专题1.3 极值点偏移第一招——不含参数的极值点偏移问题-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）

函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.

例.（2010天津理）已知函数 ，如果，且.

证明：

构造函数，

则，

所以在上单调递增，，

也即对恒成立.

由，则，

所以，

即，又因为，且在上单调递减，

所以，即证学&科网

法三：由，得，化简得…，

不妨设，由法一知，.[来源：Z+xx+k.Com]

令，则，代入式，得，

反解出，学科#网

则，故要证，[来源：学,科,网Z,X,X,K]

即证，

又因为，等价于证明：…，

构造函数，则，

故在上单调递增，，

从而也在上单调递增，，学&科网

[来源:Zxxk.Com]

构造，

则，

又令，则，

由于对恒成立，故，[来源:Zxxk.Com]

在上单调递增，

所以，从而，

故在上单调递增，[来源：学*科*网Z*X*X*K]

由洛比塔法则知：，

即证，即证式成立，也即原不等式成立.

【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.学科*网

例.（2013湖南文）已知函数，证明：当时，[来源：学科网ZXXK]

【解析】易知，在上单调递增，在上单调递减. 学&科网

招式演练：

★已知函数，正实数满足.

证明：.[来源：学科网]

【解析】由，得

从而，

令，构造函数，

得，可知在上单调递减，在上单调递增，学&科网

所以，也即，

解得：.

★已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若方程 有两个相异实根，，且，证明：.

【答案】（Ⅰ）在(0,1)递增， 在(1,+ 递减；（Ⅱ）见解析学科@网

（2）由(1)可设的两个相异实根分别为，满足

且，                 

由题意可知                              

又有(1)可知在递减

故                                                         

所以，令

[来源:Zxxk.Com]

新题试炼：

【2019福建福州质检】已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；[来源:学科网ZXXK]

（2）函数与函数的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，.

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）求证：.

【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）见解析

【解析】（1）解：由已知得，

∴∴，又∵，

曲线在点处的切线方程为：.

（2）（ⅰ）令 ，

∴，

由得，；由得，易知，为极大值点，

又时，当时，

即函数在时有负值存在，在时也有负值存在.

由题意，只需满足，学科*网

∴的取值范围是：

【2019北京八中期中】已知函数 f (x) = x e−x (xR)

（Ⅰ）求函数 f (x)的单调区间和极值； [来源:Z|xx|k.Com]

（Ⅱ）若x(0, 1), 求证：f (2 − x) > f (x)；

（Ⅲ）若x1(0, 1), x2(1, +∞), 且 f (x1) = f (x2), 求证：x1 + x2 > 2.

【答案】（1）在()内是增函数, 在()内是减函数.在处取得极大值且（2）见解析(3)见解析

【解析】=（1﹣x）e﹣x

令，则x=1

当x变化时，，f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数

∴f（x）在x=1处取得极大值；

(Ⅲ) 证明：∵

∴

由(Ⅱ)得：

∵

∴

∵在()内是减函数

∴，即