辽宁省沈阳市2021届高三三模数学试题

2021年沈阳市高中三年教学质量监测(三)

数学

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，若，则实数（    ）

A.    B.1    C.    D.或

2.盒子中有4个球，其中3个白球，1个红球，现在从盒中随机无放回地取球，每次取出一个，直到取出红球为止.则取出3个球停止的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

3.2021年2月13日，中国诗词大会第六季比赛如约而至.在某场比赛中，有甲､乙､丙､丁､戊五位选手，有机会争夺该场擂主.观看比赛的三名诗词爱好者，对本场比赛的擂主进行了如下猜测.小张：冠军是甲或丙；小陈：冠军一定不是乙和丙：小亮：冠军是丁或戊.比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么擂主是（    ）

A.甲    B.乙    C.丙    D.丁

4.已知圆锥曲线上满足的点共有4个，则此圆锥曲线的离心率在下面的四个选项中不可能取的值为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.在三角形中，为线段上的动点，若，

，则（    ）

A.    B.    C.    D.

6.虚数单位的平方根是（    ）

A.    B.-    C.    或

7.一条倾斜角为的直线与执物线交于不同的两点，设弦的中点为过作平行于轴的直线交抛物线于点，则以为切点的抛物线的切线的斜率为（    ）

    B.    C.    D.

8.已知，则的大小关系为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（    ）

A.    B.    C.6    D.8

10.如图，圆心在坐标原点､半径为1的半圆上有一动点是半圆与轴的两个交点，过作直线垂直于直线为垂足.设，则下列结论正确的有（    ）

A.若，则

B.若，则

C.若，则

D.若，则的最大值为2

11.如图，正方体的棱长为，点分别是平面､平面､平面的中心，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A.与所成角为

B.点到平面的距离为

C.三棱锥的体积为定值

D.直线与平面所成角的正切值的最大值为

12.已知无穷等差数列的公差为其前项和，且是数列中的三项，则下列关于数列的选项中，正确的有（    ）

A.    B.

C.数列为单调递增数列    D.一定是数列中的项

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在四面体ABCD中，是边长为2的等边三角形，△BCD是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面SBC，则四面体ABCD的外接球的表面积为__________.

14.安排高二年级一､二两个班一天的数､语､外､物､体，一班的化学及二班的政治各六节课.要求体育课两个班一起上，但不能排在第一节；由于选课之故，一班的化学和二班的政治要安排在同一节；其他语､数､外､物四科由同一任课教师分班上课，则不同的排课表方法共有种__________.

15.在中，角所对的边分别为，若，则角的最大值为__________.

16.设某组数据均落在区间内，共分为五组，对应频率分别为已知依据该组数据所绘制的频率分布直方图为轴对称图形，给出下列四个条件：

①；

②；

③；

④.

其中能确定该组数据频率分布的条件有__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知等差数列和等比数列满足，

（1）求和的通项公式；

（2）若数列中去掉数列的项后，余下的项按原来的顺序组成数列，求的值.

18.(12分)在中，设，已知.

（1）求角A；

（2）设的中点为，若__________，求

从以下两组条件中任选其一，补充在上面的问题中并作答.

①；②.

注：如果选择两组条件分别解答，按第一个解答计分.

19.(12分)2021年某省开始的“3+1+2”模式新高考方案中，对化学､生物､地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换分(即记入高考总分的分数)的“等级转换赋分规则''(详见附1和附2)，具体的转换步骤为：①原始分等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分.

某校的一次年级模拟考试中，政治､化学两选考科目的原始分分布如下表：

现从政治､化学两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据如下：

（1）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为86分，乙同学选考化学学科，其原始分为93分.基于高考实测的转换赋分模拟，试分别计算甲乙同学的转换分，并从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法''的看法.

（2）若从该校化学学科等级为､的学生中，随机抽取3人，设这3人转换分不低于90分的有人，求的分布列和数学期望.

附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.

附计算转换分的等比例转换赋分公式：(其中：，分别表示原始分对应等级的原始分区间下限和上限；分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.的计算结果按四舍五入取整)

20.(12分)将长()､宽()､高()分别为4，3，1的长方体点心盒用彩绳做一个捆扎，有如下两种方案：

方案一：如图（1）传统的十字捆扎；

方案二：如图（2）折线法捆扎，其中.

（1）哪种方案更省彩绳？说明理由：

（2）求平面与平面所成角的余弦值.

21.(12分)已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，且恰好为的重心.

（1）求椭圆离心率；

（2）抛物线的焦点是为抛物线准线上任一点，过点作抛物线的切线别为，直线与直线分别交于两点，点的纵坐标分别为，求的值.

22.(12分)已知函数，其中.

（1）若的极值为1，求实数的值；

（2）若对任意，有恒成立，求实数的取值范围.

2021年沈阳市高中三年教学质量监测(三)

数学参考答案

一､单项选择题

1-8ABCDBDCB

二､多项选择题

9.【解析】BD

函数是上的奇函数，是函数的零点，

时，，

当时，可得或，

当时，令，即，

若时，显然无解，

若时，，即时，在上有一个零点

当时，在上没有零点，

综上，由函数是奇函数知，时，函数有5个零点，

当时，函数有7个零点.

10.AC    11.ABC    12.AD

三､填空题

13.【解析】因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，

又因为平面平面，平面平面，

所以平面，所以，可得两两垂直，

且，构造正方体

可得四面体的外接球半径，

所以表面积为

14.【解析】5400种

15.【解析】，当且仅当时等号成立.

所以角的最大值为

16.【解析】答案：①④

四､解答题

17.【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由，得

（2）由得，

18.【解析】（1）

即，进而，由于，则

（2）选①，设角所对的边分别为

在中，由正弦定理，

在中，由正弦定理，

而，则，

又有，则，即

(注：利用与的面积相等得此结论，亦得4分

由余弦定理，

选②，设角所对的边分别为

由于，则，即

由余弦定理，

因此，整理得

则或，由于，则，因此

19.【解析】（1）甲同学选考政治学科原始分为86分，

根据等比例转换赋分公式：得.乙同学选考化学学科原始分为93分，根据等比例转换赋分公式：得，

故甲乙两位同学的转换分都为90分.

从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法：

①从已知可得甲乙同学原始分都排第三，转换后都是90分，因此高考这种“等级转换赋分法”具有公平

性与合理性.

②甲同学与乙同学原始分差7分，但转换后都是90分，高考这种“等级转换赋分法”对尖子生不利.

（2）该校化学学科原始分为93分时，根据等比例转换赋分公式：，

得，即原始分低于93分的转换分低于90分，

所以转换分不低于90分的有3人，低于90分的有5人，的所有取值有，

的分布列为：

20.【解析】（1）方案②更省彩绳.

原因如下：

方案①中彩绳总长度为.

方案②中彩绳总长度为

即，所以方案（2）更省彩绳.【注：只要求出两种方案的长度进行比较即可】

（2）法一：以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图：

则点，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则有，即.不妨取

同理取.

所以两个平面所成二面角的余弦值为.

法二：如图，作，连结，由点向作垂线，垂足为，

再由作于.

记，可求得，则.

由于对称性，所求两个平面所成的角等于，故其余弦值的绝对值为.

21.【解析】解：（1）由题设，线段的中点为，

由三角形重心的性质知，即，解得，

即代入直线，得①.

又为线段的中点，则，

又为椭圆上两点，，

以上两式相减得，

所以，化简得②

由①②及，解得：.

（2）抛物线的焦点是，

抛物线方程为

设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为

由，得.

所以，得.

同理，得，

所以，

分别令，得，

所以.

22.【解析】（1），令，解得

①当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，

的极小值为，因此极值不为1，不符题意

②当时，的单调递增区间为，单调递减区间为

的极大值为.

令，则是方程的根.由，

令，则在上单调递减，在上单调递增，，

因此，方程仅有一根.当且仅当时，的极值为1.

综上，

（2）原命题即：对任意，有恒成立，

等价于：对任意，有恒成立，

令

，

①当时，对任意，有，

则在上单调递减，，符合题意

②当时，对任意，

有

因此时在单调递增，

故当时，，不符题意.

③当时，对任意，有，则，

在上单调递增，当时，，不符题意；

综上，的取值范围是.