2022高考数学一轮复习课时规范练45椭圆（含解析）

课时规范练45　椭圆

基础巩固组

1.已知椭圆=1的两个焦点F1,F2,M是椭圆上一点,|MF1|-|MF2|=1,则△MF1F2是(　　)

A.钝角三角形 B.直角三角形 

C.锐角三角形 D.等边三角形

2.(2020陕西汉中高三模拟)已知椭圆=1(m>0)的焦距为2,则m的值等于(　　)

A.5 B.5或3

C.3 D.8

3.(2020广东惠州调研)设F1,F2为椭圆=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为(　　)

A. B. C. D.

4.椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的一条直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF2的内切圆面积为π,且A(x1,y1),B(x2,y2),则|y1-y2|=(　　)

A. B. C. D.

5.(2020北京人大附中二模,9)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(　　)

A.+y2=1 B.=1

C.=1 D.=1

6.(2020山东济南三模,15)已知F1,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A,B是椭圆上关于x轴对称的两点,AF2的中点P恰好落在y轴上,若=0,则椭圆C的离心率的值为　　　　　. 

综合提升组

7.(2020广西重点中学联考)已知椭圆=1的焦点为F,短轴端点为P,若直线PF与圆O:x2+y2=R2(R>0)相切,则圆O的半径为(　　)

A. B.1 C. D.2

8.已知椭圆+x2=1(a>1)的离心率e=,P为椭圆上的一个动点,则P与定点B(-1,0)连线距离的最大值为              (　　)

A. B.2 C. D.3

9.(2020河北邢台模拟,理16)设A(-2,0),B(2,0),若直线y=ax(a>0)上存在一点P满足|PA|+|PB|=6,且△PAB的内心到x轴的距离为,则a=　. 

10.(2020北京丰台一模)已知双曲线M:x2-=1的渐近线是边长为1的菱形OABC的边OA,OC所在直线.若椭圆N:=1(a>b>0)经过A,C两点,且点B是椭圆N的一个焦点,则a=　　　　　. 

11.(2020北京石景山一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),离心率为.直线l过点F且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.

(1)求椭圆C的方程;

(2)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;

(3)延长线段OM与椭圆C交于点P,若四边形OAPB为平行四边形,求此时直线l的斜率.

12.(2020河北石家庄二模,文20)已知点A(2,0),椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,F和B分别是椭圆C的左焦点和上顶点,且△ABF的面积为.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设过点A的直线l与C相交于P,Q两点,当时,求直线l的方程.

创新应用组

13.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,点P为椭圆上一点,∠F1PF2=90°,△F1PF2的面积为1.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设点B为椭圆的上顶点,过椭圆内一点M(0,m)的直线l交椭圆于C,D两点,若△BMC与△BMD的面积比为2∶1,求实数m的取值范围.

14.(2020全国3,文21)已知椭圆C:=1(0<m<5)的离心率为,A,B分别为C的左、右顶点.

(1)求C的方程;

(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.

参考答案

课时规范练45　椭圆

1.B　由题意|MF1|+|MF2|=4,

又|MF1|-|MF2|=1,联立后可解得|MF1|=,|MF2|=,又|F1F2|=2c=2=2,∵22+,∴MF2⊥F1F2,∴△MF1F2是直角三角形.故选B.

2.B　焦距2c=2,所以c=1.当m>4时,m-4=1,m=5;当0<m<4时,4-m=1,m=3.综上所述,m=5或m=3.故选B.

3.D　如图,设线段PF1的中点为M,因为O为F1F2的中点,所以OM∥PF2,由题意可得PF2⊥x轴,易得|PF2|=,|PF1|=2a-|PF2|=.故选D.

4.B　∵椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,过焦点F1的直线交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,△ABF2的内切圆的面积为π,

∴△ABF2内切圆半径r=1,×1×(AB+AF2+BF2)=2a=10.

∵|y1-y2|×2c=|y1-y2|×2×3=10,

∴|y1-y2|=.故选B.

5.B　(方法1)如图,由已知可设|F2B|=n,

则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n,由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,

∴|AF1|=2a-|AF2|=2n.在△AF1B中,由余弦定理推论得cos∠F1AB=.

在△AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n2-2·2n·2n·=4,解得n=.

∴2a=4n=2,∴a=,∴b2=a2-c2=3-1=2,∴椭圆方程为=1.故选B.

(方法2)由已知可设|F2B|=n,则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n,由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,

∴|AF1|=2a-|AF2|=2n.在△AF1F2和△BF1F2中,由余弦定理得

又∠AF2F1+∠BF2F1=180°,

∴cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,两式消去cos∠AF2F1,cos∠BF2F1,得3n2+6=11n2,解得n=.

∴2a=4n=2,∴a=,∴b2=a2-c2=3-1=2,∴椭圆方程为=1.故选B.

6.　由AF2的中点P恰好落在y轴上,可得AB过左焦点F1且AB⊥F1F2,

则A-c,,B-c,-.

因为P是AF2的中点,则P.

又F2(c,0),则.

因为=0,则2c2-=0,

即2c=.

又b2=a2-c2,则2ac=(a2-c2),等号左右两边同除a2,

即e2+2e-=0,解得e=,或e=-(舍去).

所以椭圆C的离心率的值为.

7.B　因为椭圆=1,不妨设F(,0),P(0,),所以PF的方程为x+y-=0,

因为直线PF与圆O:x2+y2=R2(R>0)相切,所以圆心到直线的距离等于圆的半径,

即R=d==1.故选B.

8.C　椭圆+x2=1(a>1)的离心率e=,可得,解得a=,则椭圆方程为+x2=1.设P(cosθ,sinθ),则P与定点B(-1,0)连线距离为

=

=

=,

当cosθ=时,取得最大值.故选C.

9.　设点P(x,y),点P满足|PA|+|PB|=6,则点P在椭圆=1上.

由题意可得点P为直线y=ax(a>0)与椭圆=1的交点.

联立y=ax与=1,消去y,得x2=,则y2=.

因为△APB的内心到x轴的距离为,所以△PAB的内切圆的半径r=.

所以△APB的面积为×|AB|×|y|=×r×(|AB|+|PA|+|PB|),

即|y|=r,y2=r2=,解得a2=3,又a>0,所以a=.

10.　因为OA所在直线为双曲线x2-=1的渐近线,所以kOA=,则∠AOB=60°,

所以AD=AOsin60°=,OD=AOcos60°=,则A.

因为OB=2OD=1,所以椭圆N的半焦距c=1.

设椭圆N的左焦点为F1,

则F1(-1,0),连接AF1,由椭圆的定义可得AF1+AB=2a,

即=2a,

解得a=.

11.(1)解由已知,c=1,e=,又a2=b2+c2,解得a=,b=1.

所以椭圆方程为+y2=1.

(2)证明设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),联立消去y,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=,因为M为线段AB的中点,所以xM=,yM=k(xM-1)=,

所以kOM=,所以kOM×kl=×k=-为定值.

(3)解若四边形OAPB为平行四边形,

则,

所以xP=x1+x2=,

yP=y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2-2)=,

因为点P在椭圆上,

所以+2×=2,解得k2=,即k=±,

所以当四边形OAPB为平行四边形时,直线l的斜率为k=±.

12.解(1)设F(-c,0)(c>0),由条件知B(0,b),所以△ABF的面积为(2+c)·b=, ①

由得a2=2c2,从而b2+c2=2c2,化简得b=c, ②

①②联立,解得b=c=1,

从而a=,所以椭圆C的方程为+y2=1;

(2)当l⊥x轴时,不合题意,故设l:y=k(x-2),

将y=k(x-2)代入+y2=1消去y,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.

由Δ=4(2-4k2)>0,得-<k<,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,因为,所以x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2=,从而(1+k2)-2k2+4k2=,整理得28k2=7,k=±,

所以直线l的方程为x+2y-2=0或x-2y-2=0.

13.解(1)设|PF1|=p,|PF2|=q,

由题意可得,pq=2,p2+q2=12,2a==4,

所以a=2,b2=a2-c2=4-3=1,

所以椭圆的标准方程为+y2=1.

(2)由题意知,直线l的斜率必存在,设为k(k≠0),

设直线l的方程为y=kx+m,C(x1,y1),D(x2,y2),

因为△BMC与△BMD的面积比为2∶1,所以|CM|=2|DM|,则有x1=-2x2,联立

整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ>0得4k2-m2+1>0,x1+x2=,x1x2=,由x1=-2x2可求得

∴-2·.

整理得4k2=.

由k2>0,4k2-m2+1>0可得>0,<m2<1,

解得<m<1或-1<m<-.

14.解(1)由题设可得,得m2=,所以C的方程为=1.

(2)设P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ>0,由题意知yP>0.

由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-(x-5),

所以|BP|=yP,|BQ|=.

因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.

由直线BP的方程得yQ=2或8.

所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).

|P1Q1|=,直线P1Q1的方程为y=x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为,故△AP1Q1的面积为.

|P2Q2|=,直线P2Q2的方程为y=x+,点A到直线P2Q2的距离为,故△AP2Q2的面积为.

综上,△APQ的面积为.