2018-2019学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2018-2019学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠2B．x≠1C．x＝2D．x＝1
3．（3分）据《经济日报》2018年5月21日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到7nm（1nm＝10﹣9m），主流生产线的技术水平为14～28nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm．将28nm用科学记数法可表示为（ ）
A．28×10﹣9mB．2.8×10﹣8mC．28×109mD．2.8×108m
4．（3分）下列分解因式正确的是（ ）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4）B．x2+xy+x＝x（x+y）
C．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2D．x2﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2）
5．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．1
7．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．50°B．70°C．75°D．80°
8．（3分）已知3，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB＝2时，S2﹣S1的值为（ ）
A．2aB．2bC．2a﹣2bD．﹣2b
10．（3分）小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．无数个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若分式的值为0，则x＝ ．
12．（3分）已知等腰三角形的一个外角是80°，则它顶角的度数为 ．
13．（3分）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 ．
14．（3分）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是 ．
15．（3分）如果关于x的方程2无解，则a的值为 ．
16．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，以PB为边作等边△PBM，则线段AM的长最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）（1）计算2a2•a4﹣（2a2）3+7a6
（2）因式分解3x3﹣12x2+12x
18．（8分）已知如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A＝∠C，求证：AD＝CD．
19．（8分）（1）化简
（2）先化简，再求值，其中x为整数且满足不等式组．
20．（8分）已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β．
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝ °，β＝ °．
②求α，β之间的关系式．
（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．
21．（8分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
22．（10分）根据以下10个乘积，回答问题：
11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．
（1）将以上各乘积分别写成“a2﹣b2”（两数平方）的形式，将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（2）用含有a，b的式子表示（1）中的一个一般性的结论（不要求证明）；
（3）根据（2）中的一般性的结论回答下面问题：某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有两种方案方案：第一次提价p%，第二次提价q%；方案2：第一、二次提价均为%，其中p≠q，比较哪种方案提价最多？
23．（10分）如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作两个等边三角形△ABD，△ACE．连接BE、CD交点F，连接AF．
（1）求证：△ACD≌△AEB；
（2）求证：AF+BF+CF＝CD．
24．（12分）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝DB，DB⊥AC．
①直接写出∠ADC的大小；
②求证：AB2+BC2＝AC2．
迁移应用：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝BC＝CD＝DA＝2，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE、CF．
①求证：△CEF是等边三角形；
②若∠BAF＝45°，求BF的长．
2018-2019学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共小10题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠2B．x≠1C．x＝2D．x＝1
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：A．
3．（3分）据《经济日报》2018年5月21日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到7nm（1nm＝10﹣9m），主流生产线的技术水平为14～28nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm．将28nm用科学记数法可表示为（ ）
A．28×10﹣9mB．2.8×10﹣8mC．28×109mD．2.8×108m
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：28nm＝28×10﹣9m＝2.8×10﹣8m．
故选：B．
4．（3分）下列分解因式正确的是（ ）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4）B．x2+xy+x＝x（x+y）
C．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2D．x2﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2）
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式分别分析得出答案．
【解答】解：A、﹣x2+4x＝﹣x（x﹣4），故此选项错误；
B、x2+xy+x＝x（x+y+1），故此选项错误；
C、x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2，故此选项正确；
D、x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故此选项错误；
故选：C．
5．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】依据分式的基本性质以及分式中的符号法则进行判断即可．
【解答】解：A.，错误；
B.，错误；
C.，正确；
D.，错误；
故选：C．
6．（3分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．1
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
【解答】解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m＝3、1﹣n＝2，
解得：m＝2、n＝﹣1，
所以m+n＝2﹣1＝1，
故选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．50°B．70°C．75°D．80°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝25°，
∵∠B＝60°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，
故选：B．
8．（3分）已知3，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由3得出3，即x﹣y＝﹣3xy，整体代入原式，计算可得．
【解答】解：∵3，
∴3，
∴x﹣y＝﹣3xy，
则原式


，
故选：D．
9．（3分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB＝2时，S2﹣S1的值为（ ）
A．2aB．2bC．2a﹣2bD．﹣2b
【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【解答】解：S1＝（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）＝（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD﹣a），
S2＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），
∴S2﹣S1＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）＝（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）＝b•AD﹣ab﹣b•AB+ab＝b（AD﹣AB）＝2b．
故选：B．
10．（3分）小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．无数个
【分析】直接利用平移的性质结合轴对称图形的性质得出答案．
【解答】解：如图所示：正方形ABCD可以向上、下、向右以及沿AC所在直线，沿BD所在直线平移，
所组成的两个正方形组成轴对称图形．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若分式的值为0，则x＝ 1 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：分式的值为0，得
x2﹣1＝0且x+1≠0．解得x＝1，
故答案为：1．
12．（3分）已知等腰三角形的一个外角是80°，则它顶角的度数为 100° ．
【分析】三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，100°只可能是顶角．
【解答】解：等腰三角形一个外角为80°，那相邻的内角为100°，
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以100°只可能是顶角．
故答案为：100°．
13．（3分）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 a+6 ．
【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解．
【解答】解：拼成的长方形的面积＝（a+3）2﹣32，
＝（a+3+3）（a+3﹣3），
＝a（a+6），
∵拼成的长方形一边长为a，
∴另一边长是a+6．
故答案为：a+6．
14．（3分）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是 xy＝z ．
【分析】首项判断出这列数中，2的指数各项依次为 1，2，3，5，8，13，…，从第三个数起，每个数都是前两数之和；然后根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，可得这列数中的连续三个数，满足xy＝z，据此解答即可．
【解答】解：∵21×22＝23，22×23＝25，23×25＝28，25×28＝213，…，
∴x、y、z满足的关系式是：xy＝z．
故答案为：xy＝z．
15．（3分）如果关于x的方程2无解，则a的值为 2或1 ．
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：去分母得，ax﹣1＝2（x﹣1）
ax﹣2x＝﹣1，
（a﹣2）x＝﹣1，
当a﹣2＝0时，
∴a＝2，
此时方程无解，满足题意，
当a﹣2≠0时，
∴x，
将x代入x﹣1＝0，
解得：a＝1，
综上所述，a＝1或a＝2，
故答案为：1或2．
16．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，以PB为边作等边△PBM，则线段AM的长最大值为 5 ．
【分析】分情况讨论，当点P在第一象限内时，将△APM绕着点P顺时针旋转60°得△DPB，连接AD，根据旋转的性质求得AM的最大值为5，当点P在第四象限内时，同理可得线段AM的长最大值为5．
【解答】解：如图，当点P在第一象限内时，将△APM绕着点P顺时针旋转60°得△DPB，连接AD，则
DP＝AP，∠APD＝60°，AM＝BD，
∴△ADP是等边三角形，
∴由BD≤AD+AB可得，当D在BA的延长线上时，BD最长，
此时，点D与点O重合，
又∵点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴AB＝5﹣2＝3，AD＝AO＝2，
∴BD＝AD+AB＝2+3＝5＝AM，
即线段AM的长最大值为5；
当点P在第四象限内时，同理可得线段AM的长最大值为5．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）（1）计算2a2•a4﹣（2a2）3+7a6
（2）因式分解3x3﹣12x2+12x
【分析】（1）根据单项式乘单项式的运算法则、合并同类项法则计算；
（2）利用提公因式法和完全平方公式因式分解．
【解答】解：（1）原式＝2a6﹣8a6+7a6＝a6；
（2）原式＝3x（x2﹣4x+4）＝3x（x﹣2）2．
18．（8分）已知如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A＝∠C，求证：AD＝CD．
【分析】连接AC，加一辅助线，使这个四边形变成两个三角形，然后利用等腰三角形的性质，可得AD＝CD．
【解答】证明：连接AC，
∵△ABC中，AB＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC．
又∵∠BAD＝∠BCD，∠BCD＝∠BCA+∠ACD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD；
∴∠CAD＝∠ACD．
∴AD＝CD（等角对等边）．
19．（8分）（1）化简
（2）先化简，再求值，其中x为整数且满足不等式组．
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，解不等式组求出不等式组的整数解，从中找到符合分式的整数，代入计算可得．
【解答】解：（1）原式


＝x+2；
（2）原式
•
，
解不等式组得﹣2≤x＜2，
所以该不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0、1，
因为x≠±1且x≠0，
所以x＝﹣2，
则原式2．
20．（8分）已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β．
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝ 20 °，β＝ 10 °．
②求α，β之间的关系式．
（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．
【分析】（1）①先利用等腰三角形的性质求出∠DAE，进而求出∠BAD，即可得出结论；
②利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；
（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，同（1）的方法即可得出结论；
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，同（1）的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD＝AE，∠ADE＝70°，
∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，
∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，
∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，
故答案为：20，10；
②设∠ABC＝x，∠AED＝y，
∴∠ACB＝x，∠AED＝y，
在△DEC中，y＝β+x，
在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，
∴α＝2β；
（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，
如图1
设∠ABC＝x，∠ADE＝y，
∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，
在△ABD中，x+α＝β﹣y，
在△DEC中，x+y+β＝180°，
∴α＝2β﹣180°，
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，
如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．
21．（8分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；
（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．
【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．
根据题意，得，，
解得 x＝40．
经检验，x＝40是原方程的解．
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
（2）甲乙两种商品的销售量为50．
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，
解得 a≥20．
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
22．（10分）根据以下10个乘积，回答问题：
11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．
（1）将以上各乘积分别写成“a2﹣b2”（两数平方）的形式，将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（2）用含有a，b的式子表示（1）中的一个一般性的结论（不要求证明）；
（3）根据（2）中的一般性的结论回答下面问题：某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有两种方案方案：第一次提价p%，第二次提价q%；方案2：第一、二次提价均为%，其中p≠q，比较哪种方案提价最多？
【分析】（1）根据题目中的式子和平方差公式可以解答本题；
（2）根据（1）中的计算结果，可以写出相应的结论；
（3）根据（2）中的结论可以解答本题．
【解答】解：（1）11×29＝（20﹣9）×（20+9）＝202﹣92，
12×28＝（20﹣8）×（20+8）＝202﹣82，
13×27＝（20﹣7）×（20+7）＝202﹣72，
14×26＝（20﹣6）×（20+6）＝202﹣62
15×25＝（20﹣5）×（20+5）＝202﹣52，
16×24＝（20﹣4）×（20+4）＝202﹣42
17×23＝（20﹣3）×（20+3）＝202﹣32，
18×22＝（20﹣2）×（20+2）＝202﹣22，
19×21＝（20﹣1）×（20+1）＝202﹣12，
20×20＝（20+0）×（20﹣0）＝202﹣02，
11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20；
（2）对于：ab，当|b﹣a|越大时，ab的值越小；
（3）设原价为a，则
方案1：a（1+p%）（1+q%）
方案2：a（1）2
∵|1+p%﹣（1+q%）|＝|（p﹣q）%|，
|1（1）|＝0，
∵p≠q，
∴|（p﹣q）%|＞0，
∴由（2）的结论可知：
方案2提价最多．
23．（10分）如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作两个等边三角形△ABD，△ACE．连接BE、CD交点F，连接AF．
（1）求证：△ACD≌△AEB；
（2）求证：AF+BF+CF＝CD．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAB＝60°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，延长FB至K，使FK＝DF，连DK，根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵△ABD和△ACE为等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAB＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE＝60°+∠BAC，
∴在△ACD和△AEB中
∴△ACD≌△AEB（SAS）；
（2）由（1）知∠CDA＝∠EBA，
如图∠1＝∠2，
∴180°﹣∠CDA﹣∠1＝180°﹣∠EBA﹣∠2，
∴∠DAB＝∠DFB＝60°，
如图，延长FB至K，使FK＝DF，连DK，
∴△DFK为等边三角形，
∴DK＝DF，
∴△DBK≌△DAF（SAS），
∴BK＝AF，
∴DF＝DK，FK＝BK+BF，
∴DF＝AF+BF，
又∵CD＝DF+CF，
∴CD＝AF+BF+CF．
24．（12分）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝DB，DB⊥AC．
①直接写出∠ADC的大小；
②求证：AB2+BC2＝AC2．
迁移应用：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝BC＝CD＝DA＝2，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE、CF．
①求证：△CEF是等边三角形；
②若∠BAF＝45°，求BF的长．
【分析】问题背景①利用等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．
②利用面积法解决问题即可．
迁移应用①如图2中，连BD，BE，DE．证明EF＝FC，∠CEF＝60°即可解决问题．
②过B作BH⊥AE于H，设BH＝AH＝BH＝x，利用面积法求解即可．
【解答】问题背景：解：①∵BC＝BD＝BA，BD⊥AC，
∴∠CBD＝∠ABD∠ABC＝45°，
∴∠BCD＝∠BDC（180°﹣45°）＝67.5°，∠BDA＝∠BAD＝67.5°，
∴∠ADC＝∠BDC+∠BDA＝135°．
②如图1中，
设AB＝BC＝a．
∴S△ABC
∵BE⊥AC，∠BCA＝∠BAC＝45°
∴BE＝AE＝CE
∵S△ABC
∴a2AC2
2a2＝AC2
∴AB2+BC2＝AC2
迁移应用：①证明：如图2中，连BD，BE，DE．
∵AD＝AB＝BC＝CD＝2
∴△ABD≌△BCD（SSS）
∴∠BAD＝∠BCD
∵∠BAD＝60°
∴△ABD和△CBD为等边三角形
∵C沿BM对称得E点
∴BM垂直平分CE
∴设∠CBF＝∠EBF＝α，EF＝CF
∴∠BEC＝90°﹣α
∴∠ABE＝120°﹣2α
∴∠BAE＝∠BEA＝30°+α
∴∠AEC＝120°
∴∠CEF＝60°
∴△CEF为等边三角形
②解：易知∠BFH＝30°
当∠BAF＝45°时，
△ABE为等腰直角三角形
过B作BH⊥AE于H
∴设BH＝AH＝BH＝x
∴S△ABE⋅2x⋅x＝x2
S△ABE⋅2x⋅x＝2
∴x2＝2，即x
∵BF＝2BH
∴BF＝2
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日期：2020/12/8 12:59:17；用户：熊文学；邮箱：13995874252；学号：38486437