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2021年天津市中考数学模拟通关试卷（一）解析版
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这是一份2021年天津市中考数学模拟通关试卷（一）解析版，共25页。试卷主要包含了计算，tan60°的值等于，下列图形是中心对称图形的是，估计的值在，计算的结果为，方程组的解是，点A等内容，欢迎下载使用。
2021年天津市中考数学模拟通关试卷（一）
一．选择题
1．计算：﹣3+2的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5
2．tan60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．新冠肺炎疫情肆虐全球，截止2021年北京时间1月19日零时全球新冠肺炎确诊病例已超过93 000 000例．将数93 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．9.3×105 B．93×106 C．9.3×107 D．0.93×108
4．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示左边是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从上面看该几何体得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
6．估计的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
7．计算的结果为（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C． D．
8．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
9．点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
10．如图所示，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A旋转到△A′B′C′的位置，使得C′A⊥AB，则∠BAB′＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．50°
11．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
二．填空题
13．计算（）3＝
14．计算：（+1）（﹣1）＝ ．
15．一个不透明的口袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，则摸出的是黑球的概率是 ．
16．一次函数y＝（m﹣3）x﹣2的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是 ．
17．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是 cm．
18．如图，在边长都是1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D均为格点，线段CD相交于点O．
（Ⅰ）线段CD的长等于 ；
（Ⅱ）请你借助网格，使用无刻度的直尺和圆规画出以A为一个顶点的矩形ARST，满足点O为其对角线的交点，并简要说明这个矩形是怎么画的（不要求证明） ．
三．解答题
19．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．中共中央、国务院印发《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，强调劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，要把劳动教育纳入人才培养全过程，市教体局为了了解某市九年级学生假期参加劳动实践天数的情况，随机抽取该市部分九年级学生进行调查，并将调查数据绘制成如下两幅统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）样本容量为 ；
（2）补全条形统计图，九年级学生劳动实践天数的中位数是 天；
（3）若该市共有九年级学生6000人，估计九年级学生劳动实践天数不少于5天的共有多少人？
21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且CD平分∠ACB，过点D作⊙O的切线，交CA的延长线于点E．若∠ABC＝30°．
（1）求∠E的度数；
（2）若AC的长为，请直接写出DE的长．
22．如图，小明在楼AB前的空地上将无人机升至空中C处，在C处测得楼AB的顶部A处的仰角为42°，测得楼AB的底部B处的俯角为31°．已知C处距地面BD的高度为12m，根据测得的数据，计算楼AB的高度（结果保留整数）．（参考数据：tan42°≈0.90，tan48°≈1.11，tan31°≈0.60）．
23．某商场为庆祝开业，特在开业当天推出了两种购物方案：
方案一：非会员购物所有商品价格可享九折优惠；
方案二：若额外缴纳50元会费成为该商场的会员，则所有商品价格可享八折优惠．
设王女士在该商场开业当天的累计购物金额为x元．
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
累计购物金额（元）
350
450
550
650
……
方案一的付款金额（元）
315
405
……
方案二的付款金额（元）
330
410
……
（Ⅱ）分别写出王女士按方案一、方案二的付款金额y1元、y2元与累计购物金额x元（x＞0）之间的函数关系式；
（Ⅲ）当x＞200时，王女士选择哪种购物方案更合算？并说明理由．
24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（3，4），点B（6，0）．
（Ⅰ）如图①，求AB的长；
（Ⅱ）如图②，把图①中的△OAB绕点B顺时针旋转，使点O的对应点M恰好落在OA延长线上，N是点A旋转后的对应点．①求证：BN∥OM；②求点N的坐标；
（Ⅲ）点C是OB的中点，点D为线段OA上的动点在△OAB绕点B顺时针旋转过程中，点D的对应点是P，求线段CP长的取值范围（直接写出结果）
25．如图1，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线y＝﹣x+2于点D．设点P的横坐标为m．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，求当PE取得最大值时点P的坐标，并求PE的最大值．
2021年天津市中考数学模拟通关试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．计算：﹣3+2的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5
【分析】根据有理数加法法则计算即可得到答案．
【解答】解：﹣3+2＝﹣（3﹣2）＝﹣1，
故选：A．
2．tan60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据特殊角的三角函数值，可得答案．
【解答】解：tan60°＝，
故选：B．
3．新冠肺炎疫情肆虐全球，截止2021年北京时间1月19日零时全球新冠肺炎确诊病例已超过93 000 000例．将数93 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．9.3×105 B．93×106 C．9.3×107 D．0.93×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数93 000 000用科学记数法表示为9.3×107．
故选：C．
4．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
5．如图所示左边是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从上面看该几何体得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面一层有2个正方形．
故选：D．
6．估计的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【分析】先求出的范围，即可求出答案．
【解答】解：∵49＜51＜64，
∴7＜＜8，
∴在7到8之间，
故选：D．
7．计算的结果为（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C． D．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝x+1，
故选：A．
8．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
②﹣①得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝6，
则方程组的解为，
故选：B．
9．点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】先根据反比例函数中k的符号判断出此函数图象所在象限，再根据x1＜x2＜0＜x3判断出y1，y2，y3的大小关系即可．
【解答】解：∵反比例函数中，k＝﹣3＜0，
∴此函数图象在二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y3＜0，y3＜0＜y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
10．如图所示，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A旋转到△A′B′C′的位置，使得C′A⊥AB，则∠BAB′＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．50°
【分析】根据旋转的性质得到∠B′AC′＝∠CAB＝70°，又知道C′A⊥AB，所以有∠C′AB＝∠B′AC′+∠BAB′＝90°，最后可以算出∠BAB′的度数．
【解答】解：∵△ABC绕点A旋转到△A′B′C′的位置，
∴∠B′AC′＝∠CAB，
∵∠CAB＝70°，
∴∠B′AC′＝∠CAB＝70°，
又∵C′A⊥AB，
∴∠C′AB＝∠B′AC′+∠BAB′＝90°，
∴∠BAB′＝90°﹣70°＝20°，
故选：B．
11．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OC，然后判断出△AOE和△COE全等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，从而得到△ABC关于直线AD轴对称，再根据全等三角形的定义写出全等三角形即可得解．
【解答】解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，
又∵OE＝OE，
∴Rt△AOE≌Rt△COE，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴△ABC关于直线AD轴对称，
∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，
综上所述，全等三角形共有4对．
故选：D．
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵对称轴为x＝＜0，∴a、b同号，即b＞0，
∴abc＜0，
故本选项错误；
②当x＝1时，函数值为2，
∴a+b+c＝2；
故本选项正确；
③∵对称轴x＝＞﹣1，
解得：＜a，
∵b＞1，
∴a＞，
故本选项错误；
④当x＝﹣1时，函数值＜0，
即a﹣b+c＜0，（1）
又a+b+c＝2，
将a+c＝2﹣b代入（1），
2﹣2b＜0，
∴b＞1
故本选项正确；
综上所述，其中正确的结论是②④；
故选：D．
二．填空题
13．计算（）3＝ x3y3
【分析】根据积的乘方法则求出即可．
【解答】解：（）3＝x3y3，
故答案为：x3y3．
14．计算：（+1）（﹣1）＝ 1 ．
【分析】两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
【解答】解：（+1）（﹣1）＝．
故答案为：1．
15．一个不透明的口袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，则摸出的是黑球的概率是 ．
【分析】由在不透明的布袋中装有3个红球，2个白球，1个黑球，利用概率公式直接求解即可求得答案．
【解答】解：∵在不透明的布袋中装有3个红球，2个白球，1个黑球，
∴从袋中任意摸出一个球，摸出的球是黑球的概率是：＝．
故答案为：．
16．一次函数y＝（m﹣3）x﹣2的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是 m＜3 ．
【分析】根据一次函数y＝（m﹣3）x﹣2的图象经过二、三、四象限判断出m的取值范围即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣3）x﹣2的图象经过二、三、四象限，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3，
故答案为：m＜3
17．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是 cm．
【分析】设EF＝FD＝x，在RT△AEF中利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∵AE＝EB＝3，EF＝FD，设EF＝DF＝x．则AF＝6﹣x，
在RT△AEF中，∵AE2+AF2＝EF2，
∴32+（6﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴AF＝6﹣＝cm，
故答案为．
18．如图，在边长都是1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D均为格点，线段CD相交于点O．
（Ⅰ）线段CD的长等于 ；
（Ⅱ）请你借助网格，使用无刻度的直尺和圆规画出以A为一个顶点的矩形ARST，满足点O为其对角线的交点，并简要说明这个矩形是怎么画的（不要求证明） 1、以O为圆心、OA为半径作⊙O；
2、借助网格作AE⊥OA；
3、过点O作RT∥AE，交⊙O于点R、T；
4、延长AB交⊙O于点S，顺次连接A、R、S、T，
则矩形ARST即为所求． ．
【分析】（Ⅰ）由勾股定理求解可得．
（Ⅱ）1、以O为圆心、OA为半径作⊙O；
2、借助网格作AE⊥OA；
3、过点O作RT∥AE，交⊙O于点R、T；
4、延长AB交⊙O于点S，顺次连接A、R、S、T，
则矩形ARST即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）CD＝＝．
故答案为：；
（Ⅱ）如图，
1、以O为圆心、OA为半径作⊙O；
2、借助网格作AE⊥OA；
3、过点O作RT∥AE，交⊙O于点R、T；
4、延长AB交⊙O于点S，顺次连接A、R、S、T，
则矩形ARST即为所求．
答案为：1、以O为圆心、OA为半径作⊙O；
2、借助网格作AE⊥OA；
3、过点O作RT∥AE，交⊙O于点R、T；
4、延长AB交⊙O于点S，顺次连接A、R、S、T，
则矩形ARST即为所求．
三．解答题
19．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣2 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≤3 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣2≤x≤3 ．
【分析】（Ⅰ）解一元一次不等式即可；
（Ⅱ）解一元一次不等式即可；
（Ⅲ）利用数轴表示解集；
（Ⅳ）利用大小小大中间找确定原不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤3；
（Ⅲ）如图：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤3．
故答案为x≥﹣2，x≤3，﹣2≤x≤3．
20．中共中央、国务院印发《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，强调劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，要把劳动教育纳入人才培养全过程，市教体局为了了解某市九年级学生假期参加劳动实践天数的情况，随机抽取该市部分九年级学生进行调查，并将调查数据绘制成如下两幅统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）样本容量为 200 ；
（2）补全条形统计图，九年级学生劳动实践天数的中位数是 5 天；
（3）若该市共有九年级学生6000人，估计九年级学生劳动实践天数不少于5天的共有多少人？
【分析】（1）由5天的人数及其所占百分比可得答案；
（2）根据中位数的概念求解即可；
（3）用总人数乘以劳动实践天数不少于5天的人数所占百分比即可．
【解答】解：（1）60÷30%＝200（人），
则样本容量为200；
故答案为：200；
（2）200﹣20﹣30﹣60﹣40＝50（人），
补全条形统计图如图所示：
∵共抽取了200人，处于中间位置的是第100和101个数的平均数，
∴九年级学生劳动实践天数的中位数是＝5（天）；
故答案为：5；
（3）根据题意得：6000×（1﹣10%﹣15%）＝4500（天），
答：九年级学生劳动实践天数不少于5天的共有4500人．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且CD平分∠ACB，过点D作⊙O的切线，交CA的延长线于点E．若∠ABC＝30°．
（1）求∠E的度数；
（2）若AC的长为，请直接写出DE的长．
【分析】（1）连接OD，先证ED∥AO，得出∠E＝∠BAC，于结合圆周角定理的推论和直角三角形的性质可得出结论；
（2）过点A作AH⊥DE于点H，则∠DHA＝90°，选证明四边形AODH是正方形，可求出DH的长，由直角三角形的性质求出EH的长，即可求出DE的长．
【解答】解：（1）连接OD，
∵DE⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴∠EDO＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，
又∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠AOD＝∠BOD＝90°，
∴ED∥AO，
∴∠E＝∠BAC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠E＝60°；
（2）过点A作AH⊥DE于点H，则∠DHA＝90°，
又∵∠HDO＝∠AOD＝90°，
∴四边形AODH是矩形，
又∵OD＝OA，
∴四边形AODH是正方形，
∴AO＝DH＝AH，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝，
∴AB＝2，
∴AO＝，
∴DH＝AH＝AO＝，
在Rt△AHE中，EH＝＝1，
∴DE＝EH+DH＝1+．
22．如图，小明在楼AB前的空地上将无人机升至空中C处，在C处测得楼AB的顶部A处的仰角为42°，测得楼AB的底部B处的俯角为31°．已知C处距地面BD的高度为12m，根据测得的数据，计算楼AB的高度（结果保留整数）．（参考数据：tan42°≈0.90，tan48°≈1.11，tan31°≈0.60）．
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△AEC、△CBD，通过解这两个直角三角形求得AE、DC的长度，进而可解即可求出答案．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E．
依题意得：∠ACE＝42°，∠CBD＝31°，CD＝12m．
可得四边形CDBE是矩形．
∴BE＝DC，CE＝DB．
∵在直角△CBD中，tan∠CBD＝，
∴CE＝DB＝．
∵在直角△ACE中，tan∠ACE＝．
∴AE＝CE•tan42°．
∴AE＝•tan42°≈＝18（米）．
∴AB＝AE+BE＝30（米）．
答：楼AB的高度约为30米．
23．某商场为庆祝开业，特在开业当天推出了两种购物方案：
方案一：非会员购物所有商品价格可享九折优惠；
方案二：若额外缴纳50元会费成为该商场的会员，则所有商品价格可享八折优惠．
设王女士在该商场开业当天的累计购物金额为x元．
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
累计购物金额（元）
350
450
550
650
……
方案一的付款金额（元）
315
405
495
585
……
方案二的付款金额（元）
330
410
490
570
……
（Ⅱ）分别写出王女士按方案一、方案二的付款金额y1元、y2元与累计购物金额x元（x＞0）之间的函数关系式；
（Ⅲ）当x＞200时，王女士选择哪种购物方案更合算？并说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据两种购物方案列式计算即可；
（Ⅱ）根据题意分别得出两种优惠方案的关系式即可；
（Ⅲ）设y＝y1﹣y2，根据（Ⅱ）得出y与x的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（Ⅰ）方案一：550×0.9＝495（元），
650×0.9＝585（元），
方案二：50+550×0.8＝490（元），
50+650×0.8＝570（元），
故答案为：495、585、490、570；
（Ⅱ）根据题意得：y1＝0.9x（x＞0），
y2＝0.8x+50（x＞0）；
（Ⅲ）设y＝y1﹣y2＝0.9x﹣（0.8x+50）＝0.1x﹣50，
令y＝0，解得x＝500，
∴当x＝500时，王女士选择方案一和方案二的付款金额一样．
∵0.1＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当200＜x＜500时，y＜0，王女士选择方案一更合算，
当x＞500时，y＞0，王女士选择方案二更合算．
24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（3，4），点B（6，0）．
（Ⅰ）如图①，求AB的长；
（Ⅱ）如图②，把图①中的△OAB绕点B顺时针旋转，使点O的对应点M恰好落在OA延长线上，N是点A旋转后的对应点．①求证：BN∥OM；②求点N的坐标；
（Ⅲ）点C是OB的中点，点D为线段OA上的动点在△OAB绕点B顺时针旋转过程中，点D的对应点是P，求线段CP长的取值范围（直接写出结果）
【分析】（Ⅰ）如图①中，作AH⊥OB于H．求出AH，BH，利用勾股定理即可解决问题．
（Ⅱ）①想办法证明∠BMO＝∠MBN即可．
②连接AN，作NE⊥OB于E．证明四边形OANB是平行四边形，解直角三角形即可解决问题．
（Ⅲ）分别求解PC的最小值，最大值即可解决问题．
【解答】（Ⅰ）解：如图①中，作AH⊥OB于H．
∵A（3，4），B（6，0），
∴OH＝3，AC＝4，OB＝6，
∴BH＝6﹣3＝3，
在Rt△ACB中，AB＝＝＝5．
（Ⅱ）①证明：如图②中，
由（1）可知：OA＝AB，
∴∠AOB＝∠ABO，
由旋转可知：OB＝BM，
∴∠AOB＝∠BMO，∠MBN＝∠ABO，
∴∠BMO＝∠MBN，
∴BN∥OM．
②解：连接AN，作NE⊥OB于E．
∵OA∥NB，OA＝BN，
∴四边形OANB是平行四边形，
∴AN∥OB，AN＝OB＝6，NE＝4，
在Rt△BNE中，BE＝＝＝3，
∴OE＝OB+BE＝6+3＝9，
∴N（9，4）．
（Ⅲ）解：如图②﹣1中，作BP⊥MN于P．
则BP＝＝，当点P在BC的延长线上时，PC的值最小，最小值＝﹣3＝，
当点P与点M重合，旋转到点M在CB的延长线上时，PC的值最大，最大值＝3+6＝9，
∴≤CP≤9．
25．如图1，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线y＝﹣x+2于点D．设点P的横坐标为m．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，求当PE取得最大值时点P的坐标，并求PE的最大值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当P、D、O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则有PD＝OC＝2，进而求解；
（3）证明△PED∽△BOC，则，即，进而求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，2）．
抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，
∴，
解得，
∴二次函数表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵P点在抛物线上，横坐标为m，
∴P点坐标为（m，﹣m2+m+2），
∵PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线y＝﹣x+2于点D．
∴Q坐标为（m，0），D点坐标为（m，﹣m+2），
当P、D、O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则有PD＝OC＝2，
即|﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）|＝2，即|﹣m2+2m|＝2，
当﹣m2+2m＝2时，解得m＝2，则Q坐标为（2，0），
当﹣m2+2m＝﹣2时，解得m＝2±2，则Q坐标为（2+2，0）或（2﹣2，0），
综上可知，Q点坐标为（2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）；
（3）由（2）可知P点坐标为（m，﹣m2+m+2），Q坐标为（m，0），
D点坐标为（m，﹣m+2），
∴PD＝﹣m2+2m．
在Rt△OBC中，OC＝2，OB＝4，由勾股定理可求得BC＝2，
∵OQ∥OC，
∴∠OCB＝∠BDQ．
∵∠PDE＝∠BDQ，
∴∠OCB＝∠PDE．
∵PE⊥BC，
∴∠PED＝∠COB＝90°．
∴△PED∽△BOC．
∴，
即，
解得：PE＝，
∵P在直线BC上方，
∴0＜m＜4，
∴当m＝2时，PE有最大值，
此时P点坐标为（2，3）．
2021年天津市中考数学模拟通关试卷（一）
一．选择题
1．计算：﹣3+2的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5
2．tan60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．新冠肺炎疫情肆虐全球，截止2021年北京时间1月19日零时全球新冠肺炎确诊病例已超过93 000 000例．将数93 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．9.3×105 B．93×106 C．9.3×107 D．0.93×108
4．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示左边是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从上面看该几何体得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
6．估计的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
7．计算的结果为（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C． D．
8．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
9．点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
10．如图所示，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A旋转到△A′B′C′的位置，使得C′A⊥AB，则∠BAB′＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．50°
11．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
二．填空题
13．计算（）3＝
14．计算：（+1）（﹣1）＝ ．
15．一个不透明的口袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，则摸出的是黑球的概率是 ．
16．一次函数y＝（m﹣3）x﹣2的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是 ．
17．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是 cm．
18．如图，在边长都是1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D均为格点，线段CD相交于点O．
（Ⅰ）线段CD的长等于 ；
（Ⅱ）请你借助网格，使用无刻度的直尺和圆规画出以A为一个顶点的矩形ARST，满足点O为其对角线的交点，并简要说明这个矩形是怎么画的（不要求证明） ．
三．解答题
19．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．中共中央、国务院印发《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，强调劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，要把劳动教育纳入人才培养全过程，市教体局为了了解某市九年级学生假期参加劳动实践天数的情况，随机抽取该市部分九年级学生进行调查，并将调查数据绘制成如下两幅统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）样本容量为 ；
（2）补全条形统计图，九年级学生劳动实践天数的中位数是 天；
（3）若该市共有九年级学生6000人，估计九年级学生劳动实践天数不少于5天的共有多少人？
21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且CD平分∠ACB，过点D作⊙O的切线，交CA的延长线于点E．若∠ABC＝30°．
（1）求∠E的度数；
（2）若AC的长为，请直接写出DE的长．
22．如图，小明在楼AB前的空地上将无人机升至空中C处，在C处测得楼AB的顶部A处的仰角为42°，测得楼AB的底部B处的俯角为31°．已知C处距地面BD的高度为12m，根据测得的数据，计算楼AB的高度（结果保留整数）．（参考数据：tan42°≈0.90，tan48°≈1.11，tan31°≈0.60）．
23．某商场为庆祝开业，特在开业当天推出了两种购物方案：
方案一：非会员购物所有商品价格可享九折优惠；
方案二：若额外缴纳50元会费成为该商场的会员，则所有商品价格可享八折优惠．
设王女士在该商场开业当天的累计购物金额为x元．
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
累计购物金额（元）
350
450
550
650
……
方案一的付款金额（元）
315
405
……
方案二的付款金额（元）
330
410
……
（Ⅱ）分别写出王女士按方案一、方案二的付款金额y1元、y2元与累计购物金额x元（x＞0）之间的函数关系式；
（Ⅲ）当x＞200时，王女士选择哪种购物方案更合算？并说明理由．
24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（3，4），点B（6，0）．
（Ⅰ）如图①，求AB的长；
（Ⅱ）如图②，把图①中的△OAB绕点B顺时针旋转，使点O的对应点M恰好落在OA延长线上，N是点A旋转后的对应点．①求证：BN∥OM；②求点N的坐标；
（Ⅲ）点C是OB的中点，点D为线段OA上的动点在△OAB绕点B顺时针旋转过程中，点D的对应点是P，求线段CP长的取值范围（直接写出结果）
25．如图1，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线y＝﹣x+2于点D．设点P的横坐标为m．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，求当PE取得最大值时点P的坐标，并求PE的最大值．
2021年天津市中考数学模拟通关试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．计算：﹣3+2的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5
【分析】根据有理数加法法则计算即可得到答案．
【解答】解：﹣3+2＝﹣（3﹣2）＝﹣1，
故选：A．
2．tan60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据特殊角的三角函数值，可得答案．
【解答】解：tan60°＝，
故选：B．
3．新冠肺炎疫情肆虐全球，截止2021年北京时间1月19日零时全球新冠肺炎确诊病例已超过93 000 000例．将数93 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．9.3×105 B．93×106 C．9.3×107 D．0.93×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数93 000 000用科学记数法表示为9.3×107．
故选：C．
4．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
5．如图所示左边是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从上面看该几何体得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面一层有2个正方形．
故选：D．
6．估计的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【分析】先求出的范围，即可求出答案．
【解答】解：∵49＜51＜64，
∴7＜＜8，
∴在7到8之间，
故选：D．
7．计算的结果为（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C． D．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝x+1，
故选：A．
8．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
②﹣①得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝6，
则方程组的解为，
故选：B．
9．点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】先根据反比例函数中k的符号判断出此函数图象所在象限，再根据x1＜x2＜0＜x3判断出y1，y2，y3的大小关系即可．
【解答】解：∵反比例函数中，k＝﹣3＜0，
∴此函数图象在二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y3＜0，y3＜0＜y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
10．如图所示，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A旋转到△A′B′C′的位置，使得C′A⊥AB，则∠BAB′＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．50°
【分析】根据旋转的性质得到∠B′AC′＝∠CAB＝70°，又知道C′A⊥AB，所以有∠C′AB＝∠B′AC′+∠BAB′＝90°，最后可以算出∠BAB′的度数．
【解答】解：∵△ABC绕点A旋转到△A′B′C′的位置，
∴∠B′AC′＝∠CAB，
∵∠CAB＝70°，
∴∠B′AC′＝∠CAB＝70°，
又∵C′A⊥AB，
∴∠C′AB＝∠B′AC′+∠BAB′＝90°，
∴∠BAB′＝90°﹣70°＝20°，
故选：B．
11．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OC，然后判断出△AOE和△COE全等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，从而得到△ABC关于直线AD轴对称，再根据全等三角形的定义写出全等三角形即可得解．
【解答】解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，
又∵OE＝OE，
∴Rt△AOE≌Rt△COE，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴△ABC关于直线AD轴对称，
∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，
综上所述，全等三角形共有4对．
故选：D．
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵对称轴为x＝＜0，∴a、b同号，即b＞0，
∴abc＜0，
故本选项错误；
②当x＝1时，函数值为2，
∴a+b+c＝2；
故本选项正确；
③∵对称轴x＝＞﹣1，
解得：＜a，
∵b＞1，
∴a＞，
故本选项错误；
④当x＝﹣1时，函数值＜0，
即a﹣b+c＜0，（1）
又a+b+c＝2，
将a+c＝2﹣b代入（1），
2﹣2b＜0，
∴b＞1
故本选项正确；
综上所述，其中正确的结论是②④；
故选：D．
二．填空题
13．计算（）3＝ x3y3
【分析】根据积的乘方法则求出即可．
【解答】解：（）3＝x3y3，
故答案为：x3y3．
14．计算：（+1）（﹣1）＝ 1 ．
【分析】两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
【解答】解：（+1）（﹣1）＝．
故答案为：1．
15．一个不透明的口袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，则摸出的是黑球的概率是 ．
【分析】由在不透明的布袋中装有3个红球，2个白球，1个黑球，利用概率公式直接求解即可求得答案．
【解答】解：∵在不透明的布袋中装有3个红球，2个白球，1个黑球，
∴从袋中任意摸出一个球，摸出的球是黑球的概率是：＝．
故答案为：．
16．一次函数y＝（m﹣3）x﹣2的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是 m＜3 ．
【分析】根据一次函数y＝（m﹣3）x﹣2的图象经过二、三、四象限判断出m的取值范围即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣3）x﹣2的图象经过二、三、四象限，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3，
故答案为：m＜3
17．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是 cm．
【分析】设EF＝FD＝x，在RT△AEF中利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∵AE＝EB＝3，EF＝FD，设EF＝DF＝x．则AF＝6﹣x，
在RT△AEF中，∵AE2+AF2＝EF2，
∴32+（6﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴AF＝6﹣＝cm，
故答案为．
18．如图，在边长都是1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D均为格点，线段CD相交于点O．
（Ⅰ）线段CD的长等于 ；
（Ⅱ）请你借助网格，使用无刻度的直尺和圆规画出以A为一个顶点的矩形ARST，满足点O为其对角线的交点，并简要说明这个矩形是怎么画的（不要求证明） 1、以O为圆心、OA为半径作⊙O；
2、借助网格作AE⊥OA；
3、过点O作RT∥AE，交⊙O于点R、T；
4、延长AB交⊙O于点S，顺次连接A、R、S、T，
则矩形ARST即为所求． ．
【分析】（Ⅰ）由勾股定理求解可得．
（Ⅱ）1、以O为圆心、OA为半径作⊙O；
2、借助网格作AE⊥OA；
3、过点O作RT∥AE，交⊙O于点R、T；
4、延长AB交⊙O于点S，顺次连接A、R、S、T，
则矩形ARST即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）CD＝＝．
故答案为：；
（Ⅱ）如图，
1、以O为圆心、OA为半径作⊙O；
2、借助网格作AE⊥OA；
3、过点O作RT∥AE，交⊙O于点R、T；
4、延长AB交⊙O于点S，顺次连接A、R、S、T，
则矩形ARST即为所求．
答案为：1、以O为圆心、OA为半径作⊙O；
2、借助网格作AE⊥OA；
3、过点O作RT∥AE，交⊙O于点R、T；
4、延长AB交⊙O于点S，顺次连接A、R、S、T，
则矩形ARST即为所求．
三．解答题
19．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣2 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≤3 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣2≤x≤3 ．
【分析】（Ⅰ）解一元一次不等式即可；
（Ⅱ）解一元一次不等式即可；
（Ⅲ）利用数轴表示解集；
（Ⅳ）利用大小小大中间找确定原不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤3；
（Ⅲ）如图：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤3．
故答案为x≥﹣2，x≤3，﹣2≤x≤3．
20．中共中央、国务院印发《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，强调劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，要把劳动教育纳入人才培养全过程，市教体局为了了解某市九年级学生假期参加劳动实践天数的情况，随机抽取该市部分九年级学生进行调查，并将调查数据绘制成如下两幅统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）样本容量为 200 ；
（2）补全条形统计图，九年级学生劳动实践天数的中位数是 5 天；
（3）若该市共有九年级学生6000人，估计九年级学生劳动实践天数不少于5天的共有多少人？
【分析】（1）由5天的人数及其所占百分比可得答案；
（2）根据中位数的概念求解即可；
（3）用总人数乘以劳动实践天数不少于5天的人数所占百分比即可．
【解答】解：（1）60÷30%＝200（人），
则样本容量为200；
故答案为：200；
（2）200﹣20﹣30﹣60﹣40＝50（人），
补全条形统计图如图所示：
∵共抽取了200人，处于中间位置的是第100和101个数的平均数，
∴九年级学生劳动实践天数的中位数是＝5（天）；
故答案为：5；
（3）根据题意得：6000×（1﹣10%﹣15%）＝4500（天），
答：九年级学生劳动实践天数不少于5天的共有4500人．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且CD平分∠ACB，过点D作⊙O的切线，交CA的延长线于点E．若∠ABC＝30°．
（1）求∠E的度数；
（2）若AC的长为，请直接写出DE的长．
【分析】（1）连接OD，先证ED∥AO，得出∠E＝∠BAC，于结合圆周角定理的推论和直角三角形的性质可得出结论；
（2）过点A作AH⊥DE于点H，则∠DHA＝90°，选证明四边形AODH是正方形，可求出DH的长，由直角三角形的性质求出EH的长，即可求出DE的长．
【解答】解：（1）连接OD，
∵DE⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴∠EDO＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，
又∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠AOD＝∠BOD＝90°，
∴ED∥AO，
∴∠E＝∠BAC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠E＝60°；
（2）过点A作AH⊥DE于点H，则∠DHA＝90°，
又∵∠HDO＝∠AOD＝90°，
∴四边形AODH是矩形，
又∵OD＝OA，
∴四边形AODH是正方形，
∴AO＝DH＝AH，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝，
∴AB＝2，
∴AO＝，
∴DH＝AH＝AO＝，
在Rt△AHE中，EH＝＝1，
∴DE＝EH+DH＝1+．
22．如图，小明在楼AB前的空地上将无人机升至空中C处，在C处测得楼AB的顶部A处的仰角为42°，测得楼AB的底部B处的俯角为31°．已知C处距地面BD的高度为12m，根据测得的数据，计算楼AB的高度（结果保留整数）．（参考数据：tan42°≈0.90，tan48°≈1.11，tan31°≈0.60）．
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△AEC、△CBD，通过解这两个直角三角形求得AE、DC的长度，进而可解即可求出答案．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E．
依题意得：∠ACE＝42°，∠CBD＝31°，CD＝12m．
可得四边形CDBE是矩形．
∴BE＝DC，CE＝DB．
∵在直角△CBD中，tan∠CBD＝，
∴CE＝DB＝．
∵在直角△ACE中，tan∠ACE＝．
∴AE＝CE•tan42°．
∴AE＝•tan42°≈＝18（米）．
∴AB＝AE+BE＝30（米）．
答：楼AB的高度约为30米．
23．某商场为庆祝开业，特在开业当天推出了两种购物方案：
方案一：非会员购物所有商品价格可享九折优惠；
方案二：若额外缴纳50元会费成为该商场的会员，则所有商品价格可享八折优惠．
设王女士在该商场开业当天的累计购物金额为x元．
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
累计购物金额（元）
350
450
550
650
……
方案一的付款金额（元）
315
405
495
585
……
方案二的付款金额（元）
330
410
490
570
……
（Ⅱ）分别写出王女士按方案一、方案二的付款金额y1元、y2元与累计购物金额x元（x＞0）之间的函数关系式；
（Ⅲ）当x＞200时，王女士选择哪种购物方案更合算？并说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据两种购物方案列式计算即可；
（Ⅱ）根据题意分别得出两种优惠方案的关系式即可；
（Ⅲ）设y＝y1﹣y2，根据（Ⅱ）得出y与x的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（Ⅰ）方案一：550×0.9＝495（元），
650×0.9＝585（元），
方案二：50+550×0.8＝490（元），
50+650×0.8＝570（元），
故答案为：495、585、490、570；
（Ⅱ）根据题意得：y1＝0.9x（x＞0），
y2＝0.8x+50（x＞0）；
（Ⅲ）设y＝y1﹣y2＝0.9x﹣（0.8x+50）＝0.1x﹣50，
令y＝0，解得x＝500，
∴当x＝500时，王女士选择方案一和方案二的付款金额一样．
∵0.1＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当200＜x＜500时，y＜0，王女士选择方案一更合算，
当x＞500时，y＞0，王女士选择方案二更合算．
24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（3，4），点B（6，0）．
（Ⅰ）如图①，求AB的长；
（Ⅱ）如图②，把图①中的△OAB绕点B顺时针旋转，使点O的对应点M恰好落在OA延长线上，N是点A旋转后的对应点．①求证：BN∥OM；②求点N的坐标；
（Ⅲ）点C是OB的中点，点D为线段OA上的动点在△OAB绕点B顺时针旋转过程中，点D的对应点是P，求线段CP长的取值范围（直接写出结果）
【分析】（Ⅰ）如图①中，作AH⊥OB于H．求出AH，BH，利用勾股定理即可解决问题．
（Ⅱ）①想办法证明∠BMO＝∠MBN即可．
②连接AN，作NE⊥OB于E．证明四边形OANB是平行四边形，解直角三角形即可解决问题．
（Ⅲ）分别求解PC的最小值，最大值即可解决问题．
【解答】（Ⅰ）解：如图①中，作AH⊥OB于H．
∵A（3，4），B（6，0），
∴OH＝3，AC＝4，OB＝6，
∴BH＝6﹣3＝3，
在Rt△ACB中，AB＝＝＝5．
（Ⅱ）①证明：如图②中，
由（1）可知：OA＝AB，
∴∠AOB＝∠ABO，
由旋转可知：OB＝BM，
∴∠AOB＝∠BMO，∠MBN＝∠ABO，
∴∠BMO＝∠MBN，
∴BN∥OM．
②解：连接AN，作NE⊥OB于E．
∵OA∥NB，OA＝BN，
∴四边形OANB是平行四边形，
∴AN∥OB，AN＝OB＝6，NE＝4，
在Rt△BNE中，BE＝＝＝3，
∴OE＝OB+BE＝6+3＝9，
∴N（9，4）．
（Ⅲ）解：如图②﹣1中，作BP⊥MN于P．
则BP＝＝，当点P在BC的延长线上时，PC的值最小，最小值＝﹣3＝，
当点P与点M重合，旋转到点M在CB的延长线上时，PC的值最大，最大值＝3+6＝9，
∴≤CP≤9．
25．如图1，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线y＝﹣x+2于点D．设点P的横坐标为m．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，求当PE取得最大值时点P的坐标，并求PE的最大值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当P、D、O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则有PD＝OC＝2，进而求解；
（3）证明△PED∽△BOC，则，即，进而求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，2）．
抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，
∴，
解得，
∴二次函数表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵P点在抛物线上，横坐标为m，
∴P点坐标为（m，﹣m2+m+2），
∵PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线y＝﹣x+2于点D．
∴Q坐标为（m，0），D点坐标为（m，﹣m+2），
当P、D、O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则有PD＝OC＝2，
即|﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）|＝2，即|﹣m2+2m|＝2，
当﹣m2+2m＝2时，解得m＝2，则Q坐标为（2，0），
当﹣m2+2m＝﹣2时，解得m＝2±2，则Q坐标为（2+2，0）或（2﹣2，0），
综上可知，Q点坐标为（2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）；
（3）由（2）可知P点坐标为（m，﹣m2+m+2），Q坐标为（m，0），
D点坐标为（m，﹣m+2），
∴PD＝﹣m2+2m．
在Rt△OBC中，OC＝2，OB＝4，由勾股定理可求得BC＝2，
∵OQ∥OC，
∴∠OCB＝∠BDQ．
∵∠PDE＝∠BDQ，
∴∠OCB＝∠PDE．
∵PE⊥BC，
∴∠PED＝∠COB＝90°．
∴△PED∽△BOC．
∴，
即，
解得：PE＝，
∵P在直线BC上方，
∴0＜m＜4，
∴当m＝2时，PE有最大值，
此时P点坐标为（2，3）．
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