【精品】中考数学备考 专题1.6 以新定义与阅读理解问题为背景的选择填空题（原卷版+解析版）

【考查知识点】

所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力. 阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题. 

【解题思路】

“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.

【典型例题】

【例1】现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（  ）

A.（1，2，1，2，2）    B.（2，2，2，3，3）   

C.（1，1，2，2，3）    D.（1，2，1，1，2）

【答案】D

【名师点睛】题本考查了规律型：数字的变化类，探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．

【例2】对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为_____．

【答案】1

【名师点睛】本题是新定义运算题，考查了解方程，涉及到完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键．此题考查了实数的运算，弄清题意是解决本题的关键．

【例3】阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（  ）

A．    B．    C．    D．方程组的解为

【答案】C

【解析】【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得.

【详解】A、D==2×（-2）-3×1=﹣7，故A选项正确，不符合题意；

B、Dx==﹣2﹣1×12=﹣14，故B选项正确，不符合题意；

C、Dy==2×12﹣1×3=21，故C选项不正确，符合题意；

D、方程组的解：x==2，y==﹣3，故D选项正确，不符合题意，

故选C．

【名师点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材料中提供的方法进行解答是关键.

【例4】如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1=y2，记M=y1=y2．①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．

【答案】②③

④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2时的x值，由此可得出：若M=2，则x=1或2+，结论④错误．

此题得解．

详解：①当x＞2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，

∴当x＞2时，M=y1，结论①错误；

②当x＜0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，

∴当x＜0时，M=y1，

∴M随x的增大而增大，结论②正确；

③∵y1=-x2+4x=-（x-2）2+4，

∴M的最大值为4，

∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；[来源:学*科*网Z*X*X*K]

④当M=y1=2时，有-x2+4x=2，

解得：x1=2-（舍去），x2=2+；

当M=y2=2时，有2x=2，

解得：x=1．

∴若M=2，则x=1或2+，结论④错误．

综上所述：正确的结论有②③．

故答案为：②③．

【名师点睛】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．

【方法归纳】阅读试题提供新定义、新定理，根据所给的内容类比解决新问题 ；阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题；阅读理解型问题是指通过阅读材料，理解材料中所提供新的方法或新的知识，并灵活运用这些新方法或新知识，去分析、解决类似的或相关的问题。

【针对练习】

1．对任意实数a，b定义运算“∅”：a∅b=，则函数y=x2∅（2﹣x）的最小值是（　　）

A．﹣1    B．0    C．1    D．4

【答案】C

∵x2＞2﹣x

∴x2+x﹣2＞0，解得：x＜﹣2或x＞1，此时，y＞1无最小值．

∵x2≤2﹣x，∴x2+x﹣2≤0，解得：﹣2≤x≤1．

∵y=﹣x+2是减函数，∴当x=1时，y=﹣x+2有最小值是1，∴函数y=x2∅（2﹣x）的最小值是1．

故选C．[来源:Z。xx。k.Com]

2．阅读材料：设，，如果，则.根据该材料填空：已知，，且，则         ．

【答案】6.

【解析】

试题分析:利用新定义设，，如果，则，2m=4×3,m=6.

3．平面直角坐标系中，点P的坐标为（m，n），则向量可以用点P的坐标表示为=（m，n）；已知=（x1，y1），=（x2，y2），若x1x2+y1y2=0，则与互相垂直．

下面四组向量：①=（3，﹣9），=（1，﹣）；

②=（2，π0），=（2﹣1，﹣1）；

③=（cos30°，tan45°），=（sin30°，tan45°）；

④=（+2，），=（﹣2，）．

其中互相垂直的组有（　　）

A．1组    B．2组    C．3组    D．4组

【答案】A

③∵cos30°×sin30°+tan45°×tan45°≠0，

∴与不垂直．

④∵(+2)(﹣2)+×≠0，

∴与不垂直．

故选：A．

4．对于任意大于0的实数x、y，满足：log2（x•y）＝log2x+log2y，若log22＝1，则log216＝_____．

【答案】4．

5．规定：在平面直角坐标系中，如果点的坐标为，向量可以用点的坐标表示为：.已知：，，如果，那么与互相垂直.

下列四组向量，互相垂直的是（   ）

A．，    B．，

C．，    D．，

【答案】A

【解析】

分析：根据向量垂直的定义一一进行判断即可.

详解：A. 与互相垂直.

B. ,不垂直.

C. ,不垂直.

D. ,不垂直.

故选A.

6．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，﹣300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（  ）

A．Q（3，240°）    B．Q（3，﹣120°）    C．Q（3，600°）    D．Q（3，﹣500°）

【答案】D

7．如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数y=x﹣[x]的图象为（　　）

A．    B．

C．    D．

【答案】A

【解析】分析：根据定义可将函数进行化简．

详解：当﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，y=x+1

当0≤x＜1时，[x]=0，y=x

当1≤x＜2时，[x]=1，y=x﹣1

……

故选A．

8．已知: 表示不超过的最大整数，例: ，令关于的函数 (是正整数)，例：=1，则下列结论错误的是（    ）

A．    B．

C．    D．或1

【答案】C

当k=4n时，==n-n=0，

当k=4n+1时，==n-n=0，

当k=4n+2时，==n-n=0，

当k=4n+3时，==n+1-n=1，

所以或1，故D选项正确，不符合题意，

故选C.

9．对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=_____________.

【答案】60

10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为______．

【答案】1

【解析】

【分析】

把题中的三角形三边长代入公式求解.

【详解】

∵S=，∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：

S==1，

故答案为：1．

11．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知反比例函数y=（m＜0）与y=x2﹣4在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，则实数m的取值范围为__．

【答案】﹣2≤m＜﹣1．

【详解】

∵y=x2﹣4，

∴当x=0时，y=﹣4，当y=0时，x=±2，当x=1时，y=﹣3，

∴抛物线y=x2﹣4在第四象限内的部分是（0，﹣4）到（2，0）这一段曲线部分，

∵反比例函数y=（m＜0）与y=x2﹣4在第四象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，

∴，

解得，﹣2≤m＜﹣1，

故答案为：﹣2≤m＜﹣1.

12．规定：，如：，若，则＝__.

【答案】1或-3

【解析】

【分析】

根据a⊗b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可．

【详解】[来源:Zxxk.Com]

依题意得：（2+x）x=3，

整理，得 x2+2x=3，

所以 （x+1）2=4，

所以x+1=±2，

所以x=1或x=-3．

故答案是：1或-3．

13．如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA=，则PB+PC=_____．

【答案】1+．

∴，

∵PA=，

∴PB=1，PC=，

∴PB+PC=1+．

故答案为1+．

14．阅读下列材料：设x==0.333…①，则10x=3.333…②，则由②﹣①得：9x=3，即x=．所以=0.333…=．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数． =_____， =_____．

【答案】   

【解析】试题分析：设=x=0.777…①，则 10x=7.777…② 则由②﹣①得：9x=7，即 x=；

根据已知条件=0.333…=．可以得到=1+ =1+ = ．

故答案为：；．

15．为了从2018枚外形相同的金蛋中找出唯一的有奖金蛋，检查员将这些金蛋按1﹣2018的顺序进行标号．第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1﹣1009编了号（即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号……原来的2018号变为1009号），又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋……如此下去，检查到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金蛋最初的编号是_____．

【答案】1024

16．对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高．如图2，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是_____．

【答案】

17．对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b=ab﹣a+b﹣2．例如，2※5=2×5﹣2+5﹣2=ll．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是_____．

【答案】1

【解析】【分析】根据新定义可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得出结论．

【详解】∵3※x=3x﹣3+x﹣2＜2，

∴x＜，

∵x为正整数，

∴x=1，

故答案为：1．

18．如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知θ=60°，点M′的斜坐标为（3，2），点N与点M关于y轴对称，则点N的斜坐标为_____．

【答案】（﹣2，5）

∴△NDK≌△MBK，

∴DN=BM=OC=2，DK=BK，[来源:Zxxk.Com]

在Rt△KBM中，BM=2，∠MBK=60°，

∴∠BMK=30°，

∴DK=BK=BM=1，

∴OD=5，

∴N（-2，5），

故答案为（-2，5）

19．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．

图2中的图案外轮廓周长是_____；

在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_____．

【答案】  14  21

【详解】图2中的图案外轮廓周长是：8﹣2+2+8﹣2=14；[来源:学科网ZXXK]

设∠BPC=2x，

∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：，

以∠APB为内角的正多边形的边数为：，

∴图案外轮廓周长是=﹣2+﹣2+﹣2=+﹣6，

根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°，

当x越小时，周长越大，

∴当x=30时，周长最大，此时图案定为会标，

则则会标的外轮廓周长是=﹣6=21，

故答案为：14，21．

20．若为实数，则表示不大于的最大整数，例如，，等. 是大于的最小整数，对任意的实数都满足不等式. ①，利用这个不等式①，求出满足的所有解，其所有解为__________．

【答案】或1.

 21．设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时，的值为__________.

【答案】

【解析】分析：以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，联立直线AB及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由PQ的长度可得出点P的坐标（点P在直线y=-x上找出点P的坐标），由图形的对称性结合点A、B和P的坐标可得出点P′的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．

详解：以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，如图所示．

联立直线AB及双曲线解析式成方程组，，
 

22．阅读材料：若ab=N，则b=logaN，称b为以a为底N的对数，例如23=8，则log28=log223=3．根据材料填空：log39=_____．

【答案】2

【解析】

分析：由于32=9，利用对数的定义计算．

详解：∵32=9，

∴log39=log332=2．

故答案为：2．

23．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是_____（不包括5）．

【答案】9或13或49.