2022高考数学一轮复习课时规范练41直线的倾斜角斜率与直线的方程（含解析）

课时规范练41　直线的倾斜角、斜率与直线的方程

基础巩固组

1.把直线x-y+-1=0绕点(1,)逆时针旋转15°后,所得直线l的方程是(　　)

A.y=-x B.y=x 

C.x-y+2=0 D.x+y-2=0

2.(2020上海静安区期中)设直线的斜率k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),则该直线的倾斜角α满足(　　)

A.-≤α≤

B.≤α<<α≤

C.≤α<

D.<α≤

3.已知直线过A(2,4),B(1,m)两点,且倾斜角为45°,则m=(　　)

A.3 B.-3 C.5 D.-1

4.方程y=ax+b和y=bx+a表示的直线可能是(　　)

5.点(5,2)到直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5的距离的最大值为(　　)

A. B.2 C. D.2

6.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为(　　)

A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0

C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0

7.过点(5,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是(　　)

A.2x+y-12=0

B.2x+y-12=0或2x-5y=0

C.x-2y-1=0

D.x-2y-1=0或2x-5y=0

8.已知点(1,-2)和在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

9.(2020河南郑州期末)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为(　　)

A.2x-4y-3=0 B.2x+4y+3=0

C.4x-2y-3=0 D.2x+4y-3=0

10.(2020山东德州高三模拟)已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),则的最大值为　　　　　,最小值为　　　　　. 

11.直线l过点(-2,2)且与x轴、y轴分别交于点(a,0),(0,b),若|a|=|b|,则直线l的方程为.

12.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为　　　　　. 

综合提升组

13.直线xsin+ycos+1=0的倾斜角α是(　　)

A. B. C. D.

14.若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

15.(2020山东日照高三段考)已知直线l过点P(2,-1),在x轴、y轴上的截距分别为a,b,且满足a=3b,则直线l的方程为　　　　　　　　. 

16.(2020海南琼州中学模拟)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).

(1)求证:直线l过定点;

(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;

(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值,并求此时直线l的方程.

创新应用组

17.已知点A(-2,0),点P(x,y)满足x+y=sinθ+,x-y=sin,则直线AP的斜率的取值范围为(　　)

A. B.[-]

C. D.[-2,2]

18.(2020浙江高三月考)已知实数k1<0<k2<k3,若三条直线l1:y=k1x,l2:y=k2x+1,l3:y=k3(x-1)围成的三角形面积为4,则的最大值是(　　)

A. B. C. D.

参考答案

课时规范练41　直线的倾斜角、

斜率与直线的方程

1.B　已知直线的斜率为1,则其倾斜角为45°,绕点(1,)逆时针旋转15°后,得到的直线l的倾斜角α=45°+15°=60°,直线l的斜率为tanα=tan60°=,

∴直线l的方程为y-(x-1),即y=x.

2.B　因为k=tanα,所以当k≤-1时,<α≤,当k≥1时,≤α<,即直线的倾斜角α满足≤α<<α≤.故选B.

3.A　∵直线过A(2,4),B(1,m)两点,∴直线的斜率为=4-m.又直线的倾斜角为45°,∴直线的斜率为1,即4-m=1,∴m=3.故选A.

4.D　根据题意,依次分析选项:对于A,对于y=ax+b,图象经过第一、二、三象限,则a>0,b>0,y=bx+a也要经过第一、二、三象限,所以A选项错误;

对于B,同理A,可得B选项错误;

对于C,对于y=ax+b,图象经过第二、三、四象限,则a<0,b<0,y=bx+a也要经过第二、三、四象限,所以C选项错误;

对于D,对于y=ax+b,图象经过第一、三、四象限,则a>0,b<0,y=bx+a要经过第一、二、四象限,符合题意;故选D.

5.B　化简(m-1)x+(2m-1)y=m-5可得m(x+2y-1)-(x+y-5)=0,

由

所以(m-1)x+(2m-1)y=m-5过定点(9,-4),

点(5,2)到直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5的距离的最大值就是点(5,2)与点(9,-4)的距离,即为=2,故选B.

6.B　解法1:直线过点P(1,4),代入选项,排除A,D,又在两坐标轴上的截距均为正,排除C.故选B.

解法2:设所求直线方程为=1(a>0,b>0),将(1,4)代入得=1,a+b=(a+b)=5+≥9,当且仅当b=2a,即a=3,b=6时等号成立,此时截距之和最小,所以直线方程为=1,即2x+y-6=0.

7.B　设所求直线在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为2a,

①当a=0时,所求直线经过点(5,2)和(0,0),所以该直线方程为y=x,即2x-5y=0;②当a≠0时,设所求直线方程为=1,又直线过点(5,2),所以=1,解得a=6,所以该直线方程为=1,即2x+y-12=0.故选B.

8.D　设直线l的倾斜角为θ∈[0,π),点A(1,-2),B,0.

直线l:ax-y-1=0(a≠0)经过定点P(0,-1).kPA==-1,kPB=.∵点(1,-2)和,0在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,

∴kPA<a<kPB,∴-1<tanθ<,tanθ≠0.

解得0<θ<<θ<π.故选D.

9.D　∵B(-1,0),C(0,2),∴线段BC的中点的坐标为,线段BC所在直线的斜率kBC=2,∴线段BC的垂直平分线的方程为y-1=-,即2x+4y-3=0.∵AB=AC,∴△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上,

∴△ABC的欧拉线方程为2x+4y-3=0.故选D.

10.8　　

如图,作出y=x2-2x+2(-1≤x≤1)的图象,即曲线段AB,则表示定点P(-2,-3)与曲线段AB上任意一点(x,y)的连线的斜率k.连接PA,PB,由图可知kPA≤k≤kPB.

易得A(1,1),B(-1,5),则kPA=,kPB==8,所以≤k≤8.故的最大值为8,最小值为.

11.x+y=0或x-y+4=0　若a=b=0,则直线l过(0,0)与(-2,2)两点,直线l的斜率k=-1,直线l的方程为y=-x,即x+y=0.

若a≠0,b≠0,则直线l的方程为=1,由题意知解得此时,直线l的方程为x-y+4=0.故直线l的方程为x+y=0或x-y+4=0.

12.16　根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为=1,又C(-2,-2)在该直线上,故=1,

所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.

根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4,从而≤0(舍去)或≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时等号成立.即ab的最小值为16.

13.B　xsin+ycos+1=0,则tanα=-=-=-1.

因为直线倾斜角的范围为[0°,180°),

∴α=,故选B.

14.C　设直线l的截距式为=1,∵直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,

∴=1,|ab|=2,解得∴直线l的条数为3.

15.x+2y=0或x+3y+1=0　若a=0,则直线l过原点(0,0),

此时直线l的斜率k=-,故直线l的方程为x+2y=0.

若a≠0,则设直线l的方程为=1,即=1.

因为点P(2,-1)在直线l上,所以=1,解得b=-.

从而直线l的方程为x+3y+1=0.

综上可知,直线l的方程为x+2y=0或x+3y+1=0.

16.(1)证明直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0.

由解得故无论k取何值,直线l恒过定点(-2,1).

(2)解直线l的方程可化为y=kx+1+2k.

当k≠0时,要使直线l不经过第四象限,

则有解得k>0.

当k=0时,直线l的方程为y=1,显然符合题意.

综上,k的取值范围是[0,+∞).

(3)解依题意,A,B(0,1+2k),且解得k>0.

所以S=|OA|·|OB|=·|1+2k|=×(2×2+4)=4,

当且仅当4k=,即k=时,等号成立.所以Smin=4,

此时直线l的方程为x-2y+4=0.

17.A　由故x2+y2=1,即点P(x,y)的轨迹方程是x2+y2=1.过点A向圆作切线,两切线的斜率分别为,-,由图(图略)可知,k∈,故选A.

18.B　设l1与l2相交于点A,l1与l3相交于点B,l2与l3相交于点C,如图所示.

由

解得

即C;

由解得即A;

由解得

即B,

因此点C到直线l1:y=k1x的距离为d=,

又这三条直线围成的三角形面积为4,所以4=S△ABC=|AB|·d=·

=·

=

=

=,

因为k1<0<k2<k3,

所以

=

≥,

当且仅当(k3-k1)=k3(k2-k1)时,等号成立;

所以4≥,即4k3-4k2≥2k3,

即2k3-4k2≥0,即,

即的最大值是.故选B.