2020年湖南省张家界市永定区中考数学模拟试卷 解析版

这是一份2020年湖南省张家界市永定区中考数学模拟试卷 解析版，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答下列各题等内容，欢迎下载使用。

2020年湖南省张家界市永定区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示，AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠D＝98°，则∠C的度数为（　　）

A．39° B．40° C．41° D．42°
3．七年级（1）班与（2）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为13.5，（2）班成绩的方差为14，由此可知（　　）
A．（1）班比（2）班的成绩稳定
B．（2）班比（1）班的成绩稳定
C．两个班的成绩一样稳定
D．无法确定哪班的成绩更稳定
4．关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣1）﹣mx＝0根的情况，下列判断正确的是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．如图是由7个小正方体组合成的几何体，则其左视图为（　　）

A． B．
C． D．
6．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（a3）3＝a6 D．a3•a2＝a5
7．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．四条边相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．四个角相等的四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
8．《九章算术》记载“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME＝30步，NF＝750步，则正方形的边长为（　　）

A．150步 B．200步 C．250步 D．300步
二、填空题（每小题3分，共6道小题，合计18分）
9．因式分解：x2﹣1＝　 　．
10．已知某种流感病毒的形状如球形，直径大约为0.000000109m，将0.000000109m用科学记数法表示为　 　m．
11．不等式组的最小整数解是　 　．
12．一个数学学习兴趣小组有6名女生，4名男生，现要从这10名学生中选出1人担任组长，则男生当选组长的概率是　 　．
13．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为　 　cm．

14．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为　 　．

三、解答下列各题（共9道小题，合计58分）
15．计算：．
16．先化简：+÷在从﹣1≤x≤3的整数 中选取一你喜欢的x的值代入求值．
17．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）如果AD＝7，DC＝2，∠EBD＝60°，那么当四边形BFCE为菱形时BE的长是多少？

18．观察下列等式
①1+＝1+
②+＝+
③+＝+
…………
（1）第④个等式为：　 　；
（2）请你猜想第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数），并证明其正确性．
19．某文化用品专卖店购进了A、B两种笔记本，其中A类笔记本的进价比B类笔记本的进价每本多3元，经调查发现：用720元购进A类笔记本的数量与用600元购进B类笔记本的数量相同．
（1）求A、B的进价分别是每本多少元？
（2）该文化用品专卖店共购进了A、B两类笔记本共100本，若专卖店将每本A类笔记本定价为30元出售，每本B类笔记本定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则该文化用品专卖店至少购进A类笔记本多少本？
20．第八届翼装飞行世锦赛于2019年9月5日至8日在张家界市天门山景区举行，来自11个国家16名全球顶尖翼装飞行运动员，挑战大回环竞速和“人箭”精准穿靶等项目的精彩刺激比赛．某运动员从离水平地面1000米高的A点出发（AB＝1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后再沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求这个运动员飞行的水平距离BC．

21．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是弧BC中点，过点D作EF垂直AC的延长线于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若圆的半径为5，BD＝6，求AE的长度．

22．某学校在倡导学生大课间活动中，随机抽取了部分学生对“我最喜爱的课间活动”进行了一次抽样调查，分别从打篮球、踢足球、自由活动、跳绳、其它等5个方面进行问卷调查（每人只能选一项），根据调查结果绘制了如图的不完整统计图，请你根据图中信息，解答下列问题．
（1）在这次调查中，一共抽取了　 　名学生；
（2）请你补全条形统计图；
（3）扇形统计图中喜欢“打篮球”部分扇形的圆心角为　 　度；
（4）若全校共有中学生1200人，请你估计该校喜欢踢足球学生有多少人？

23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点的坐标为（﹣3，0），B点在原点的左侧，与y轴交于点C（0，3），点P是直线AC上方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C（如图1所示），那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请此时点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大，并求出其最大值．



2020年湖南省张家界市永定区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：|﹣|＝．
故选：C．
2．如图所示，AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠D＝98°，则∠C的度数为（　　）

A．39° B．40° C．41° D．42°
【分析】根据平行线的性质可求解∠ABC＝∠DCB及∠ABD的度数，结合角平分线的定义可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠D＝98°，
∴∠ABC＝∠DCB，∠ABD+∠D＝180°，
∴∠ABD＝180°﹣98°＝82°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝∠ABD＝41°，
∴∠DCB＝41°，
故选：C．
3．七年级（1）班与（2）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为13.5，（2）班成绩的方差为14，由此可知（　　）
A．（1）班比（2）班的成绩稳定
B．（2）班比（1）班的成绩稳定
C．两个班的成绩一样稳定
D．无法确定哪班的成绩更稳定
【分析】根据方差的意义判断即可．
【解答】解：∵（1）班成绩的方差为13.5，（2）班成绩的方差为14，
∴（1）班成绩的方差小于（2）班成绩的方差，
∴（1）班比（2）班的成绩稳定，
故选：A．
4．关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣1）﹣mx＝0根的情况，下列判断正确的是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】由根的判别式的符号来判定原方程的根的情况．
【解答】解：原方程可化为：x2﹣mx﹣1＝0，
∵△＝m2+4＞0，
∴对于任意的实数m，方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
5．如图是由7个小正方体组合成的几何体，则其左视图为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得其左视图为：

故选：A．
6．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（a3）3＝a6 D．a3•a2＝a5
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝2a2，不符合题意；
B、原式＝a2+b2+2ab，不符合题意；
C、原式＝a9，不符合题意；
D、原式＝a5，符合题意．
故选：D．
7．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．四条边相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．四个角相等的四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】利用矩形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、四条边相等的四边形是菱形，故错误，是假命题；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误，是假命题；
C、四个角相等的四边形是矩形，正确，是真命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题，
故选：C．
8．《九章算术》记载“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME＝30步，NF＝750步，则正方形的边长为（　　）

A．150步 B．200步 C．250步 D．300步
【分析】根据题意，可知Rt△AEN∽Rt△FAN，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
【解答】解：设正方形的边长为x步，
∵点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，
∴AM＝AD，AN＝AB，
∴AM＝AN，
由题意可得，Rt△AEM∽Rt△FAN，
∴＝，
即AM2＝30×750＝22500，
解得：AM＝150，
∴AD＝2AM＝300步；
故选：D．
二．填空题（共6小题）
9．因式分解：x2﹣1＝　（x+1）（x﹣1）　．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
10．已知某种流感病毒的形状如球形，直径大约为0.000000109m，将0.000000109m用科学记数法表示为　1.09×10﹣7　m．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.000000109m用科学记数法表示为1.09×10﹣7m．
故答案是：1.09×10﹣7．
11．不等式组的最小整数解是　3　．
【分析】首先分别解出两个不等式，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，再找出符合条件的整数解即可．
【解答】解：，
由①得：x≥1，
由②得：x＞2，
不等式组的解集为：x＞2，
不等式组的最小整数解为3．
故答案为3．
12．一个数学学习兴趣小组有6名女生，4名男生，现要从这10名学生中选出1人担任组长，则男生当选组长的概率是　　．
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用男生的人数除以这个学习兴趣小组的总人数，求出男生当选组长的概率是多少即可．
【解答】解：∵一个数学学习兴趣小组有6名女生，4名男生，
∴要从这10名学生中选出一人担任组长，男生当选组长的概率是：
4÷（6+4）＝．
故答案为．
13．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为　2　cm．

【分析】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA＝2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．
【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，
∵OA＝2OD＝2cm，
∴AD＝＝＝cm，
∵OD⊥AB，
∴AB＝2AD＝cm．
故答案为：2．

14．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为　　．

【分析】根据等边三角形的性质和已知条件，可求出OM，通过作垂线，利用解直角三角形，求出点M的坐标，进而确定反比例函数的关系式；点N在双曲线上，而它的纵横坐标都不知道，因此可以用直线AB的关系式与反比例函数的关系式组成方程组，解出x的值，再进行取舍即可．
【解答】解：过点N、M分别作NC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°
∵又OM＝2MA，
∴OM＝2，MA＝1，
在Rt△MOD中，
OD＝OM＝1，MD＝，
∴M（1，）；
∴反比例函数的关系式为：y＝，

设OC＝a，则BC＝3﹣a，NC＝，
在Rt△BCN中，
NC＝BC，
∴＝（3﹣a），
解得：x＝，x＝（舍去）
故答案为：，

三．解答题
15．计算：．
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣1﹣4×+1
＝
＝0．
16．先化简：+÷在从﹣1≤x≤3的整数 中选取一你喜欢的x的值代入求值．
【分析】直接利用分式的混合运算法则计算，再把已知数据代入求出答案．
【解答】解：原式＝+•
＝+
＝，
∵从﹣1≤x≤3的整数 中选取一你喜欢的x的值，
∴x可以为：﹣1，0，1，2，
当x＝0，1，2时，分式无意义，
当x＝﹣1时，
原式＝﹣．
17．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）如果AD＝7，DC＝2，∠EBD＝60°，那么当四边形BFCE为菱形时BE的长是多少？

【分析】（1）由AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF＝EC，∠ACE＝∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；
（2）当四边形BFCE是菱形时，BE＝CE，根据菱形的性质即可得到结果．
【解答】（1）证明：∵AB＝DC，
∴AC＝DB，
在△AEC和△DFB中，
，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴BF＝EC，∠ACE＝∠DBF，
∴EC∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形；

（2）解：当四边形BFCE是菱形时，BE＝CE，
∵AD＝7，DC＝2，AB＝CD＝2，
∴BC＝7﹣2﹣2＝3，
∵∠EBD＝60°，
∴BE＝BC＝3，
∴当四边形BFCE是菱形时，BE的长是3．

18．观察下列等式
①1+＝1+
②+＝+
③+＝+
…………
（1）第④个等式为：　+＝+　；
（2）请你猜想第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数），并证明其正确性．
【分析】（1）根据规律可以得出 第④个等式；
（2）根据规律可以得出第n个等式，把式子拆分，进一步抵消计算得出结果．
【解答】解：（1）根据上面的规律可得第④个等式为：+＝+；
故答案为：+＝+；
（2）根据上面的规律可得第n个等式：
+＝+，
证明：左边＝+＝＝，
右边＝+＝，
∴左边＝右边，
∴等式成立，猜想正确．
19．某文化用品专卖店购进了A、B两种笔记本，其中A类笔记本的进价比B类笔记本的进价每本多3元，经调查发现：用720元购进A类笔记本的数量与用600元购进B类笔记本的数量相同．
（1）求A、B的进价分别是每本多少元？
（2）该文化用品专卖店共购进了A、B两类笔记本共100本，若专卖店将每本A类笔记本定价为30元出售，每本B类笔记本定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则该文化用品专卖店至少购进A类笔记本多少本？
【分析】（1）设B类笔记本的进价为x元，则A类笔记本的进价是（x+3）元，根据“用720元购进A类笔记本的数量与用600元购进B类笔记本的数量相同”列出方程并解答；
（2）设购进A类笔记本a个，则购进B类笔记本（100﹣a）个，根据“全部售出后所获得利润不少于1080元”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设B类笔记本的进价为x元，则A类笔记本的进价是（x+3）元，
由题意得：，
解得：x＝15，
经检验：x＝15是原方程的解．所以15+3＝18（元）．
答：A类笔记本的进价是18元，B类笔记本的进价是15元；
（2）设购进A类笔记本a个，则购进B类笔记本（100﹣a）个，
由题意得：12a+10（100﹣a）≥1080，
解得：a≥40，
答：该文化用品专卖店至少购进A类笔记本40个．
20．第八届翼装飞行世锦赛于2019年9月5日至8日在张家界市天门山景区举行，来自11个国家16名全球顶尖翼装飞行运动员，挑战大回环竞速和“人箭”精准穿靶等项目的精彩刺激比赛．某运动员从离水平地面1000米高的A点出发（AB＝1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后再沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求这个运动员飞行的水平距离BC．

【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，由题意得∠ADE＝30°，∠CDF＝30°，再由含30度的直角三角形的性质得AE＝AD＝700（米），DE＝AE＝700（米），则BE＝300（米），DF＝300，BF＝700（米），然后在Rt△CDF中求出CF，即可解决问题．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
则∠ADE＝30°，∠CDF＝30°，
在Rt△ADE中，AE＝AD＝×1400＝700（米），
∴DE＝AE＝（米），
∴BE＝AB﹣AE＝1000﹣700＝300（米），
∴DF＝300（米），BF＝（米），
在Rt△CDF中，CF＝DF＝×300＝（米），
∴BC＝+＝（米），
答：选手飞行的水平距离BC为米．

21．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是弧BC中点，过点D作EF垂直AC的延长线于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若圆的半径为5，BD＝6，求AE的长度．

【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠OAD＝∠ADO，由圆周角定理得出∠DAE＝∠OAD，则∠ADO＝∠DAE，得出∠ODF＝90°，则可得出结论；
（2）由勾股定理求出AD＝8，证明△AED∽△ADB，由相似三角形的性质得出，求出AE的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，如图：

∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵点D是弧BC中点，
∴，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵EF⊥AE，
∴∠E＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴DO⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵圆的半径为5，BD＝6，
∴AB＝10，BD＝6，
在Rt△ADB中，，
∵∠EAD＝∠DAB，∠AED＝∠ADB＝90°，
∴△AED∽△ADB，
∴，即，
解得：AE＝6.4．
22．某学校在倡导学生大课间活动中，随机抽取了部分学生对“我最喜爱的课间活动”进行了一次抽样调查，分别从打篮球、踢足球、自由活动、跳绳、其它等5个方面进行问卷调查（每人只能选一项），根据调查结果绘制了如图的不完整统计图，请你根据图中信息，解答下列问题．
（1）在这次调查中，一共抽取了　50　名学生；
（2）请你补全条形统计图；
（3）扇形统计图中喜欢“打篮球”部分扇形的圆心角为　36　度；
（4）若全校共有中学生1200人，请你估计该校喜欢踢足球学生有多少人？

【分析】（1）根据打篮球的人数和百分比即可解决问题；
（2）求出本次调查中喜欢踢足球人数即可解决问题；
（3）用360°乘以喜欢“打篮球”的学生所占的百分比即可；
（4）用全校的总人数乘以喜欢踢足球的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）共抽取的学生人数有：5÷10%＝50（人）．
故答案为：50；

（2）喜欢踢足球的人数有：50﹣5﹣20﹣8﹣5＝12（人），补全统计图如下：


（3）扇形统计图中喜欢“打篮球”部分扇形的圆心角为360×10%＝36（度）．
故答案为：36；

（4）估计该校喜欢踢足球学生有：1200×＝288（人）．
23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点的坐标为（﹣3，0），B点在原点的左侧，与y轴交于点C（0，3），点P是直线AC上方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C（如图1所示），那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请此时点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大，并求出其最大值．

【分析】（1）利用待定系数法直接将B、C两点直接代入y＝x2+bx+c求解b，c的值即可得抛物线解析式．
（2）利用菱形对角线的性质及折叠的性质可以判断P点的纵坐标为﹣，令y＝﹣即可得x2﹣2x﹣3＝﹣，解该方程即可确定P点坐标．
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABCP的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线AC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ABCP的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABCP的最大面积及对应的P点坐标．
【解答】解：（1）∵C点坐标为（0，3）
∴y＝﹣x2+bx+3
把A（﹣3，0）代入上式得，0＝9﹣3b+3．
解得，b＝﹣2．
∴该二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）存在．如图1，
设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），PP′交CO于E，
当四边形POP'C为菱形时，则有PC＝PO，连接PP′，则PE⊥CO于E．
∴OE＝CE＝．
令﹣x2﹣2x+3＝．
解得，x1＝﹣，x2＝（不合题意，舍去）．
∴P点的坐标为（﹣，）．

（3）如图2，过点P作y轴的平行线与AC交于点Q，与OA交于点F，设P（x，﹣x2﹣2x+3），设直线AC的解析式为：y＝kx+t，
则，
解得：．
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
则Q点的坐标为（x，x+3）；
当0＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴AO＝3，OB＝1，则AB＝4，
S四边形ABCP＝S△ABC+S△APQ+S△CPQ
＝AB•OC+QP•OF+QP•AF
＝×4×3+[（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）]×3
＝﹣（x+）2+．
当x＝﹣时，四边形ABCP的面积最大
此时P点的坐标为（﹣，），四边形ABPC的面积的最大值为．