2022高考数学一轮复习课时规范练43圆的方程（含解析）

课时规范练43　圆的方程

基础巩固组

1.已知圆x2+y2+kx+2y+k2=0,当圆的面积最大时,圆心的坐标是(　　)

A.(-1,1) B.(1,-1) C.(-1,0) D.(0,-1)

2.(2020山东滨州期末)已知圆的方程为x2+y2-6x=0,过点P(1,2)的该圆的所有弦中,最短弦的长为(　　)

A. B.1 C.2 D.4

3.(2020河北五个一名校联盟一诊)已知点P为圆C:(x-1)2+(y-2)2=4上一点,A(0,-6),B(4,0),则||的最大值为(　　)

A.+2 B.+4

C.2+4 D.2+2

4.圆心在x+y=0上,且与x轴交于点A(-3,0)和B(1,0)的圆的方程为(　　)

A.(x+1)2+(y-1)2=5 B.(x-1)2+(y+1)2=

C.(x-1)2+(y+1)2=5 D.(x+1)2+(y-1)2=

5.如果圆(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)上总存在一点到原点的距离为3,则实数a的取值范围为(　　)

A.[,2] B.[,2]

C.[1,] D.[1,2]

6.(2020广东广州期中)圆x2+y2-2x+4y-3=0上到直线x+y+3=0的距离为的点的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

7.(2020北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

8.设点P是函数y=-图象上的任意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为　　　　　. 

9.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为　　　　　　　　　　　　　　　. 

10.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.

(1)求圆C1的圆心坐标;

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.

综合提升组

11.设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是(　　)

A.[-1,1] B.-

C.[-] D.-

12.(2020福建厦门一模)在△ABC中,AB=4,AC=2,A=,动点P在以点A为圆心,半径为1的圆上,则的最小值为　　　　　. 

13.(2020山东聊城期中)已知曲线方程为x2+y2-2x-4y+m=0.

(1)若此曲线是圆,求m的取值范围;

(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O是坐标原点),求m的值.

创新应用组

14.(2020安徽安庆三环高中月考)过动点P作圆:(x-3)2+(y-4)2=1的切线PQ,其中Q为切点,若|PQ|=|PO|(O为坐标原点),则|PQ|的最小值是　　　　　. 

15.点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a,b∈R+,则的最小值为　　　　　. 

参考答案

课时规范练43　圆的方程

1.D　当圆的半径最大时,圆的面积最大,已知圆的一般方程x2+y2+kx+2y+k2=0,其圆心为,半径为r=,可知当k=0时,r取最大值,即圆的面积最大时,圆心的坐标为(0,-1),故选D.

2.C　由x2+y2-6x=0,得(x-3)2+y2=9,所以圆心坐标为(3,0),半径为3.如图所示,

当过点P(1,2)的直线与连接P与圆心的直线垂直时,弦AB最短,则最短弦长为2=2.

3.C　取AB的中点D(2,-3),则=2,||=|2|,||的最大值为圆心C(1,2)与D(2,-3)的距离d再加半径r,又因为d=,

所以d+r=+2.

所以|2|的最大值为2+4.即||的最大值为+2.故选C.

4.A　由题意得,圆心在直线x=-1上,又圆心在直线x+y=0上,∴圆心M的坐标为(-1,1).又A(-3,0),半径|AM|=,

则圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选A.

5.B　(x-a)2+(y-a)2=1(a>0),圆心为(a,a),半径为1,圆心到原点的距离为a,如果圆(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)上总存在一点到原点的距离为3,即圆心到原点的距离d∈[2,4],即2≤a≤4⇒≤a≤2,故选B.

6.D　圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=8,表示以C(1,-2)为圆心,以2为半径的圆.

圆心到直线x+y+3=0的距离为d=,

故圆x2+y2-2x+4y-3=0上到直线x+y+3=0的距离为的点共有4个.

7.A　设圆心C(x,y),则=1,化简得(x-3)2+(y-4)2=1,

所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,以1为半径的圆,

所以|OC|+1≥|OM|,又|OM|==5,所以|OC|≥4,

当且仅当C在线段OM上时,等号成立.故选A.

8.-2　函数y=-的图象表示圆(x-1)2+y2=4在x轴上及下方的部分,令点Q的坐标为(x,y),则

得y=-3,即x-2y-6=0,作出图象如图所示,由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d=>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,因此|PQ|的最小值是-2.

9.x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1))　设C(x,y),根据在等腰三角形中|AB|=|AC|,可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x2+y2=2.

考虑到A,B,C三点要构成三角形,因此点C不能为(1,1)和(-1,-1).

所以点C的轨迹方程为x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)).

10.解(1)由x2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).

(2)设点M(x,y),因为点M为线段AB的中点,所以C1M⊥AB,

所以·kAB=-1,当x≠3时,可得=-1,

整理得+y2=,

又当直线l与x轴重合时,M点坐标为(3,0),代入上式成立.

设直线l的方程为y=kx,与x2+y2-6x+5=0联立,消去y,得(1+k2)x2-6x+5=0.

令其判别式Δ=(-6)2-4(1+k2)×5=0,得k2=,此时方程为x2-6x+5=0,解得x=,因此<x≤3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为+y2=<x≤3.

11.

A　如图所示,设点A(0,1)关于直线OM的对称点为P,则点P在圆O上,

且MP与圆O相切,而点M在直线y=1上运动,圆上存在点N使∠OMN=45°,

则∠OMN≤∠OMP=∠OMA,

∴∠OMA≥45°,∴∠AOM≤45°.

当∠AOM=45°时,x0=±1.

∴结合图象知,当∠AOM≤45°时,-1≤x0≤1,∴x0的取值范围为[-1,1].故选A.

12.5-2　

如图,以A为原点,AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则点A(0,0),B(4,0),C(1,).

设点P(x,y),则=(4-x,-y),=(1-x,-y),所以=(4-x)(1-x)-y(-y)=x2-5x+y2-y+4=-3.则表示圆A上的点P与点M之间的距离|PM|的平方,由几何图形可得|PM|min=|AM|-1=-1=-1,所以的最小值为(-1)2-3=5-2.

13.解(1)曲线方程为x2+y2-2x-4y+m=0.

整理,得(x-1)2+(y-2)2=5-m,

因为此曲线是圆,所以5-m>0,

解得m<5.

即m的取值范围是(-∞,5).

(2)设直线x+2y-4=0与圆:x2+y2-2x-4y+m=0的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).

则整理,得5y2-16y+8+m=0,

Δ=162-20(8+m)>0,得m<.

则y1+y2=,y1y2=,

由OM⊥ON(O为坐标原点),得x1x2+y1y2=0,

又因为x1=4-2y1,x2=4-2y2,

所以(4-2y1)(4-2y2)+y1y2=5y1y2-8(y1+y2)+16=0,

将y1+y2=,y1y2=代入上式,可得m=,符合Δ>0,故m的值为.

14.　根据题意,设P的坐标为(m,n),圆(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为N,则N(3,4),

PQ为圆(x-3)2+(y-4)2=1的切线,则有|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1,又由|PQ|=|PO|,可得|PN|2=|PO|2+1,

即(m-3)2+(n-4)2=m2+n2+1,整理,得6m+8n=24,即P在直线6x+8y=24上,则|PQ|的最小值即为点O到直线6x+8y=24的距离,且d=,

即|PQ|的最小值是.

15.1　曲线C可整理为(x-2)2+y2=25,则曲线C表示圆心为(2,0),半径为5的圆,t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,设d=,则d表示圆上的点到(-6,6)的距离,则dmax=+5=15,∴tmax=152-222-a=b,整理得a+1+b=4,

∴(a+1+b)=×1++1.

又≥2=2当且仅当,即a=1,b=2时取等号,∴×4=1,即的最小值为1.