【精品】中考数学备考 专题3.6 以二次函数与四边形为背景的解答题（原卷版+解析版）

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（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；
（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；
（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．
【答案】（1）A（﹣3，0），B（1，0）;（2）﹣2m2﹣8m+2;（3）;（4）F（﹣4，﹣5）或（1，0）．
【详解】
（1）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3）．
令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，
解得，x＝﹣3或x＝l，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
（2）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x＝﹣1．
∵M（m，0），
∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周长＝2（PM+MN）＝（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2＝﹣2m2﹣8m+2．
（3）∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2（m+2）2+10，
∴矩形的周长最大时，m＝﹣2．
∵A（﹣3，0），C（0，3），
设直线AC的解析式y＝kx+b，
∴
解得k＝l，b＝3，
∴解析式y＝x+3，
令x＝﹣2，则y＝1，
∴E（﹣2，1），
∴EM＝1，AM＝1，
∴S＝AM×EM＝．
2．已知：正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，设点B（4，4），点P（t，0）是x轴上一动点，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连AD．
（1）如图1，当点P在线段OC上时，求证：OP＝CD；
（2）在点P运动过程中，△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求t的值；
（3）如图2，抛物线y＝﹣x2+x+4上是否存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析;(2) 综上，t1＝2，t2＝，t3＝;(3)见解析.
（2）点在轴上运动，那么就需分三种情况讨论：
①点在轴负半轴上；可以延续（1）的解题思路，先证明、全等，那么得到的条件是，然后用表示、的长，再根据给出的相似三角形得到的比例线段，列等式求出此时的值，要注意的正负值的判断；
②点在线段上时；由于、都小于等于正方形的边长（即、），所以只有时，给出的两个三角形才有可能相似（此时是全等），可据此求出的值；
③点在点的右侧时；方法同①；
（3）这道题要分两种情况讨论：
①线段为平行四边形的对角线，那么点、关于的中点对称即两点的纵坐标互为相反数，而，即、的横坐标相同，那么先用表示出点的坐标，代入抛物线的解析式中，即可确定的值；
②线段为平行四边形的边；先用表示出的长，把点向左或向右平移长个单位就能表达出点的坐标，代入抛物线解析式后即可得到的值.

（2）解：①点P在x轴负半轴上时，P（t，0），且t＜0，如图①；
∵在Rt△AOP中，OH⊥AP，
∴∠POH＝∠PAO＝90°﹣∠APO；
又∵∠POH＝∠COD，
∴∠COD＝∠PAO；
在△AOP与△OCD中，
∵，
∴△AOP≌△OCD；
∴OP＝CD＝﹣t，则：BD＝BC+CD＝4﹣t；
若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，则有：
，得：，
解得：或（正值舍去）；
②当点P在线段OC上时，P（t，0），0＜t≤4，如图②；
因为OP＜OA、BD＜AB、OA＝AB，
若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，那么有：，所以OP＝BD，即：
t＝4﹣t，t＝2；
③当点P在点C右侧时，P（t，0），t＞4，如图③；
同①可求得；
综上，t1＝2，，．
②PC为平行四边形的边，则DQ∥PC，且QD＝PC；
若P（t，0）、D（4，t），则 PC＝QD＝|t﹣4|，Q（t，t）或（8﹣t，t）；
Q（t，t）时，，即：t2+2t﹣24＝0，
解得 t1＝4（舍）、t2＝﹣6；
Q（8﹣t，t）时，，即：t2﹣6t+8＝0，
解得 t1＝4（舍）、t2＝2．
综上可知，t1＝2，t2＝12，t3＝﹣6，t4＝﹣2．
∴存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形．
3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．
（1）求A、A′、C三点的坐标；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．
【答案】（1）C（﹣1，0），A′（3，0），A（0，3）；（2）；（3）S△AMA′＝＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，S△AMA'的值最大，最大值为，此时M点坐标为（，）．
（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，设M点的坐标为（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，作MN∥y轴交直线AA′于N，求出直线AA′的解析式为y＝﹣x+3，则N（m，﹣m+3），于是可计算出MN＝﹣m2+3m，再利用S△AMA′＝S△ANM+S△MNA′和三角形面积公式得到S△AMA′＝﹣m2+m，然后根据二次函数的最值问题求出△AMA′的面积最大值，同时即可确定此时M点的坐标．
【详解】
（3）设M点的坐标为（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，
作MN∥y轴交直线AA′于N，易得直线AA′的解析式为y＝﹣x+3，则N（m，﹣m+3），
∵MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，学&
∴S△AMA′＝S△ANM+S△MNA′
＝MN•3
＝（﹣m2+3m）
＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，S△AMA'的值最大，最大值为，此时M点坐标为（，）．
4．抛物线与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，且A，B两点的坐标分别为(-2，0)，(8，0)，与y轴交于点C(0，-4)，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线L交抛物线于点Q，交BD于点M.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形?
(3)位于第四象限内的抛物线上是否存在点N，使得△BCN的面积最大?若存在，求出N点的坐标，及△BCN面积的最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) 抛物线解析式为y=x2-x-4；(2) 当m=4时，四边形CQMD是平行四边形； (3) S△BCN= 8.
【详解】

(2)∵C(0，-4)，
∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为(0，4).
设直线BD的解析式为y=kx+b'，则解得k=-，b'=4.
∴直线BD的解析式为y=-x+4.
∵l⊥x轴，
∴点M的坐标为，点Q的坐标为.
如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，
∴=4-(-4).化简得m2-4m=0，解得m1=0(不合题意舍去)，m2=4.
∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形.
(3)存在，理由:
当过点N平行于直线BC的直线与抛物线只有一个交点时，△BCN的面积最大.
∵B(8，0)，C(0，-4)，
∴BC=4.直线BC解析式为y=x-4，设过点N平行于直线BC的直线L解析是为y=x+n①，
∵抛物线解析式为y=x2-x-4②，联立①②得，x2-8x-4(n+4)=0，③
∴Δ=64+16(n+4)=0，
∴n=-8，
∴直线L解析式为y=x-8，将n=-8代入③中得，x2-8x+16=0
∴x=4，
∴y=-6，
∴N(4，-6)，
如图，过点N作NG⊥AB，
∴S△BCN=S四边形OCNG+S△MNG-S△OBC=(4+6)×4+(8-4)×6-×8×6=8.
5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．
①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．[来源:网]
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）①当t=时，面积最小是；②t=、或2.
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）①分别用t表示PE、PQ、EQ，用△PQE∽△QNC表示NC及QN，列出矩形PQNM面积与t的函数关系式问题可解；
②由①利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均分的数量关系，表示点M坐标，分别讨论M、N、Q在抛物线上时的情况，并分别求出t值．
（2）①如图，过点P作PE⊥x轴于点E，
[来源:网ZXXK]
∵直线y=x+1与x轴夹角为45°，P点速度为每秒个单位长度，
∴t秒时点E坐标为（﹣1+t，0），Q点坐标为（3﹣2t，0），
∴EQ=4﹣3t，PE=t，
∵∠PQE+∠NQC=90°，
∠PQE+∠EPQ=90°，
∴∠EPQ=∠NQC，
∴△PQE∽△QNC，
∴，
∴矩形PQNM的面积S=PQ•NQ=2PQ2，
∵PQ2=PE2+EQ2，
∴S=2（）2=20t2﹣48t+32，
当t=时，
S最小=20×（）2﹣48×+32=；

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与轴相交于A、B两点，与轴相交于点C，OA=1，OC=3，连接BC．
（1）求b的值；
（2）点D是直线BC上方抛物线一动点（点B、C除外），当△BCD的面积取得最大值时，在轴上是否存在一点P，使得|PB﹣PD|最大，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若在平面上存在点Q，使得以点B、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q坐标．
【答案】（1）b=2，c=3；（2）P（0，）；（3） （-，），（，-），（，），
【详解】
（1）∵OA=1，OC=3，
∴A（-1，0），C（0，3），
把A（-1，0），C（0，3）代入抛物线y=-x2+bx+c中得：
∵，
（2）由（1）得：抛物线y=-x2+2x+3，
当y=0时，-x2+2x+3=0，
解得：x=-1或3，学&
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，

-x2+2x+3=-x+b，
x2-3x+b-3=0，
△=（-3）2-4×1×（b-3）=0，
，
∵P是y轴上任意一点，
如图2，|PB-PD|＜BD，
∴当P、B、D三点共线时，|PB-PD|最大，如图3，
（3）如图4，分三种情况：
①当CD为平行四边形的对角线时，
7．如图，已知抛物线y=ax2+ x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），直线l：y=﹣ x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．
（1）试求该抛物线表达式；
（2）求证：点C在以AD为直径的圆上；
（3）是否存在点P使得四边形PCOF是平行四边形，若存在求出P点的坐标，不存在请说明理由。
【答案】（1）y= x2+ x﹣4；（2）见解析；（3）（﹣，﹣）或（﹣8，﹣4）．
（3）设P（m，m2＋m－4），则F（m，－m－4），则PF＝－m2－m，当PF＝OC时，四边形PCOF是平行四边形，然后依据PF＝OC列方程求解即可．
试题解析：
（1）解：由题意得： ，解得： ，
∴抛物线的表达式为y＝ x2＋ x﹣4．
（2）证明：把y＝0代入y＝﹣ x﹣4得：﹣ x﹣4＝0，
解得：x＝﹣8．
∴D（﹣8，0）．
∴OD＝8．
∵A（2，0），C（0，﹣4），∴AD＝2﹣（﹣8）＝10．
由两点间的距离公式可知：AC2＝22＋42＝20，DC2＝82＋42＝80，AD2＝100，
∴AC2＋CD2＝AD2 ．
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴点C在以AD为直径的圆上；
(3)解：设P（m， m2＋ m﹣4），则F（m，﹣ m﹣4）．
∴PF＝（﹣ m﹣4）﹣（ m2＋ m﹣4）＝﹣ m2﹣ m．
∵PE⊥x轴，∴PF∥OC．
∴PF＝OC时，四边形PCOF是平行四边形．
∴﹣ m2﹣ m＝4，解得：m＝﹣ 或m＝﹣8．
当m＝﹣ 时， m2＋ m﹣4＝﹣ ，
当m＝﹣8时， m2＋ m﹣4＝﹣4．
∴点P的坐标为（﹣ ，﹣ ）或（﹣8，﹣4）．
8．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）D1（0，1），D2（0，﹣1）；（3）存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）．

（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，
∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），
∴AF∥x轴，
∴F（﹣1，﹣3），
∴BF=3，AF=3，
∴∠BAC=45°，
设D（0，m），则OD=|m|，
∵∠BDO=∠BAC，
∴∠BDO=45°，
∴OD=OB=1，
∴|m|=1，
∴m=±1，
∴D1（0，1），D2（0，﹣1）；

②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，
则N在x轴上，M与C重合，[来源:学*科*网Z*X*X*K]
∴M（0，﹣3），
综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c经过A、B、C三点，已知B（4，0），C（2，﹣6）．
（1）求该抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）点D（m，n）（﹣1＜m＜2）在抛物线图象上，当△ACD的面积为时，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴为l，点D关于l的对称点为E，能否在抛物线图象和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）点A的坐标（﹣1，0）；（2）D（， ）．（3）能．理由见解析
本题解析：
（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过B、C二点，且B（4，0），C（2，﹣6），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式：y=x2﹣3x﹣4，
∵抛物线y=x2﹣3x﹣4经过点A，且点A在x轴上
∴x2﹣3x﹣4=0，解得：x1=﹣1或x2=4（舍去）
∴点A的坐标（﹣1，0）；
（2）如图1，过D作DH垂直x轴于H，CG垂直x轴于G．
∵点D（m，n）（﹣1＜m＜2），C（2，﹣6）
∴点H（m，0），点G（2，0）．
则S△ACD=S△ADH+S四边形HDCG﹣S△ACG，
=|n|（m+1）+（|n|+6）（2﹣m）﹣（|﹣1|+2）×|﹣6|
=|n|﹣3m﹣3，
∵点D（m，n）在抛物线图象上，
∴n=m2﹣3m﹣4，
∵﹣1＜m＜2，即m2﹣3m﹣4＜0
∴|n|=4+3m﹣m2，
∵△ACD的面积为：，
∴（4+3m﹣m2）﹣3m﹣3=
即4m2﹣4m+1=0，
解得m=．
∴D（，）．
②当DE为平行四边形的一条对角线时，对角线PQ、DE互相平分，由于Q在抛物线对称轴上，对称轴l垂直平分DE，因此点P在对称轴与抛物线的交点上，即为抛物线顶点（，﹣）．
综上所述，存在点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）或（，﹣）．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m=，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣（x+2）（x﹣4）或y=﹣x2+x+4或y=﹣（x﹣1）2+．（2）最大值为，此时P（2，4）．（3）（，3）或（6，﹣3）．
试题解析：
（1）因为抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，设y=a（x+2）（x﹣4），
∵OC=2OA，OA=2，
∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a=﹣，
∴y=﹣（x+2）（x﹣4）或y=﹣x2+x+4或y=﹣（x﹣1）2+．
（2）如图1中，作PE⊥x轴于E，交BC于F．
∵CD∥PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m==，
∵直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），
∵BC的解析式为y=﹣x+4，
设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），
∴PF=﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）=﹣（n﹣2）2+2，
∴m==﹣（n﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当n=2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
①当DP是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，

b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，
∵直线PD的解析式为y=x+1，PQ⊥PD，
∴直线PQ的解析式为y=﹣x+，
∴Q（8，0），

11．如图，抛物线 经过A（－3,0），C(5,0)两点，点B为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t，过点P作PM⊥BD，交BC于点M，以PM为正方形的一边，向上作正方形PMNQ，边QN交BC于点R，延长NM交AC于点E．
①当t为何值时，点N落在抛物线上；
②在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ为平行四边形？若存在，求出此时刻的t值；若不存在，请说明理由．


【答案】（1） ；（2）①t=4；②
试题解析：解：（1）∵y=ax2+bx+经过A（﹣3，0），C（5，0）两点，∴，解得： ，∴抛物线的解析式为；*网
（2）∵=﹣（x2﹣2x+1）+=﹣（x﹣1）2+8，∴点B的坐标为（1，8）．设直线BC的解析式为y=kx+m，则，解得： ，所以直线BC的解析式为y=﹣2x+10．∵抛物线的对称轴与x轴交于点D，∴BD=8，CD=5﹣1=4．∵PM⊥BD，∴PM∥CD，∴△BPM∽△BDC，∴，即，解得：PM=t，∴OE=1+t．∴ME=-2(1+t)+10=8-t．．∵四边形PMNQ为正②存在．理由如下：
∵PM=t，四边形PMNQ为正方形，∴QD=NE=8﹣t．∵直线BC的解析式为y=﹣2x+10，∴﹣2x+10=8﹣t，解得：x=t+1，∴QR=t+1﹣1=t．又∵EC=CD﹣DE=4﹣t，根据平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC，即t=4﹣t，解得：t=，此时点P在BD上，所以，当t=时，四边形ECRQ为平行四边形．
12．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）设P点是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？
【答案】（1）；（2）；（3），有5个．
试题解析：(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，
把C(0,−3)代入得−3a=−3，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=(x+1)(x−3)，
即y=x2−2x−3；
(2)抛物线的对称轴为直线x=1，
设E(t,t2−2t−3)，
当0