北京市丰台区2021届高三年级二模考试数学试题及答案

丰台区2021届高三年级二模考试

数学试卷

2021.04

本试卷满分共150分  考试时间120分钟

注意事项：

1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

（1）在复平面内，复数对应的点位于

（2）下列函数中，在区间上单调递增的是

（3）已知向量，若，则

（4）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为，则

（5）已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题中正确的是

（6）“”是“直线与直线相互垂直”的

（7）已知双曲线的渐近线与圆相切，则

（8）将函数的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则

（9）某中学举行“十八而志,青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是

（10）如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中．和分别是“果圆”与轴，轴的交点．给出下列三个结论：

① ；

② 若，则；

③ 若在“果圆”轴右侧部分上存在点，

使得，则.

其中，所有正确结论的序号是

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

（11）函数的值域为_____．

（12）能够说明“若均为正数，则”是假命题的一组整数的值依次为_____．

（13）已知点为抛物线上的点，且点到抛物线焦点的距离为3，则_____．

（14）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在中，若，则_____．

图1                   图2

（15）函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：

①          ；

②          是函数的周期；

③          函数在区间上单调递增；

④          函数所有零点之和为．

其中，正确结论的序号是_____．

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

（16）（本小题13分）

已知数列中，，且满足         .

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和.

从①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

（17）（本小题14分）

某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：，，…，，整理得到如下频率分布直方图．

根据所得的满意度的分数，将用户的满意度分为两个等级：

（Ⅰ）从使用该软件的用户中随机抽取1人，估计其满意度的等级为“满意”的概率；

（Ⅱ）用频率估计概率，从使用该软件的所有用户中随机抽取2人，以表示这2人中满意度的等级为“满意”的人数，求的分布列和数学期望．

（18）（本小题14分）

如图，在多面体中，四边形和都是直角梯形，，，，，，点为棱上一点，平面与棱交于点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值．

（19）（本小题15分）

已知函数．

（Ⅰ）若，求的最小值；

（Ⅱ）求函数的单调区间．

（20）（本小题15分）

已知椭圆，过点的直线交椭圆于点．

（Ⅰ）当直线与轴垂直时，求；

（Ⅱ）在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求点的坐标及的值；若不存在，说明理由．

（21）（本小题14分）

设数集满足：①任意,有；②任意,有或，则称数集具有性质.

（Ⅰ）判断数集是否具有性质，并说明理由；

（Ⅱ）若数集且具有性质.

(ⅰ)当时，求证：是等差数列；

(ⅱ)当不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11．          12．1,2（答案不唯一）      13．

14．               15．①③④

三、解答题（共6小题，共85分）

16.（本小题13分）

解：选①

（Ⅰ）因为,

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.

所以.

所以数列的通项公式为.

（Ⅱ）,

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.

所以.………………………13分

选②

（Ⅰ）因为,

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.

所以.

所以数列的通项公式为.

（Ⅱ）,

所以

.………………………13分

选③

（Ⅰ）因为,

所以.

两式相减得,

即.

又因为

所以数列是常数列.

所以数列的通项公式为.

（Ⅱ）,

所以.………………………13分

17. （本小题14分） 

解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中的频率为：，

所以从使用该软件的用户中随机抽取1人，其满意度的等级为“满意”的概率约为.

（Ⅱ）用频率估计概率，则“满意”的概率为， “不满意”的概率为.

的所有可能取值为0,1,2.      

； 

；      

所以的分布列为

数学期望    …………………………………………14分

（18）（本小题14分）

（Ⅰ）证明：因为，

所以，.

因为，平面，

所以平面．…………………4分

（Ⅱ）证明：因为，，

所以.

因为，

所以四边形是平行四边形.

所以.

因为平面，平面，

所以平面.

因为平面，平面平面，

所以．…………………8分

（Ⅲ）解：因为，，，所以如图建立空间直角坐标系，

由,可知，，，，，，，,

设，

则

，

设是平面的法向量，

则，即

所以.

因为是平面的法向量，

所以.

因为，解得.

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，．

…………………14分

（19）（本小题15分）

解：（Ⅰ）函数的定义域为.

若，则，，

令，得，

随的变化，，的变化情况如下表所示

所以时，的最小值为．…………………6分

（Ⅱ）因为，

当时，，

令，得，所以，在区间上单调递增，

令，得，所以，在区间上单调递减．

当时，令，得或，

随的变化，，的变化情况如下表所示

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．

当时，因为，当且仅当时，，

所以在区间上单调递增．

当时，令，得或，

随的变化，，的变化情况如下表所示

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．

综上所述，

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为．

……………………………………15分

20. （本小题15分）

解：（Ⅰ）当直线l斜率不存在时，其方程为.

由得或

所以.

（Ⅱ）假设存在，使为定值.

①          当直线l斜率存在时，

设直线l的方程为：，

由得.

则.

所以

若为常数，只需，

解得，此时.

所以存在点，使为定值.

②当直线l与轴垂直时，

不妨设

当点坐标为时，.

综上，存在点，使为定值.……………………………15分

21. （本小题14分）

解：（Ⅰ）因为，所以数集不具有性质P；…………………………3分

（Ⅱ）（i）因为，所以.

所以，则.

因为，

所以.

所以.

所以.

因为，

所以.①

所以，.

因为，

所以.

所以.

因为，

所以.

否则，得矛盾.

，得矛盾.

所以.②

①−②得，

即.

所以.

所以是等差数列.…………………………………12分

（ii）的最大值是4.…………………………………14分