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专题1.4 多元问题的最值问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)(解析版)
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这是一份专题1.4 多元问题的最值问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)(解析版),共12页。试卷主要包含了方法综述,解题策略,强化训练等内容,欢迎下载使用。
一、方法综述多元函数的最值问题就是在多个约束条件下,某一个问题的最大和最小值.在所列的式子之中,有多个未知数.求解多元函数的最值问题技巧性强、难度大、方法多,灵活多变,多元函数的最值问题蕴含着丰富的数学思想和方法.解题办法常有:导数法、消元法、基本不等式法、换元法、数形结合法、向量法等.二、解题策略类型一 导数法例1.【2019福建三明上学期期末考】若不等式对任意恒成立,则实数的值为( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C 在上单调递减,在上单调递增,∴,即对任意恒成立,同理可证:对任意恒成立,∴即,∴,故选C.学#科网【举一反三】【2019福建福州第一学期质量抽测】已知函数,对于任意,,恒成立,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A类型二 消元法例2.【2019四川攀枝花期末考】已知函数,若方程有四个不等实根,不等式恒成立,则实数的最大值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】当2<x<4时,0<4﹣x<2,所以f(x)=f(4﹣x)=|ln(4﹣x)|,由此画出函数f(x)的图象,由题意知,f(2)=ln2,故0<m<ln2,且x1<x2<x3<x4,x1+x4=x2+x3=4,x1x2=1,(4﹣x3)(4﹣x4)=1,,由,可知,,得,设t=x1+x2,则,又在上单调递增,所以,∴,即,∴实数的最大值为,故选B.学科*网【解题秘籍】题设条件中变量较多,但可以把看成整体,从而把问题转化为求一元函数的最值.[来源:学|科|网]【举一反三】1.【2019合肥一模】已知函数有两个不同的极值点,若不等式恒成立,则实数的取值范围是( ).A. B. C. D.【答案】A2.【2018河北省廊坊市第八高级中学模拟】若对任意的实数,都存在实数与之对应,则当时,实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设有,令,则,所以,当时,,在为增函数;当时,,在为减函数,所以,注意到当时,,故选D.类型三 基本不等式法例3.【2019湖北1月联考】在中,角、、的对边分别是、、,若,则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】D【解题秘籍】本题主要考查了正弦定理,同角三角函数间基本关系,基本不等式在解三角形中的综合应用,考查了转化思想.【举一反三】【2019湖南五市十校12月联考】已知正实数,,满足,则当取得最大值时,的最大值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由正实数,,满足,得,当且仅当,即时,取最大值,又因为,所以此时,所以 ,故最大值为1【解题秘籍】在利用基本不等式求最值时,要根据式子特征灵活变形,然后再利用基本不等式,要注意条件:一正二定三相等.类型四 换元法例4.【2019山东济南期末考】已知函数,若对任意,不等式恒成立,其中,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】作出函数的图象,由图像可知:函数在R上单调递减,,学科#网即,由函数在R上单调递减,可得:,变量分离可得:,令,则,又,∴,∴,故选B.【举一反三】【2018四川广元统考】若正项递增等比数列满足,则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】C∴当,即时,有最小值,且.∴的最小值为.故选C.三、强化训练1.【2019江西宜丰中学月考二】已知,且,若恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C2.【2019天津一中期中考】已知函数,若对任意,总存在,使得,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为对任意,总存在,使得,所以,因为当且仅当时取等号,所以,因为,所以,选C.3.【2019浙江台州统考】已知函数,若对任意,总存在,使得,则的取值范围是( )[来源:Zxxk.Com][来源:学*科*网Z*X*X*K]A. B. C. D.【答案】C【解析】对∀x1∈[1,2],∃x2∈[1,4],使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)min.f(x)==+,换元令t=∈[,1],h(t)=t+t2知h(t)在(﹣,+∞)上单调递增,所以f(x)min=h()=;g(x)=log2x+m,在x∈[1,4]上为单调增函数,故g(x)min=g(1)=m,所以m≤,故选C.4.【2019广西百色摸底调研】若直线:被圆截得的弦长为4,则当取最小值时直线的斜率为( )A.2 B. C. D.【答案】A【解析】圆x2+y2+2x﹣4y+1=0是以(﹣1,2)为圆心,以2为半径的圆,学&科网又∵直线ax﹣by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0所截得的弦长为4,∴直线过圆心,∴a+2b=2,∴=()(a+2b)=(4++)≥(4+4)=4,当且仅当a=2b时等号成立,∴k=2,故选A.5.【2019重庆西大附中月考】已知函数,,若成立,则的最小值是( )A. B. C. D.【答案】A6.【2019湖北、山东一联】在中,角的对边分别为,若,则当取最小值时,=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因为,由正弦定理及余弦定理得:,整理得:,又,当且仅当,即时取等号,故选B.7.【2019新疆昌吉模拟】在1和17之间插入个数,使这个数成等差数列,若这个数中第一个为,第个为,当取最小值时,的值为( )A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】由已知得,则,所以当且仅当时取等号,此时,,可得.故选D.学科#网8.【2019广东六校一联】抛物线上有一动弦,中点为,且弦的长度为,则点的纵坐标的最小值为( )A. B. C. D.【答案】A9.【2019浙江镇海中学上学期期中考】已知正项等比数列满足,若存在两项,使得,则的最小值为( )[来源:学科网ZXXK]A. B. C. D.【答案】B10.【2019安徽皖中名校10月联考】在中,点是上一点,且,为上一点,向量,则的最小值为( )A.16 B.8 C.4 D.2【答案】A【解析】由题意可知:,其中B,P,D三点共线,由三点共线的充分必要条件可得:,则:,当且仅当时等号成立,[来源:学,科,网]即的最小值为16,故选A.学科#网11.【2019山东青岛零模】已知函数在点处的切线为,动点在直线上,则的最小值是( )A.4 B.2 C. D.【答案】D【解析】由题得所以切线方程为即,故选D.12.【2019上海交大附中10月月考】定义域为的函数图像的两个端点为,向量,是图像上任意一点,其中,.若不等式恒成立,则称函数在上满足“范围线性近似”,其中最小的的正实数称为该函数的线性近似阈值.下列定义在上函数中,线性近似阈值最小的是( )A. B. C. D.【答案】D 13.【2019江苏南师大附中第一学期期中考】己知实数x,y,z[0,4],如果x2,y2,z2是公差为2的等差数列,则的最小值为_______.【答案】4-2【解析】由于数列是递增的等差数列,故,且,故, ,而函数在上为增函数,故当时取得最大值为,所以.14.【2019江苏盐城、南京一模】若正实数、、满足,,则的最大值为________.【答案】【解析】由,,解得,,,,.15.【2019陕西榆林一模】已知正数满足,则的最小值为__________.【答案】【解析】∵正数x,y满足x2+y2=1,令z0,可得z2=22+24,当且仅当即x=y时取等号,而由题意可得1=x2+y2≥2xy可得2,当且仅当x=y时取等号,∴z2≥4+4=8,∴z≥2,当且仅当x=y时取等号,∴的最小值为2,故答案为:.学*科网16.【2019辽宁沈阳东北育才模拟】已知对满足的任意正实数x,y,都有,则实数a的取值范围为______.【答案】(﹣∞,]17.【2019江苏清江中学二模】在中,设角的对边分别是若成等差数列,则的最小值为________.【答案】【解析】由题得,所以,所以因为所以 故答案为:.18.【2019广东深圳宝安区零模】定义在上的函数满足,且当 若任意的,不等式恒成立,则实数的最大值是 ____________.【答案】
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