2022高考数学一轮复习课时规范练55极坐标方程与参数方程（含解析）

课时规范练55　极坐标方程与参数方程

基础巩固组

1.(2019江苏,21)在极坐标系中,已知两点A,B,直线l的方程为ρsin=3.

(1)求A,B两点间的距离;

(2)求点B到直线l的距离.

2.(2020湖南长郡中学四模,理22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),将直线6x-y-21=0上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标缩短到原来的倍得到直线l'.

(1)求直线l'的普通方程;

(2)设P为曲线C上的动点,求点P到直线l'的距离的最小值及此时点P的坐标.

3.(2020全国3,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1),C与坐标轴交于A,B两点.

(1)求|AB|;

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.

4.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:(α为参数),在以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρcos=-2.

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;

(2)求曲线C与直线l交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

5.(2020河北唐山一模,文22)在极坐标系中,圆C:ρ=4sin θ, 直线l:ρcos θ=2.以极点O为坐标原点,以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.

(1)求圆C的参数方程,直线l的直角坐标方程;

(2)点A在圆C上,AB⊥l于点B,记△OAB的面积为S,求S的最大值.

6.(2019全国2,理22)在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.

(1)当θ0=时,求ρ0及l的极坐标方程;

(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.

综合提升组

7.(2020河北保定一模,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(α为参数),M是C1上的动点,点P满足=2,且其轨迹为C2.

(1)求C2的直角坐标方程;

(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线OE与C1,C2的交点分别为A,B(均异于O),求线段AB中点Q的轨迹的极坐标方程.

8.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是.

(1)求曲线C的直角坐标方程;

(2)设过点P(1,0)且倾斜角为45°的直线l和曲线C交于两点A,B,求|PA|+|PB|的值.

创新应用组

9.(2020江苏,21)在极坐标系中,已知点A在直线l:ρcos θ=2上,点B在圆C:ρ=4sin θ上(其中ρ≥0,0≤θ<2π).

(1)求ρ1,ρ2的值;

(2)求出直线l与圆C的公共点的极坐标.

10.在平面直角坐标系xOy中,已知倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数),点P的坐标为(-2,0).

(1)当cos α=时,设直线l与曲线C交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值;

(2)若点Q在曲线C上运动,点M在线段PQ上运动,且=2,求动点M的轨迹的参数方程,并把参数方程化为普通方程.

参考答案

课时规范练55　极坐标

方程与参数方程

1.解(1)设极点为O.在△OAB中,A,B,

由余弦定理,得AB=

=.

(2)因为直线l的方程为ρsinθ+=3,则直线l过点,倾斜角为.

又B,所以点B到直线l的距离为(3)×sin=2.

2.解(1)设直线l'上的点为(x',y'),由题可知

代入6x-y-21=0,得3x'-3y'-21=0,即x'-y'-7=0,因此直线l'的普通方程为x-y-7=0.

(2)点P(2cosα,2sinα)到直线l'的距离

d=

=,

所以当α=-+2kπ(k∈Z)时,dmin=,此时P(3,-1).

3.解(1)因为t≠1,由2-t-t2=0得t=-2,所以C与y轴的交点为(0,12);由2-3t+t2=0得t=2,所以C与x轴的交点为(-4,0).

故|AB|=4.

(2)由(1)可知,直线AB的直角坐标方程为=1,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入,得直线AB的极坐标方程3ρcosθ-ρsinθ+12=0.

4.解(1)曲线C化为普通方程为x2+(y-1)2=1,

由ρcos=-2,得ρcosθ-ρsinθ=-2,所以直线的直角坐标方程为x-y+2=0.

(2)C的普通方程为x2+y2-2y=0,联立

解得所以交点的极坐标为.

5.解(1)由题意得x=ρcosθ,

所以直线l的直角坐标方程为x=2.

又因为ρ2=x2+y2,y=ρsinθ,

所以圆C的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,从而圆C的参数方程为(α为参数).

(2)设A(2cosα,2+2sinα),0<α<2π,则B(2,2+2sinα).

所以S=2(1-cosα)(1+sinα)

=2sinα-2cosα-2cosαsinα+2

=(sinα-cosα)2+2(sinα-cosα)+1

=(sinα-cosα+1)2

=sinα-+12.

当α-,即α=时,S取得最大值3+2.

6.解(1)因为M(ρ0,θ0)在C上,当θ0=时,ρ0=4sin=2.

由已知得|OP|=|OA|cos=2.

设Q(ρ,θ)为l上除P的任意一点.在Rt△OPQ中,ρcosθ-=|OP|=2.

经检验,点P2,在曲线ρcosθ-=2上.所以,l的极坐标方程为ρcosθ-=2.

(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cosθ=4cosθ,即ρ=4cosθ.

因为P在线段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范围是.

所以,P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθ,θ∈.

7.解(1)(方法1)设P(x,y),则由条件知M.由于点M在C1上,

所以从而C2的参数方程为(α为参数),

消去参数得到C2的直角坐标方程为x2+(y-4)2=16.

(方法2)由即C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4.

设P(x,y),则由条件知M.

由于点M在C1上,所以2+-22=4,化简得所求的直角坐标方程为x2+(y-4)2=16.

(2)因为C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,所以将x2+y2=ρ2,y=ρsinθ代入C1的直角坐标方程得其极坐标方程为ρ=4sinθ,

同理可得曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.

设Q(ρ,θ),A(ρ1,θ),B(ρ2,θ),

则AB的中点Q的轨迹方程为ρ==6sinθ,

即AB的中点Q的轨迹极坐标方程为ρ=6sinθ.

8.解(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入,得曲线C的直角坐标方程为=1.

即=1为曲线C的直角坐标方程.

(2)依题意得直线l:y=x-1,与椭圆=1联立得3x2+4(x-1)2=12,

即7x2-8x-8=0,∴|PA|+|PB|=|AB|=|x1-x2|=.

9.解(1)由ρ1cos=2,得ρ1=4;ρ2=4sin=2,

又(0,0),即也在圆C上,因此ρ2=2或0.

(2)由得4sinθcosθ=2,所以sin2θ=1.

因为ρ≥0,0≤θ<2π,所以θ=,ρ=2.

所以公共点的极坐标为.

10.解(1)曲线C的普通方程为x2+y2=1.

当cosα=时,直线l的参数方程为(t为参数),代入曲线C的普通方程,得t2-t+3=0.

由于Δ=-12=>0,故可设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=3,

所以|PA|·|PB|=3.

(2)设Q(cosθ,sinθ),M(x,y),则由=2,得

(x+2,y)=2(cosθ-x,sinθ-y),

即即动点M的轨迹的参数方程为由参数方程消去θ得+y2=.

此即为点M的轨迹的普通方程.