PH＝FE＝DC＝15，
设MF＝ym，
则ME＝（y+15）m，
在Rt△MDF中，tan∠MDF＝，
则DF＝＝y，
在Rt△MPE中，tan∠MPE＝，
则PE＝＝（y+15），
∵DH＝DF﹣HF，
∴y﹣（y+15）＝20，
解得，y＝7.5+10，
∴ME＝MF+FE＝7.5+10+15≈39.8，
答：古塔的高度ME约为39.8m．
23．（10分）小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：
信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每月工作25天；
信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：
信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元．
信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；
（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？
【分析】（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分，利用待定系数法求出x，y的值．
（2）设生产甲种产品用x分，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x）分，分别求出甲乙两种生产多少件产品．
【解答】解：（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分．
由题意得：，
解这个方程组得：，
答：生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分．
（2）设生产甲种产品共用x分，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x）分．
则生产甲种产品件，生产乙种产品件．
∴w总额＝1.5×+2.8×
＝0.1x+×2.8
＝0.1x+1680﹣0.14x
＝﹣0.04x+1680，
又≥60，得x≥900，
由一次函数的增减性，当x＝900时w取得最大值，此时w＝﹣0.04×900+1680＝1644（元），
则小王该月收入最多是1644+1900＝3544（元），
此时甲有＝60（件），
乙有：＝555（件），
答：小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．
24．（10分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）动手操作
如图1，当α＝60°时，我们通过用刻度尺和量角器度量发现：的值是1：直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°；请证明以上结论正确
（2）类比探究
如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
【分析】（1）如图1中，假设直线PC与直线BD交于点O，直线PC交AB于E．证明△CAP≌△BAD（SAS），利用全等三角形的性质即可解决问题．
（2）结论：＝，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°．如图2中，设直线BD交CP于M，AC交BD于N．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）∵CA＝CB，∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴CA＝AB，∠CAB＝60°，
由旋转的性质可知：PA＝PD，∠APD＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AP＝AD，∠PAD＝∠CAB＝60°，
∴∠CAP＝∠BAD，
∴△CAP≌△BAD（SAS），
∴CP＝BD，
∴＝1．
如图1中，假设直线PC与直线BD交于点O，直线PC交AB于E．
∵△CAP≌△BAD，
∴∠ACE＝∠OBE，
∵∠AEC＝∠OEB，
∴∠CAE＝∠EOB＝60°，
∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°．
（2）结论：＝，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°．
理由：如图2中，设直线BD交CP于M，AC交BD于N．
由题意：△PAD是等腰直角三角形，
∴∠DAP＝45°，＝，
∵CA＝CB，∠ACB＝α＝90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，＝，
∴∠CAB＝∠PAD，
∴∠DAB＝∠PAC，
∵＝＝，
∴△APC∽△ADB，
∴＝＝，∠PCA＝∠ABD，
∵∠ANB＝∠DNC，
∴∠CMN＝∠CAB＝45°，即直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°．
综上所述，＝，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°．
25．（10分）如图1，抛物线M1：y＝﹣x2+4x交x正半轴于点A，将抛物线M1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M2，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C．
（1）求抛物线M2的解析式；
（2）点P是抛物线M1上AB间的一点，作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ．设点P的横坐标为m，当m为何值时，使△CPQ的面积最大，并求出最大值；
（3）如图2，将直线OB向下平移，交抛物线M1于点E，F，交抛物线M2于点G，H，则的值是否为定值，证明你的结论．
【分析】（1）先将抛物线M1：y＝﹣x2+4x化为顶点式，由平移规律“上加下减，左加右减”可直接写出抛物线M2的解析式；
（2）分别求出点A，点B，点C的坐标，求出m的取值范围，再用含m的代数式表示出△CPQ的面积，可用函数的思想求出其最大值；
（3）设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，分别求出点E，F，G，H的横坐标，分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，构造相似三角形△GEM与△HFN，可通过相似三角形的性质求出的值为1．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴将其先向右平移3个单位，再向上平移3个单位的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+7＝﹣x2+10x﹣18；
（2）∵抛物线M1与M2交于点B，
∴﹣x2+4x＝﹣x2+10x﹣18，
解得，x＝3，
∴B（3，3），
将点B（3，3）代入y＝kx，
得，k＝1，
∴yOB＝x，
∵抛物线M2与直线OB交于点C，
∴x＝﹣x2+10x﹣18，
解得，x1＝3，x2＝6，
∴C（6，6），
∵点P的横坐标为m，
∴点P（m，﹣m2+4m），
则Q（m，﹣m2+10m﹣18），
∴QP＝﹣m2+10m﹣18﹣（﹣m2+4m）＝6m﹣18，
∴S△PQC＝（6m﹣18）（6﹣m）
＝﹣3m2+27m﹣54，
＝﹣3（m﹣）2+，
在y＝﹣m2+4m中，当y＝0时，
x1＝0，x2＝4，
∴A（4，0），
∵B（3，3），
∴3≤m≤4，
∴在S＝﹣3（m﹣）2+中，
根据二次函数的图象及性质可知，当m＝4时，△PCQ有最大值，最大值为6；
（3）的值是定值1，理由如下：
设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，
则yEH＝x﹣k，
∴令x﹣k＝﹣x2+4x，
解得，x1＝，x2＝，
∴xF＝，xE＝，
令x﹣k＝﹣x2+10x﹣18，
解得，x1＝，x2＝，
∴xH＝，xG＝，
∴ME＝xG﹣xE＝﹣＝3，
FN＝xH﹣xF＝﹣＝3，
分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，交点分别为M，N，Q，
则∠HFN＝∠GEM，∠HNF＝∠GME＝90°，
∴△GEM∽△HFN，
∴＝，
∴＝＝＝1，
∴的值是定值1．
生产甲产品数（件）
生产乙产品数（件）
所用时间（分钟）
10
10
350
30
20
850
生产甲产品数（件）
生产乙产品数（件）
所用时间（分钟）
10
10
350
30
20
850