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山西省运城市2021届高三4月份模拟测试理科数学试卷（解析版）
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这是一份山西省运城市2021届高三4月份模拟测试理科数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山西省运城市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）
一、选择题（每小题5分）.
1．已知集合A＝{（x，y）|x+y＝8，x，y∈N*}，B＝{（x，y）|y＞x+1}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知角θ的终边过点（1，﹣1），＝（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
3．下列函数中，图象关于原点对称且在定义域上单调递增的是（ ）
A．f（x）＝sinx﹣2x B．f（x）＝ln（x﹣1）+ln（x+1）
C．f（x）＝ D．f（x）＝
4．如图是某次民族运动会上，几位评委为某民族舞蹈节目打出分数的茎叶图，则其中位数和众数分别是（ ）
A．84，92 B．84，84 C．86，92 D．86，84
5．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）
A．20% B．23% C．28% D．50%
6．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．2
7．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．2
9．已知函数f（x）＝8sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，若f（x）在[﹣，]上单调递增，在[，]上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A．[π，π] B．[π，π] C．[，] D．[﹣，π]
10．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．16π
11．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）＝，函数g（x）满足以下三点条件：①定义域为R；②对任意x∈R，有g（x+π）＝2g（x）；③当x∈[0，π]时，g（x）＝sinx．则函数y＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣4π，4π]上零点的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（共4小题）.
13．如果复数（a∈R）为实数，则a＝ ．
14．著名的斐波那契数列{an}：1，1，2，3，5，8，…满足a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an，n∈N*，那么1+a3+a5+a7+a9+…+a2017+a2019+a2021是斐波那契数列的第 项．
15．在（+）6的展开式中，常数项为 （用数字作答）．
16．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M为抛物线的准线上一点，且M的纵坐标为，N是直线MF与抛物线的一个交点，若，则p＝ ．
三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分
17．在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2．
（1）若∠ABD＝，求BC的长；
（2）若AC＝3，求cos∠BAD．
18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝120°，，，E、F分别是BC、A1C1的中点．
（1）证明：EF∥平面ABB1．
（2）求直线B1E与平面A1BE所成角的正弦值．
19．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等．用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（3）计分介于20分到40分之间的概率．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，点M（）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y＝kx+m（k＞0，m＞0）与椭圆C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率之和为0（其中O为坐标原点）．
①求证：直线l经过定点，并求出定点坐标；
②求△OPQ面积的最大值．
21．已知函数f（x）＝x2+1﹣asinx，x∈[0，π]，a∈R，f'（x）是函数f（x）的导函数．
（1）当a＝1时，证明：函数f（x）在区间[0，π]没有零点；
（2）若f'（x）+asinx+a≤0在x∈[0，π]上恒成立，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（α为参数），以原点为极点，以x轴为非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的普通方程与极坐标方程；
（2）若直线l的极坐标方程为，求圆C上的点到直线l的最大距离．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|2x+2|﹣5（a∈R）．
（Ⅰ）试比较f（﹣1）与f（a）的大小；
（Ⅱ）当a＝﹣5时，求函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{（x，y）|x+y＝8，x，y∈N*}，B＝{（x，y）|y＞x+1}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：A∩B中的元素满足且x，y∈N*，
由x+y＝8＞2x+1，可得且x∈N*，
故A∩B中的元素为（1，7），（2，6），（3，5），共有3个．
故选：B．
2．已知角θ的终边过点（1，﹣1），＝（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
解：因为角θ的终边过点（1，﹣1），
所以x＝1，y＝﹣1，r＝，
所以＝sinθ＝＝＝﹣．
故选：A．
3．下列函数中，图象关于原点对称且在定义域上单调递增的是（ ）
A．f（x）＝sinx﹣2x B．f（x）＝ln（x﹣1）+ln（x+1）
C．f（x）＝ D．f（x）＝
解：函数图象关于原点对称，则函数为奇函数，
B．由得x＞1，即函数的定义域为（1，+∞），定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件排除B；
C．f（﹣x）＝f（x），函数f（x）为偶函数，不满足条件，排除C；
A．f′（x）＝cosx﹣2＜0，函数为减函数，不满足条件，排除A；
故选：D．
4．如图是某次民族运动会上，几位评委为某民族舞蹈节目打出分数的茎叶图，则其中位数和众数分别是（ ）
A．84，92 B．84，84 C．86，92 D．86，84
解：由茎叶图可知各位评委的打分为：71，74，84，84，84，86，87，92，92，
故中位数和众数均为84，
故选：B．
5．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）
A．20% B．23% C．28% D．50%
解：将信噪比从1000提升至5000时，
C大约增加了
＝≈
＝≈0.23＝23%．
故选：B．
6．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．2
解：取双曲线的右焦点F（c，0），取双曲线的渐近线y＝，即bx﹣ay＝0，
依题意得，即4b2＝a2，
∴该双曲线的离心率e＝，
故选：B．
7．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解：因为a，b，c均为正实数，
则＝≤＝＝＝≤＝，
当且仅当＝2b且a＝c，即a＝b＝c时取等号，
则的最大值为．
故选：A．
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．2
解：根据三视图知，该几何体是以俯视图为底面的四棱锥P﹣ABCD，
把该棱锥放入长为2、宽为1、高为1的长方体中，如图所示；
则该四棱锥的体积为
V＝S梯形ABCD•h＝××（1+2）×1×1＝．
故选：B．
9．已知函数f（x）＝8sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，若f（x）在[﹣，]上单调递增，在[，]上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A．[π，π] B．[π，π] C．[，] D．[﹣，π]
解：∵T＝π，∴ω＝＝2，∴f（x）＝8sin（2x﹣），
当x∈[﹣，]时，2x﹣∈[﹣，]，∴＜，解得﹣＜m≤；
当x∈[，]时，2x﹣∈[m﹣，π]，∴≤m﹣＜π，解得≤m＜，
综上所述：≤m≤，
故选：B．
10．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．16π
解：根据题意知，直角三角形△ABC的面积为3．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，
若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ＝3，
即×3×DQ＝3，∴DQ＝3，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，
OA2＝AQ2+OQ2，即R2＝（）2+（3﹣R）2，∴R＝2，
则这个球的表面积为：S＝4π×22＝16π．
故选：D．
11．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解：设内层椭圆方程为（a＞b＞0），因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆，
可设成，（m＞1），
设切线的方程为y＝k1（x+a），
与联立得，，
由△＝0，则，同理，
所以，因此．
故选：B．
12．已知函数f（x）＝，函数g（x）满足以下三点条件：①定义域为R；②对任意x∈R，有g（x+π）＝2g（x）；③当x∈[0，π]时，g（x）＝sinx．则函数y＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣4π，4π]上零点的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
解：函数y＝f（x）﹣g（x）
在区间[﹣4π，4π]上零点的个数，即为y＝f（x）和y＝g（x）的图像在区间[﹣4π，4π]上的交点个数．
分别作出y＝f（x）和y＝g（x）在[﹣4π，4π]上的图像，
结合图象可得它们有6个交点，
故选：A．
二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卷中对应题号的横线上.
13．如果复数（a∈R）为实数，则a＝ ﹣2 ．
解：∵＝为实数，
∴2+a＝0，即a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．著名的斐波那契数列{an}：1，1，2，3，5，8，…满足a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an，n∈N*，那么1+a3+a5+a7+a9+…+a2017+a2019+a2021是斐波那契数列的第 2022 项．
解：因为a1＝a2＝1，
所以1+a3+a5+a7+a9+…+a2021
＝a2+a3+a5+a7+a9+…+a2021
＝a4+a5+a7+a9+…+a2021
＝a6+a7+a9+…+a2021
＝…＝a2020+a2021
＝a2022，
故答案为：2022．
15．在（+）6的展开式中，常数项为 15 （用数字作答）．
解：（+）6展开式的通项为Tr+1＝C6r，令6﹣3r＝0得r＝2，
故展开式的常数项为T3＝C62＝15．
故答案为：15
16．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M为抛物线的准线上一点，且M的纵坐标为，N是直线MF与抛物线的一个交点，若，则p＝ 3 ．
解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M为抛物线的准线上一点，且M的纵坐标为，
N是直线MF与抛物线的一个交点，若，所以N的横坐标为：，纵坐标，
可得N（，），代入抛物线方程可得：3＝2×，解得p＝3．
故答案为：3
三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分
17．在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2．
（1）若∠ABD＝，求BC的长；
（2）若AC＝3，求cos∠BAD．
解：（1）在△ABD中，由余弦定理知，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABD，
∴8＝16+BD2﹣2•4•BD•cos，化简得BD2﹣4BD+8＝0，
解得BD＝2，
∵E是BD的中点，∴BE＝BD＝，
在△ABE中，由余弦定理知，AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BE•cos∠ABD＝16+2﹣2×4××＝10，
∴AE＝，
∵＝2，∴AC＝AE＝，
由余弦定理知，cos∠BAC＝＝＝，
在△ABC中，由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC＝16+﹣2×4××＝，
∴BC＝．
（2）∵AC＝3，＝2，∴AE＝2，
∵∠AEB+∠AED＝π，
∴cos∠AEB＝﹣cos∠AED，
设BE＝DE＝x，
则＝﹣，即＝﹣，
解得x＝2，
∴BD＝2BE＝4，
在△ABD中，由余弦定理知，cos∠BAD＝＝＝﹣．
18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝120°，，，E、F分别是BC、A1C1的中点．
（1）证明：EF∥平面ABB1．
（2）求直线B1E与平面A1BE所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：取AB的中点D，连接DE、A1D，
∵E、F分别是BC、A1C1的中点，∴DE∥AC∥A1F，DE＝AC＝A1F，
∴四边形A1DEF为平行四边形，∴A1D∥EF，
∵EF⊄平面ABB1，A1D⊂平面ABB1，
故EF∥平面ABB1．
（2）解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，，∴AB＝AC＝2，
∵，∴CC1＝．
连接AE，
∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BE，
∵AB＝AC，且点E为BC的中点，∴AE⊥BE，
∵AA1、AE⊂平面A1AE，AA1∩AE＝A，∴BE⊥平面A1AE，∴BE⊥A1E．
在△A1BE中，A1E＝2，BE＝，∴＝•A1E•BE＝．
∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AE，∵CC1∥AA1，∴CC1⊥AE，
∵AE⊥BE，CC1∩BE＝C，CC1、BE⊂平面BCC1B1，∴AE⊥平面BCC1B1，即点A（或A1）到平面B1BE的距离为AE＝1．
设点B1与平面A1BE的距离为h，
∵＝，
∴h•＝AE•，即h•＝•1••，解得h＝．
设直线B1E与平面A1BE所成角为θ，
∵B1E＝＝，∴sinθ＝＝＝．
故直线B1E与平面A1BE所成角的正弦值为．
19．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等．用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（3）计分介于20分到40分之间的概率．
解：（I）解：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件，因为
所以．
（II）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5.；；；；
所以随机变量ε的概率分布为
ε
2
3
4
5
P
因此ε的数学期望为
（Ⅲ）“一次取球所得计分介于（20分）到4（0分）之间”的事件记为C，则
P（C）＝P（ε＝3）+P（ε＝4）＝
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，点M（）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y＝kx+m（k＞0，m＞0）与椭圆C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率之和为0（其中O为坐标原点）．
①求证：直线l经过定点，并求出定点坐标；
②求△OPQ面积的最大值．
解：（1）由题意可得2c＝2，+＝1，c2＝a2﹣b2，
解得：a2＝4，b2＝1，
所以椭圆的方程为：+y2＝1；
（2）①证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，整理可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
所以△＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，可得m2＜1+4k2，
x1+x2＝﹣，x1x2＝，
设直线OP，PQ，OQ的斜率为k1，k，k2，
因为直线OP，PQ，OQ的斜率之和为0，所以k1+k+k2＝0，
即++k＝++k＝3k+＝3k+m•＝＝0，
所以m2＝3，由m＞0，所以m＝，
所以直线l恒过定点（0，）；
②由①可得：|PQ|＝•＝，
原点到直线的距离d＝＝，
所以S△POQ＝|PQ|•d＝＝＝，
因为+，
当且仅当＝时，即4k2﹣2＝3，即k2＝时取等号，
所以S△POQ≤1，即△OPQ面积的最大值为1．
21．已知函数f（x）＝x2+1﹣asinx，x∈[0，π]，a∈R，f'（x）是函数f（x）的导函数．
（1）当a＝1时，证明：函数f（x）在区间[0，π]没有零点；
（2）若f'（x）+asinx+a≤0在x∈[0，π]上恒成立，求a的取值范围．
【解答】（1）证明：若a＝1，则f（x）＝x2+1﹣sinx，x∈[0，π]，
又x2+1≥1，所以x2+1﹣sinx≥0，
又f（0）＝1，f（）＝，π）＝1+π2，当x时，﹣1＜﹣sinx＜0，
所以x2+1﹣sinx0，恒成立，
所以当a＝时，函数f（x）在区间间[0，π]上没有零点．
（2）解：f′（x）＝2x﹣acosx，x∈[0，π]，
故2x﹣acosc+asinx+a≤0，
设g（x）＝2x﹣acosc+asinx+a，x∈[0，π]，
由g（0）＝0≤0，g（π）＝2a+2π≤0，
则a≤﹣π，
g′（x）＝2+asinx+acosx，
由a≤﹣π，得a＜0，
在区间[0，π]，上g′（x）单调减，2+a＝g′（0）≥g′（x）＝2+，
在区间x∈（，π），上g′（x）单调增，2+＝≤g′（x）≤g′（π）＝2﹣a，
又a≤﹣π，所以g′（0）＝2+a＜0，＝2+＜0，g′（π）＝2﹣a＞0，
故，g′（x）在区间（）上存在唯一零点区间x0，由g′（x）的单调性可知，
在区间[0，x0]上，g′（x）≤0，g（x）单调减，′
在区间[x0，π]上，g′（x）≥0，g（x）单调增，
，故a≤﹣π
（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（α为参数），以原点为极点，以x轴为非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的普通方程与极坐标方程；
（2）若直线l的极坐标方程为，求圆C上的点到直线l的最大距离．
解：（1）圆C的圆心C为，半径r＝3，
则普通方程为，∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2
其极坐标方程为，
即
（2）由得，
化为，即，
圆心到直线l的距离为，
故圆C上的点到直线l的最大距离为d+r＝5．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|2x+2|﹣5（a∈R）．
（Ⅰ）试比较f（﹣1）与f（a）的大小；
（Ⅱ）当a＝﹣5时，求函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积．
解：（I）因为f（a）﹣f（﹣1）＝|2a+2|﹣5﹣（|a+1|﹣5）＝|a+1|≥0，于是f（a）≥f（﹣1）．
当且仅当a＝﹣1时等号成立；…5分
（Ⅱ）当a＝﹣5时，，
可知函数f（x）的图象和轴围成的图形是一个三角形，
其中与轴的两个交点分别为A（﹣2，0），，
三角形另一顶点坐标为C（﹣1，﹣1），
从而△ABC面积为．…10分
注：以上各题，其他解法请酌情给分．
2021年山西省运城市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）
一、选择题（每小题5分）.
1．已知集合A＝{（x，y）|x+y＝8，x，y∈N*}，B＝{（x，y）|y＞x+1}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知角θ的终边过点（1，﹣1），＝（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
3．下列函数中，图象关于原点对称且在定义域上单调递增的是（ ）
A．f（x）＝sinx﹣2x B．f（x）＝ln（x﹣1）+ln（x+1）
C．f（x）＝ D．f（x）＝
4．如图是某次民族运动会上，几位评委为某民族舞蹈节目打出分数的茎叶图，则其中位数和众数分别是（ ）
A．84，92 B．84，84 C．86，92 D．86，84
5．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）
A．20% B．23% C．28% D．50%
6．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．2
7．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．2
9．已知函数f（x）＝8sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，若f（x）在[﹣，]上单调递增，在[，]上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A．[π，π] B．[π，π] C．[，] D．[﹣，π]
10．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．16π
11．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）＝，函数g（x）满足以下三点条件：①定义域为R；②对任意x∈R，有g（x+π）＝2g（x）；③当x∈[0，π]时，g（x）＝sinx．则函数y＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣4π，4π]上零点的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（共4小题）.
13．如果复数（a∈R）为实数，则a＝ ．
14．著名的斐波那契数列{an}：1，1，2，3，5，8，…满足a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an，n∈N*，那么1+a3+a5+a7+a9+…+a2017+a2019+a2021是斐波那契数列的第 项．
15．在（+）6的展开式中，常数项为 （用数字作答）．
16．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M为抛物线的准线上一点，且M的纵坐标为，N是直线MF与抛物线的一个交点，若，则p＝ ．
三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分
17．在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2．
（1）若∠ABD＝，求BC的长；
（2）若AC＝3，求cos∠BAD．
18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝120°，，，E、F分别是BC、A1C1的中点．
（1）证明：EF∥平面ABB1．
（2）求直线B1E与平面A1BE所成角的正弦值．
19．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等．用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（3）计分介于20分到40分之间的概率．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，点M（）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y＝kx+m（k＞0，m＞0）与椭圆C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率之和为0（其中O为坐标原点）．
①求证：直线l经过定点，并求出定点坐标；
②求△OPQ面积的最大值．
21．已知函数f（x）＝x2+1﹣asinx，x∈[0，π]，a∈R，f'（x）是函数f（x）的导函数．
（1）当a＝1时，证明：函数f（x）在区间[0，π]没有零点；
（2）若f'（x）+asinx+a≤0在x∈[0，π]上恒成立，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（α为参数），以原点为极点，以x轴为非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的普通方程与极坐标方程；
（2）若直线l的极坐标方程为，求圆C上的点到直线l的最大距离．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|2x+2|﹣5（a∈R）．
（Ⅰ）试比较f（﹣1）与f（a）的大小；
（Ⅱ）当a＝﹣5时，求函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{（x，y）|x+y＝8，x，y∈N*}，B＝{（x，y）|y＞x+1}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：A∩B中的元素满足且x，y∈N*，
由x+y＝8＞2x+1，可得且x∈N*，
故A∩B中的元素为（1，7），（2，6），（3，5），共有3个．
故选：B．
2．已知角θ的终边过点（1，﹣1），＝（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
解：因为角θ的终边过点（1，﹣1），
所以x＝1，y＝﹣1，r＝，
所以＝sinθ＝＝＝﹣．
故选：A．
3．下列函数中，图象关于原点对称且在定义域上单调递增的是（ ）
A．f（x）＝sinx﹣2x B．f（x）＝ln（x﹣1）+ln（x+1）
C．f（x）＝ D．f（x）＝
解：函数图象关于原点对称，则函数为奇函数，
B．由得x＞1，即函数的定义域为（1，+∞），定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件排除B；
C．f（﹣x）＝f（x），函数f（x）为偶函数，不满足条件，排除C；
A．f′（x）＝cosx﹣2＜0，函数为减函数，不满足条件，排除A；
故选：D．
4．如图是某次民族运动会上，几位评委为某民族舞蹈节目打出分数的茎叶图，则其中位数和众数分别是（ ）
A．84，92 B．84，84 C．86，92 D．86，84
解：由茎叶图可知各位评委的打分为：71，74，84，84，84，86，87，92，92，
故中位数和众数均为84，
故选：B．
5．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）
A．20% B．23% C．28% D．50%
解：将信噪比从1000提升至5000时，
C大约增加了
＝≈
＝≈0.23＝23%．
故选：B．
6．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．2
解：取双曲线的右焦点F（c，0），取双曲线的渐近线y＝，即bx﹣ay＝0，
依题意得，即4b2＝a2，
∴该双曲线的离心率e＝，
故选：B．
7．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解：因为a，b，c均为正实数，
则＝≤＝＝＝≤＝，
当且仅当＝2b且a＝c，即a＝b＝c时取等号，
则的最大值为．
故选：A．
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．2
解：根据三视图知，该几何体是以俯视图为底面的四棱锥P﹣ABCD，
把该棱锥放入长为2、宽为1、高为1的长方体中，如图所示；
则该四棱锥的体积为
V＝S梯形ABCD•h＝××（1+2）×1×1＝．
故选：B．
9．已知函数f（x）＝8sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，若f（x）在[﹣，]上单调递增，在[，]上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A．[π，π] B．[π，π] C．[，] D．[﹣，π]
解：∵T＝π，∴ω＝＝2，∴f（x）＝8sin（2x﹣），
当x∈[﹣，]时，2x﹣∈[﹣，]，∴＜，解得﹣＜m≤；
当x∈[，]时，2x﹣∈[m﹣，π]，∴≤m﹣＜π，解得≤m＜，
综上所述：≤m≤，
故选：B．
10．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．16π
解：根据题意知，直角三角形△ABC的面积为3．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，
若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ＝3，
即×3×DQ＝3，∴DQ＝3，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，
OA2＝AQ2+OQ2，即R2＝（）2+（3﹣R）2，∴R＝2，
则这个球的表面积为：S＝4π×22＝16π．
故选：D．
11．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解：设内层椭圆方程为（a＞b＞0），因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆，
可设成，（m＞1），
设切线的方程为y＝k1（x+a），
与联立得，，
由△＝0，则，同理，
所以，因此．
故选：B．
12．已知函数f（x）＝，函数g（x）满足以下三点条件：①定义域为R；②对任意x∈R，有g（x+π）＝2g（x）；③当x∈[0，π]时，g（x）＝sinx．则函数y＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣4π，4π]上零点的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
解：函数y＝f（x）﹣g（x）
在区间[﹣4π，4π]上零点的个数，即为y＝f（x）和y＝g（x）的图像在区间[﹣4π，4π]上的交点个数．
分别作出y＝f（x）和y＝g（x）在[﹣4π，4π]上的图像，
结合图象可得它们有6个交点，
故选：A．
二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卷中对应题号的横线上.
13．如果复数（a∈R）为实数，则a＝ ﹣2 ．
解：∵＝为实数，
∴2+a＝0，即a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．著名的斐波那契数列{an}：1，1，2，3，5，8，…满足a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an，n∈N*，那么1+a3+a5+a7+a9+…+a2017+a2019+a2021是斐波那契数列的第 2022 项．
解：因为a1＝a2＝1，
所以1+a3+a5+a7+a9+…+a2021
＝a2+a3+a5+a7+a9+…+a2021
＝a4+a5+a7+a9+…+a2021
＝a6+a7+a9+…+a2021
＝…＝a2020+a2021
＝a2022，
故答案为：2022．
15．在（+）6的展开式中，常数项为 15 （用数字作答）．
解：（+）6展开式的通项为Tr+1＝C6r，令6﹣3r＝0得r＝2，
故展开式的常数项为T3＝C62＝15．
故答案为：15
16．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M为抛物线的准线上一点，且M的纵坐标为，N是直线MF与抛物线的一个交点，若，则p＝ 3 ．
解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M为抛物线的准线上一点，且M的纵坐标为，
N是直线MF与抛物线的一个交点，若，所以N的横坐标为：，纵坐标，
可得N（，），代入抛物线方程可得：3＝2×，解得p＝3．
故答案为：3
三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分
17．在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2．
（1）若∠ABD＝，求BC的长；
（2）若AC＝3，求cos∠BAD．
解：（1）在△ABD中，由余弦定理知，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABD，
∴8＝16+BD2﹣2•4•BD•cos，化简得BD2﹣4BD+8＝0，
解得BD＝2，
∵E是BD的中点，∴BE＝BD＝，
在△ABE中，由余弦定理知，AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BE•cos∠ABD＝16+2﹣2×4××＝10，
∴AE＝，
∵＝2，∴AC＝AE＝，
由余弦定理知，cos∠BAC＝＝＝，
在△ABC中，由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC＝16+﹣2×4××＝，
∴BC＝．
（2）∵AC＝3，＝2，∴AE＝2，
∵∠AEB+∠AED＝π，
∴cos∠AEB＝﹣cos∠AED，
设BE＝DE＝x，
则＝﹣，即＝﹣，
解得x＝2，
∴BD＝2BE＝4，
在△ABD中，由余弦定理知，cos∠BAD＝＝＝﹣．
18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝120°，，，E、F分别是BC、A1C1的中点．
（1）证明：EF∥平面ABB1．
（2）求直线B1E与平面A1BE所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：取AB的中点D，连接DE、A1D，
∵E、F分别是BC、A1C1的中点，∴DE∥AC∥A1F，DE＝AC＝A1F，
∴四边形A1DEF为平行四边形，∴A1D∥EF，
∵EF⊄平面ABB1，A1D⊂平面ABB1，
故EF∥平面ABB1．
（2）解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，，∴AB＝AC＝2，
∵，∴CC1＝．
连接AE，
∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BE，
∵AB＝AC，且点E为BC的中点，∴AE⊥BE，
∵AA1、AE⊂平面A1AE，AA1∩AE＝A，∴BE⊥平面A1AE，∴BE⊥A1E．
在△A1BE中，A1E＝2，BE＝，∴＝•A1E•BE＝．
∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AE，∵CC1∥AA1，∴CC1⊥AE，
∵AE⊥BE，CC1∩BE＝C，CC1、BE⊂平面BCC1B1，∴AE⊥平面BCC1B1，即点A（或A1）到平面B1BE的距离为AE＝1．
设点B1与平面A1BE的距离为h，
∵＝，
∴h•＝AE•，即h•＝•1••，解得h＝．
设直线B1E与平面A1BE所成角为θ，
∵B1E＝＝，∴sinθ＝＝＝．
故直线B1E与平面A1BE所成角的正弦值为．
19．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等．用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（3）计分介于20分到40分之间的概率．
解：（I）解：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件，因为
所以．
（II）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5.；；；；
所以随机变量ε的概率分布为
ε
2
3
4
5
P
因此ε的数学期望为
（Ⅲ）“一次取球所得计分介于（20分）到4（0分）之间”的事件记为C，则
P（C）＝P（ε＝3）+P（ε＝4）＝
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，点M（）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y＝kx+m（k＞0，m＞0）与椭圆C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率之和为0（其中O为坐标原点）．
①求证：直线l经过定点，并求出定点坐标；
②求△OPQ面积的最大值．
解：（1）由题意可得2c＝2，+＝1，c2＝a2﹣b2，
解得：a2＝4，b2＝1，
所以椭圆的方程为：+y2＝1；
（2）①证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，整理可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
所以△＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，可得m2＜1+4k2，
x1+x2＝﹣，x1x2＝，
设直线OP，PQ，OQ的斜率为k1，k，k2，
因为直线OP，PQ，OQ的斜率之和为0，所以k1+k+k2＝0，
即++k＝++k＝3k+＝3k+m•＝＝0，
所以m2＝3，由m＞0，所以m＝，
所以直线l恒过定点（0，）；
②由①可得：|PQ|＝•＝，
原点到直线的距离d＝＝，
所以S△POQ＝|PQ|•d＝＝＝，
因为+，
当且仅当＝时，即4k2﹣2＝3，即k2＝时取等号，
所以S△POQ≤1，即△OPQ面积的最大值为1．
21．已知函数f（x）＝x2+1﹣asinx，x∈[0，π]，a∈R，f'（x）是函数f（x）的导函数．
（1）当a＝1时，证明：函数f（x）在区间[0，π]没有零点；
（2）若f'（x）+asinx+a≤0在x∈[0，π]上恒成立，求a的取值范围．
【解答】（1）证明：若a＝1，则f（x）＝x2+1﹣sinx，x∈[0，π]，
又x2+1≥1，所以x2+1﹣sinx≥0，
又f（0）＝1，f（）＝，π）＝1+π2，当x时，﹣1＜﹣sinx＜0，
所以x2+1﹣sinx0，恒成立，
所以当a＝时，函数f（x）在区间间[0，π]上没有零点．
（2）解：f′（x）＝2x﹣acosx，x∈[0，π]，
故2x﹣acosc+asinx+a≤0，
设g（x）＝2x﹣acosc+asinx+a，x∈[0，π]，
由g（0）＝0≤0，g（π）＝2a+2π≤0，
则a≤﹣π，
g′（x）＝2+asinx+acosx，
由a≤﹣π，得a＜0，
在区间[0，π]，上g′（x）单调减，2+a＝g′（0）≥g′（x）＝2+，
在区间x∈（，π），上g′（x）单调增，2+＝≤g′（x）≤g′（π）＝2﹣a，
又a≤﹣π，所以g′（0）＝2+a＜0，＝2+＜0，g′（π）＝2﹣a＞0，
故，g′（x）在区间（）上存在唯一零点区间x0，由g′（x）的单调性可知，
在区间[0，x0]上，g′（x）≤0，g（x）单调减，′
在区间[x0，π]上，g′（x）≥0，g（x）单调增，
，故a≤﹣π
（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（α为参数），以原点为极点，以x轴为非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的普通方程与极坐标方程；
（2）若直线l的极坐标方程为，求圆C上的点到直线l的最大距离．
解：（1）圆C的圆心C为，半径r＝3，
则普通方程为，∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2
其极坐标方程为，
即
（2）由得，
化为，即，
圆心到直线l的距离为，
故圆C上的点到直线l的最大距离为d+r＝5．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|2x+2|﹣5（a∈R）．
（Ⅰ）试比较f（﹣1）与f（a）的大小；
（Ⅱ）当a＝﹣5时，求函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积．
解：（I）因为f（a）﹣f（﹣1）＝|2a+2|﹣5﹣（|a+1|﹣5）＝|a+1|≥0，于是f（a）≥f（﹣1）．
当且仅当a＝﹣1时等号成立；…5分
（Ⅱ）当a＝﹣5时，，
可知函数f（x）的图象和轴围成的图形是一个三角形，
其中与轴的两个交点分别为A（﹣2，0），，
三角形另一顶点坐标为C（﹣1，﹣1），
从而△ABC面积为．…10分
注：以上各题，其他解法请酌情给分．
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