2020届重庆南开中学高三下学期第九次质检文科数学试卷

2020届重庆南开中学高三第九次教学质量检测考试

数  学（文科）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．

A． B． C． D．

2．设复数，则

A． B． C． D．

3．用列举法表示集合，则下列表示正确的是

A． B． C． D．

4．已知，则下列不等式一定成立的是

A．  B．

C．  D．

5．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯，侯、公，共五级．若要给有巨大贡献的2人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则两人被封同一等级的概率为

A． B． C． D．

6．已知直线l，m和不重合的平面，，，以下为的充分条件的是

A．，  B．，

C．，  D．内有不共线的三点到的距离相等

7．已知函数，则不等式的解集为

A． B． C． D．

8．为迎接学校的文艺汇演，某班准备编排一个小品，需要甲、乙、丙、丁四位同学扮演主角、配角、小生、快递员四个角色，他们都能扮演其中任意一个角色，下面是他们选择角色的一些信息：①甲和丙均不扮演快递员，也不扮演配角；②乙不扮演配角；③如果甲不扮演小生，那么丁就不扮演配角．若这些信息都是正确的，由此推断丙同学选择扮演的角色是

A．主角 B．配角 C．小生 D．快递员

9．以双曲线右焦点为圆心，与双曲线的渐近线相切的圆方程为

A．  B．

C．  D．

10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点，其纵坐标满足，，则函数的解析式为

A． B．

C． D．

11．疫情期间，某医药公司用A、B两种原材料生产甲、乙两类抗病毒药物，每生产一件甲药需要4个单位A材料，耗时1小时，每生产一件乙药需要4个单位B材料，耗时2小时，该厂每天最多可以从原材料厂家进货16个单位A材料和12个单位B材料，若生产一件甲药可以获利2万元，生产一件乙药可以获利3万元，每天工作时间按8小时计算，需合理安排两种药物的生产以获得最大利润，则每天的最大利润是

A．12万元 B．13万元 C．14万元 D．15万元

12．已知P是函数图象上的动点，点，，O为坐标原点，若存在实数，使得成立，则的最小值是

A．1 B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，的夹角为，，则_______________

14．如图，某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为_______________。

15．已知，B分别是椭圆的左焦点和上顶点，点O为坐标原点，过作垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为P，且，则椭圆C的离心率为___________.

16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，D是线段AC上一点，且，则_______________。

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）

为了打好“精准扶贫攻坚战”，某村书记打算带领该村农民种植新品种蔬菜，可选择的种植量有三种：大量种植、适量种植，少量种植．根据收集到的市场信息，得到该地区该品种蔬菜年销量频率分布直方图如下图所示．同时该书记调查了其他地区采取三种不同种植量的农民在不同市场销量等级下的平均收入如表1（表中收入单位：万元）：

但表格中有一格数据被墨迹污损，好在当时调查的数据频数分布表还在，其中大量种植的100户农民在市场销量好的情况下收入情况如表2：

（1）若该地区年销量在10千吨以下表示销量差，在10千吨至30千吨之间表示销量中，在30千吨以上表示销量好，试根据频率分布直方图计算销量分别为好、中，差的概率（以频率代替概率）；

（2）根据表2所给数据，请计算在市场销量好的情况下，大量种植的农民每户的平均收益，并补全表1．

18．（12分）

已知数列的前n项和，其中．

（1）求数列的通项公式；

（2）若为等比数列的前三项，求数列的通项公式．

19．（12分）

图1是直角梯形ABCD，，，，，，点E在DC上，，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图2．

（1）证明：平面平面ABED；

（2）求点B到平面的距离．

20．（12分）

设函数．

（1）当时，判断函数的单调性；

（2）当时，若恒成立，求的最大值．

21．（12分）

已知抛物线的焦点为F，B、C为抛物线T上两个不同的动点，当B，C过F且与x轴平行时，BC长为1．

（1）求抛物线T的标准方程；

（2）分别过B，C作x轴的垂线，交x轴于M，N，若，求BC中点的轨迹方程．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

22．（10分）．选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．

（1）求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；

（2）设曲线C与曲线交于A，B两点，求．

23．（10分）选修4-5：不等式选讲

已知，．

（1）若，求的最小值；

（2）求证．

重庆南开中学2020级高三第九次教学质量检测考试·文科数学

参考答案、提示及评分细则

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

10．解析：易知，因旋转一周用时60秒，即，

又由题意知

∴，∴

12．解析：设，由得

解得

，记，

则，所以单调递减，

所以.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13． 14． 15． 16．

16．解析：由题，

结合正弦定理、余弦定理得：

∴，从而，

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解析：（1）由频率分布直方图可知，市场销量好的概率为，

市场销量中的概率为

市场销量差的概率为

（2）在市场销量好的情况下，表2中的100户农民收入的平均值为：

（万元）

所以在市场销量好的情况下，大量种植的农民每户的平均收益为13万元，故表1如下：

18．解析：由，当时，

，两式相减得：

，

当时，，

故数列的通项公式为

（2）由（1）知，，，

所以，

，且，故，

所以等比数列的首项为，公比，

．

19．解析：（1）证明：如图，在图1中，连接AE，由已知得，

∵且，

∴四边形ABCE为菱形，连接AC交BE于点F，∴，

又∵在中，，

∴

在图2中，，∵，∴，

∴面ABED，且平面，

∴平面平面ABED;

（2）解：如图

连接DF，则在中易知

所以中，，

故中，，

取AD中点N，则且

∴

设点B到平面的距离为h，在三棱锥中，

，即

所以

即点B到平面的距离为．

20．解析：（1）当时，函数为，

，

令得，判断知：

当时，故在单调递减，

当，，故在单调递增；

（2）当时，原不等式等价于恒成立，

令，

∴

当时，时，

，，不满足题意

当时，由得，

且当时，单调递减；

当时，单调递增，

故当，

故只需

∴

∴，故的最大值为0．

21．解析：（1）由题意当BC过F且与x轴平行时，有，，

则，∴抛物线T的方程为；

（2）设，设BC与y轴交于点，则

，

故由得：

∴，或者

即或

设BC的中点，则

①当时，由得：，∴

②当时，同理可得：，

故BC中点的轨迹方程为或

22．解：（1）由于C的极坐标方程为

由，得：

当时，．

当时，

则曲线C与极轴所在直线围成图形是半径为1的圆周及一个两直角分别为1与的直角三角形，

∴围成图形的面积

（2）由得，其直角坐标，

化直角坐标方程为，

化直角坐标方程为，

∴，∴.

23．解：（1）

当且仅当：，即，且

故，时取等．

（2）证明：因为：，

所以成立.