四川省雅安市2021届高三下学期5月第三次诊断考试：数学（理）试题+答案 (PDF版)

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一.选择题
1.A 2.C 3.D 4. B 5. C 6. C 7. C 8.B 9.C 10. A 11. D 12.A
二.填空题
13.3 14. 15. 3 16.②③④
三.解答题
17.解：∵是与的等差中项
∴=
∴ ∴分
∵∴∴ ∴ 分
（2）由（1）得分
分
∵数列为单调递增的数列，∴ ∴ . 分

18.解：（1）由已知可得，岁及以下采用乘坐成雅高铁出行的有
人············分
列联表如表:
·············4分
由列联表中的数据计算可得的观测值
·································6分
由于，故有的把握认为“采用乘坐成雅高铁出行与年龄有关”.····························································7分
（2）采用分层抽样的方法，从“岁及以下”的人中抽取人，
从“岁以上”的人中抽取人，···································8分
的可能取值为:
···········································10分
故分布列如表:
数学期望.·············12分
19．解：（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
因为∠PCD＝90，所以PC⊥CD，
所以CD⊥平面PAC，
所以CD⊥AC．······························································4分
（Ⅱ）因为底面ABCD是平行四边形，CD⊥AC，所以AB⊥AC．又PA⊥底面ABCD，所以AB，AC，AP两两垂直．
如图所示，以点A为原点，以为x轴正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系．

则B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，D(－1，1，0)．
设，则，
又∠DAE＝60°，则，
即，解得． ···································· 8分
则，，
所以.
因为，所以．
又，故二面角B-AE-D的余弦值为．·······················……12分
另解：同上，E(0，，)．
设是平面BAE的法向量，解得法向量，
设是平面DAE的法向量，解得法向量，
，由图可知，二面角的余弦值为.
20.解：（1），·············································1分
由题知，则
椭圆的标准方程··········································4分
（2）（i）若的斜率不存在，则
此时······································.5分
（ii）若的斜率存在，设，设的方程为：，
，·······················6分
由韦达定理得：·········································7分
，·················································8分
··············································11分
所以：为定值1.··············································12分
另解：（2）当直线AB的斜率为0时，，·········5分
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB为：，设则：
，···································6分
，·········································7分
则：，··············································8分
，··················································11分
所以：为定值1.·················································12分
21题：解：（1）由题意，，可得a＝eq \f(1＋ln x,x)（x>0），·············1分
转化为函数T(x)＝eq \f(1＋ln x,x)与直线y＝a在(0，＋∞)上有两个不同交点，········2分
T′(x)＝eq \f(－ln x,x2)(x>0)，
故当x∈(0,1)时，T′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，T′(x)<0，
故T(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，·······················4分
所以T(x)max＝T(1)＝1.
又Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))＝0，故当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))时，T(x)<0，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞))时，T(x)>0. ·······5分
可得a∈(0,1)．························································6分
另解：则：，·········1分
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当时，恒成立，不满足题意；······3分
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当时，单调递减，
则，当
····························5分
综上：·······················································6分
(2)证明： h′(x)＝eq \f(1,x)－a， 因为x1，x2是ln x－ax＋1＝0的两个根，
故ln x1－ax1＋1＝0，ln x2－ax2＋1＝0⇒a＝eq \f(ln x1－ln x2,x1－x2)，·················..·8分
要证h′(x1x2)<1－a，
只需证x1x2>1，即证ln x1＋ln x2>0，即证(ax1－1)＋(ax2－1)>0，
即只需证明 a>eq \f(2,x1＋x2)成立，即证eq \f(ln x1－ln x2,x1－x2)>eq \f(2,x1＋x2).·························9分
不妨设0令t＝eq \f(x1,x2)∈(0,1)，φ(t)＝ln t－eq \f(2t－1,t＋1)，······································11分
φ′(t)＝eq \f(1,t)－eq \f(4,t＋12)＝eq \f(t－12,tt＋12)>0，
则h(t)在(0,1)上单调递增，则φ(t)< φ(1)＝0，
故（*）式成立，即要证不等式得证．······································12分
22. 解 ：（1）直线l的直角坐标方程为：························2分
曲线C的极坐标方程为：，即，
化为直角坐标方程：.
将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，
得到曲线：. ··············································5分
（2）直线的极坐标方程为，
展开可得：.
可得直角坐标方程：.
可得参数方程：（为参数）. ····························7分
代入曲线的直角坐标方程可得：.
解得，.
∴
.·······································10分
23.解：（1）或
解出或无解, 所以，原不等式的解集为[0，1]····················5分
另解：（1）当时，等价于，则
∴或无解
综上，原不等式的解集为[0，1]···········································5分
（2）当时，，因为，所以恒成立，即恒成立，所以满足的解集为；
而，
当时，，
当时，，作出的图像如上图所示，
要使的解集为，则需或，解得或；
综上可得：a的取值范围是. ·····································10 分
40岁及以下
40岁上
合计
乘成雅高铁
40
10
50
不乘成雅高铁
20
30
50
合计
60
40
100