专题2.11 已知不等恒成立，分离参数定最值-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）

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【题型综述】不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。分离函数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。 俗话说，形缺数时难入微。【典例指引】例1  己知函数.（1）若函数在处取得极值，且，求；（2）若，且函数在上单调递増，求的取值范围.法二（直接化为最值＋分类讨论）：令，.令，①当时，，所以，即在上单调递减.而，与在上恒成立相矛盾.②当时，则开口向上(方案一）：Ⅰ.若，即时，,即，所以在上递增，所以，即.Ⅱ.若，即时，此时，不合题意.[来源:Zxxk.Com]法三（缩小范围＋证明不等式）：令，则.另一方面，当时，则有，令，开口向上，对称轴，故在上为增函数，所以在上为增函数，则，故适合题意.学科&网例2. (2016全国新课标Ⅱ文20)己知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.法二（直接化为最值）：在恒成立，则 (导函数为超越函数）；在为增函数，则（1）当即时，则(当且仅当时，取“”)，故在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意.（2）当即 时，则，且，故在有唯一实根，则在为减函数，在增函数，又有，则存在,使得，故不适合题意.综上，实数的取值范围为.学科&网法三（分离参数）：在恒成立在恒成立（端点自动成立），则设，令在为增函数，则在为增函数，又因，故实数的取值范围为法四（缩小范围）：在恒成立，且，则存在，使得在上为增函数在上恒成立，令.又当时，在为增函数，则(当且仅当(当且仅当时，取“”)，故在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意.综上，实数的取值范围为.学科&网点评：当端点刚好适合题意时，则分离参数法一般会用到传说中的洛必达法则，缩小范围则可利用端点值导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教学大纲要求的嫌疑。2.(重庆市2015届一诊理20)已知曲线在点处的切线的斜率为1；（1）若函数在上为减函数，求的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.当时，在上单减，上单增，而，矛盾；综上，.法二（分离参数）在上恒成立（端点自动成立）设，令[来源:学科网ZXXK]在上为减函数，则在上为减函数，又因，故实数的取值范围为（2）若时，则，故在上单减，上单增，而，矛盾；学科&网综上，实数的取值范围为点评：（1)在端点处恰好适合题意，分离参数所得函数却在时得到下确界，值得留意.（2）缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性，则需要分类讨论，这时可以减少分类的层级数，缩短解题步骤。 （3）构造反例，寻找合适的特殊值，具有很强的技巧性。因函数分解为二次函数与对数函数之和，故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点，对数函数的零点为，而二次函数的零点为及，又知当时，零点，故易得，从而导出矛盾。【扩展链接】洛必达法则简介：法则1  若函数和满足下列条件：（1) 及；（2）在点的去心邻域内，与可导，且；（3），那么. 法则2  若函数和满足下列条件：（1) 及；（2），和在与上可导，且；（3），那么.法则3  若函数和满足下列条件：（1) 及；（2）在点的去心邻域内，与可导且；（3），那么.利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①将上面公式中的换成洛必达法则也成立。②洛必达法则可处理型。③在着手求极限以前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。④若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。【新题展示】1．【2019江西上饶联考】已知函数．当时，求函数的单调增区间；若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；若，且对任意，，，都有，求实数a的最小值．【思路引导】把代入函数解析式，求其导函数，由导函数大于0求函数的单调增区间；求原函数的导函数，由函数在上是增函数，说明其导函数在上大于等于0恒成立，在导函数中x与恒大于0，只需对恒成立，则a可求；由知，当时在上是增函数，任取，，且规定，则不等式可转化为恒成立，引入函数，说明该函数为增函数，则其导函数在上大于等于0恒成立，分离变量后利用基本不等式可求a的最小值．【解析】当时，，则 令，得，即，解得：或．因为函数的定义域为，所以函数的单调增区间为．因为，由知函数在上是增函数．因为，，，不妨设，所以由恒成立，可得，即恒成立．令，则在上应是增函数  所以对恒成立．即对恒成立．即对恒成立因为当且仅当即时取等号，所以．所以实数a的最小值为．2．【2019安徽安庆上学期期末】已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）对于任意且时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】（1）对f（x）求导，分和，确定导函数的正负，从而判断函数的单调性；（2）由题意原不等式可变形为恒成立，构造函数，原题转化为在上为单调增函数，即对恒成立，分离参数得到，利用导数研究不等式右边函数的最值即可．【解析】（2）∵恒成立，∴恒成立，令题意即为恒成立，而，故上述不等式转化为在上为单调增函数，即对恒成立；，题意即为不等式对恒成立，即对恒成立，则令，，在上为增函数，且；于是在上有，在上有，即函数在上为减函数，在上为增函数，所以在处取得最小值，因此，故实数的范围为3．【2019黑龙江大庆二模】已知函数.（Ⅰ）若点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线距离的最小值；（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】（I）先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数对应图像上与平行的切线方程，利用两平行线间的距离公式求得到直线距离的最小值.（II）（1）构造函数，利用的导函数，对分类讨论函数的单调性，结合求得的取值范围. （2）将分类常数，转化为，利用导数求得的最小值，由此求得的范围.结合（1）（2）可求得的的取值范围.[来源:Z。xx。k.Com]【解析】（Ⅱ）（1）当，恒成立时，设， .①当即时，，，，所以，即在上是增函数.又，即，∴时满足题意.②当即时，令.因为，所以存在，使.当时，，即，在上是减函数，，∴时，不恒成立；4．【2019江西宜春上学期期末】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值.【思路引导】（1）将函数代入中，并对求导，讨论导函数的正负即可得到的单调性；（2）参变分离，可将不等式转化为对任意恒成立，令，则，求出即可。【解析】（1）依题意可得，．①若,在单调递增；②若令则，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，（2）当时，．∵，∴原不等式可化为，即对任意恒成立．令，要使其恒成立，则，则，【同步训练】1．已知函数. （1）若，求证：当时，；（2）若存在，使，求实数的取值范围.[来源:学.科.网Z.X.X.K]【思路引导】(1)由题意对函数求导，然后构造函数，结合函数的性质即可证得题中的结论；(2)结合题意构造函数，结合其导函数的性质可得实数a的取值范围是.设h（x）=（x≥e），则h’（x）=u=lnx-，u’=在[e，+∞）递增。x=e时，u=1-＞0，所以u＞0在[e,+00）恒成立，h’（x）＞0，在[e,+00）恒成立，所以h（x）[e,+∞）递增x≥e，时h（x）min=h（e）=ee需ea＞eea＞e学科&网2．已知， 是的导函数．（Ⅰ）求的极值；[来源:学科网]（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）求函数f（x）的导数g（x）,再对g(x)进行求导g’(x),即可求出的极值；（Ⅱ）讨论以及时，对应函数f（x）的单调性，求出满足在时恒成立时a的取值范围．【详细解析】当时，由（）可得（）.，故当时， ，于是当时， ， 不成立.综上， 的取值范围为．学科&网3．已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设函数．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．【思路引导】(Ⅰ) 求出，可得切线斜率，根据点斜式可得切线方程；（Ⅱ）讨论三种情况，分别令得增区间， 得减区间； （Ⅲ）对于任意，都有成立等价于恒成立，利用导数研究函数的单调性，求出其最大值，进而可得结果.【详细解析】（3）当，即时， 在上恒成立，所以函数的增区间为，无减区间.           综上所述：当时，函数的增区间为， ，减区间为；当时，函数的增区间为， ，减区间为；当时，函数的增区间为，无减区间.           因为当时， ，所以在上单调递增.所以.                所以.              所以.      4．已知函数，.(Ⅰ)当时，求证：过点有三条直线与曲线相切；(Ⅱ)当时，，求实数的取值范围.【思路引导】(1)，设直线与曲线相切，其切点为，求出切线方程，且切线过点，可得，判断方程有三个不的根，则结论易得；(2) 易得当时，，设，则，设，则，分、两种情况讨论函数的单调性并求出最小值，即可得出结论；法二：(1)同法一得，设，求导判断函数的单调性，判断函数的零点个数，即可得出结论；(2)同法一.【详细解析】 (Ⅱ)当时，，即当时，当时，，学科&网设，则，设，则.(1)当时，，从而(当且仅当时，等号成立)在上单调递增，又当时，，从而当时，，在上单调递减，又，从而当时，，即于是当时，， 在上单调递增，又，从而当时，，即学科&网于是当时，，综合得的取值范围为.当变化时，变化情况如下表：极大值极小值恰有三个根，故过点有三条直线与曲线相切.(Ⅱ)同解法一. 5．已知函数（）.（1）当曲线在点处的切线的斜率大于时，求函数的单调区间；（2）若 对恒成立，求的取值范围.（提示：）【思路引导】(1)考查函数的定义域，且 ，由，得.分类讨论：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为.(2)构造新函数，令 ，，则 ，，分类讨论：①当时，可得.②当时， .综上所述，.【详细解析】②当时，令，得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，取得最大值.故只需，即 ，化简得 ，所以在上单调递增，又，，所以，，所以在上单调递减，在上递增，而， ，所以上恒有，即当时， .综上所述，.学科&网6．已知函数在点处的切线方程为,且.(Ⅰ)求函数的极值；(Ⅱ)若在上恒成立，求正整数的最大值.【思路引导】(Ⅰ)由函数的解析式可得，结合导函数与极值的关系可得，无极大值.(Ⅱ)由题意结合恒成立的条件可得正整数的最大值是5.【详细解析】 .∴在区间上递增，在区间上递减，又∵∴当时，恒有；当时，恒有；∴使命题成立的正整数的最大值为.学科&网7．已知函数， ，其中， .（1）若的一个极值点为，求的单调区间与极小值；（2）当时， ， ， ，且在上有极值，求的取值范围.【思路引导】（1）求导,由题意,可得,下来按照求函数的单调区间与极值的一般步骤求解即可;（2）当时， ，求导,酒红色的单调性可得,进而得到.又， ，分类讨论,可得或时， 在上无极值.若，通过讨论的单调性，可得 ，或 ，可得的取值范围.【详细解析】 的单调递增区间为，单调递减区间为， .的极小值为. 8．已知函数.(1)求函数的图象在处的切线方程；(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)设， ，证明： .【思路引导】(1) 求导,易得结果为;(2) 原不等式等价于,令,,令,分, ,三种情况讨论函数的单调性,则可得结论;(3) 利用定积分求出m的值,由(2)知,当时, ,则, 令, ,求导并判断函数的单调性,求出, 即在上恒成立, 令,则结论易得.【详细解析】且时， ，∴递增，∴ (不符合题意)综上： . 9．已知函数， 为自然对数的底数).(1)讨论函数的单调性；(2)当时， 恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】(1) ，分、两种情况讨论的符号，则可得结论；(2) 当时，原不等式可化为，令，则，令，则，进而判断函数的单调性，并且求出最小值，则可得结论.【详细解析】 (1) ①若， ， 在上单调递增；②若，当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增10．设函数.（1）当时,求函数在点处的切线方程；（2）对任意的函数恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】（1）把代入函数解析式，求导后得到函数在点处的切线的斜率，然后利用直线方程的点斜式得答案；（2）由，得，求出函数的导函数，导函数在处，的导数为零，然后由导函数的导函数在上大于零求得的范围，就是满足函数恒成立的实数的取值范围.【详细解析】（1）当时,由，则    函数在点处的切线方程 为    即  [来源:学科网] 11．设函数，其中， 是自然对数的底数.（Ⅰ）若是上的增函数，求的取值范围；（Ⅱ）若，证明： .【思路引导】（I）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得的最小值，由此得到的取值范围；（II）将原不等式，转化为，令，求出的导数，对分成两类，讨论函数的最小值，由此证得，由此证得.【详细解析】（Ⅱ） .令（），以下证明当时， 的最小值大于0.求导得 .①当时， ， ；②当时， ，令，则 ，又 ，取且使，即，则 ， 12．已知函数（）与函数有公共切线．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若不等式对于的一切值恒成立，求的取值范围．【思路引导】（1）函数与有公共切线， 函数与的图象相切或无交点，所以找到两曲线相切时的临界值，就可求出参数的取值范围。（2）等价于在上恒成立，令，x>0,继续求导，令，得。可知的最小值为>0,把上式看成解关于a的不等式，利用函数导数解决。【详细解析】[来源:Z#xx#k.Com]（Ⅰ），．∵函数与有公共切线，∴函数与的图象相切或无交点．当两函数图象相切时，设切点的横坐标为（），则，（Ⅱ）等价于在上恒成立，令，因为，令，得， 极小值  所以的最小值为，令，因为，令，得，且[来源:学科网ZXXK][来源:Zxxk.Com] 极大值 所以当时，的最小值，当时，的最小值为 ，所以．综上得的取值范围为．13．已知函数，.（1）求证：（）；（2）设，若时，，求实数的取值范围.【思路引导】（1）即证恒成立，令求导可证；（2），．又 ，因为时，恒成立，所以，所以只需考虑。又，所以下证符合。【详细解析】②当时，[来源:学科网ZXXK]