专题1.5 双重最值问题的解决策略-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

玩转压轴题，突破140分之高三数学选择题、填空题高端精品

一、方法综述

形如求等的问题称为“双重最值问题”．按其变元的个数可分为一元双重最值问题和多元双重最值问题．在本文中，提供一个常用的结论，取不同的值可得到很多命题．一个结论：设，，，，为正常数，则

（1）；

（2）．

证明：设，则，，，

所以，

当且仅当时取等，即．

二、解题策略

一、一元双重最值问题

1．分段函数法：分类讨论，将函数写成分段函数形式，求函数值域即可．

例1．对于a，bR，记Max｛a，b｝= ，函数f（x）=Max｛，｝（xR）的最小值是（    ）

(A)．       (B)．1      (C)．     (D)．2

【答案】C

【解析】f（x）=Max｛，｝=，其图象如下图，故答案为．

2．数形结合法：分别画出几个函数图象，结合图象直接看出最值点，联立方程组求出最值．

例2．已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8．设H1(x)＝max，H2(x)＝min (max表示p，q中的较大值，min表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝(　　)[来源:学科网]

A．16    B．－16

C．a2－2a－16    D．a2＋2a－16

【答案】B

（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；

（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），

故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，

∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．故选B．

【解题秘籍】熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键．学&科网

二、多元一次函数的双重最值问题

1．利用不等式的性质

例3．设（，，，，），，，求的最小值．

2．利用绝对值不等式

例4．求函数在区间上的最大值的最小值．

解：注意到，且，

所以，当且仅当，即时，取得最小值．

3．利用均值不等式

例5．设max{f(x)，g(x)}=，若函数n(x)=x2+px+q(p，q∈R)的图象经过不同的两点（，0）、（，0），且存在整数n使得n<<<n+1成立，则（     ）

A．max{n(n)，n(n+1)}>1                    B．max{n(n)，n(n+1)}<1

C．max{n(n)，n(n+1)}>                   D．max{n(n)，n(n+1)}>

【答案】B

4．利用柯西不等式

例6．若，，且，求．

解：设，

则，，，由柯西不等式得

，

当且仅当取等，即．

5．分类讨论

例7．若，，求的值．

解：设，则，，，

①当时，，，当且仅当时取等；

②当时，，，当且仅当时取等．

综上，，当且仅当时取等，即．

6．待定系数法

例8．若，，求的值．

7．构造函数

例9．设，，，（），求．

解：注意到为次函数且，联想到三倍角公式，

因此先构造特殊函数，，若设，，

则，从而，

当且仅当，，，，即或时取等，故猜测．

设，注意到（可用待定系数法求得），

故，

即，考虑到，时，，故．

8．利用韦达定理

例10．若，，且，，求．

解：注意到，，的对称性，故可设，又，，[来源:Zxxk.Com]

所以方程有两个不大于的实根，故

，当，时，．

9．数形结合

例11．【2019山西实验中学月考一】设f（x）=min{2x，16﹣x，x2﹣8x+16}（x≥0），其中min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则f（x）的最大值为（　　）

A．6    B．7    C．8    D．9

【答案】D

【解析】画出y＝2x，y＝16﹣x，y＝x2﹣8x+16的图象，

观察图象可知，当x≤2时，f（x）＝2x，当2<x<7时，f（x）＝x2﹣8x+16，

当x7时，f（x）＝16﹣x，f（x）的最大值在x＝7时取得为9，故选D．

三、强化训练

1．【2019广东中山一中第一次段考】已知定义在上的函数在上是减函数，当时，的最大值与最小值之差为，则的最小值为（   ）

A．    B．1    C．    D．2

【答案】B

2．【2019湖南衡阳一中10月月考】已知 =min{}，则的值域是（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】，在同一坐标系中分别作出，，的图象，则，，的图象都过点，如图所示：

则由图象可知函数的值域为，故选．

3．记min{a，b}为a，b两数的最小值．当正数x，y变化时，令，则t的最大值为________．

【答案】

4．已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．

【答案】

【解析】f(x)＝

当x≥1时，f(x)＝ex≥e(x＝1时，取等号)；当x<1时，f(x)＝e|x－2|＝e2－x>e，因此x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝e．[来源:学科网]

5．【2019浙江杭州学军中学期中考】设max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{|x|，|x-t|}关于x=1对称，则t=______．

【答案】2[来源:学&科&网Z&X&X&K]

【解析】f（x）＝max{|x|，|x﹣t|}，由函数y＝|x|的图象关于x＝0对称，函数y＝|x﹣t|的图象关于x＝t对称，即有函数f（x）的图象关于x对称，f（x）＝max{|x|，|x﹣t|}关于x＝1对称，

即有1，求得t＝2，故答案为：2．学&科网

6．【2018广东汕头模拟】定义为中的最大值，函数的最小值为，如果函数在上单调递减，则实数的范围为__________

【答案】

7．对任意两实数a、b，定义运算“max{a，b}”如下：max{a，b}=，则关于函数，下列命题中：

①函数f（x）的值域为[，1]；②函数f（x）的对称轴为， ；③函数f（x）是周期函数； ④当且仅当x=2kπ（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值1； ⑤当且仅当时，f（x）＜0；   正确的是______________________ （填上你认为正确的所有答案的序号）

【答案】①②③

8．【2015浙江高考】设，在上的最大值为，

求证：当时，．

【解析】，所以．

9．设，若对任意的，存在使得，求的最大值．[来源:学§科§网]

【解析】由题意即为的最大值．

，

等号当且仅当或时成立，又，所以，的最大值为．

10．若，，，求的值．

【解析】设，则，，，

，

当且仅当时取等，即时，．

11．设，求的最小值．

【解析】

12．若实数，，满足，，求．

【解析】

注意到，，的对称性，不妨设，由，可知

方程有两个不大于的根，从而，

当且仅当时取等，故．

13．设，，求的值．

【解析】设，则，，，

设，

令且，

则，

故，当且仅当，即，时取等．

14．设（），求．

【解析】 15．设，求的最小值．

【解析】

令，，

所以，，，此时，

，当且仅当，时，．

16．设（），求．

【解析】当且仅当，即时取等，即．学&科网