全国统考2022版高考数学大一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第2讲函数的基本性质2备考试题（含解析）

第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ

第二讲　函数的基本性质

1.[2021江西红色七校第一次联考]下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是 (　　)

A.y=cos x B.y=x2 C.y=ln|x| D.y=e-|x|

2.[2021湖北省四地七校联考]若函数f(x)=sin x·ln(mx+)的图象关于y轴对称,则m= (　　)

A.2  B.4  C.±2  D.±4

3.[2020郑州三模]若函数f(x)=在(-∞,+∞)上是单调函数,则a的取值范围是 (　　)

A.[1,+∞) B.(1,3]

C.[,1) D.(1,2]

4.[2021广州市阶段模拟]已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=x3+x2+a,则g(2)= (　　)

A.-4 B.4 C.-8 D.8

5.[2021长春市第一次质量监测]定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+5),当x∈[-2,0)时,f(x)=-(x+2)2,当x∈[0,3)时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+…+f(2 021)=              (　　)

A.809 B.811 C.1 011 D.1 013

6.[2021陕西省部分学校摸底检测]已知函数f(x)=是偶函数,则函数f(x)的最大值为 (　　)

A.1 B.2 C. D.3

7.[2021济南名校联考]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),y=f(x+3)为偶函数,若f(x)在(0,3)上单调递减,则下面结论正确的是              (　　)

A.f()<f()<f(ln 2)

B.f()<f(ln 2)<f()

C.f(ln 2)<f()<f()

D.f(ln 2)<f()<f()

8.[2020陕西省百校联考]函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,若f(-2)=1,则满足f(x-2)≤1的x的取值范围是              (　　)

A.[-2,2] 

B.(-∞,-2]∪[2,+∞)

C.(-∞,0]∪[4,+∞) 

D.[0,4]

9.[2020江苏苏州初调]若y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=则f(--5)=　　　　. 

10.函数f(x)=x3-3x2+5x-1图象的对称中心为　　　　. 

11.[2021蓉城名校联考]已知函数f(x)=x+cosx,x∈R,设a= f(0.3-1), b= f(2-0.3),c= f(log20.2),则 (　　)

A.b<c<a B.c<a<b C.b<a<c D.c<b<a 

12.[2021辽宁葫芦岛第二次测试]已知y=f(x-1)是定义在R上的偶函数,且y=f(x)在[-1,+∞)上单调递增,则不等式f(-2x-1-1)<f(3)的解集为              (　　)

A.(2,+∞) B.(3,+∞)

C.(-∞,2) D.(-∞,3)

13.已知f(x)是定义在(1,+∞)上的增函数,若对于任意x,y∈(1,+∞),均有f(x)+f(y)=f(2x+y),f(2)=1,则不等式f(x)+f(x-1)-2≥0的解集为              (　　)

A.[,+∞) B.(,+∞)

C.[1,] D.(2,]

14.[2020长春市质量监测]已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(2+x)+f(x)=0,当x∈[-2,0]时,f(x)=-x2-2x,则当x∈[4,6]时,y=f(x)的最小值为              (　　)

A.-8 B.-1 C.0 D.1

15.[2020广东七校联考]已知定义在R上的偶函数y=f(x+2),其图象是连续的,当x>2时,函数y=f(x)是单调函数,则满足f(x)=f(1-)的所有x之积为              (　　)

A.3 B.-3 C.-39 D.39

16.[原创题]设增函数f(x)=的值域为R,若不等式f(x)≥x+b的解集为{x|c≤x≤e},则实数c的值为 (　　)

A. B. 

C. D.

答 案

第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ

第二讲　函数的基本性质

1.D　函数y=cos x是偶函数且是周期为2π的周期函数,所以y=cos x在(0,+∞)上不具有单调性,所以A选项不符合题意;函数y=x2为偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,所以B选项不符合题意;函数y=ln|x|=为偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,所以C选项不符合题意;函数y=e-|x|=为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,所以D选项符合题意.故选D.

【归纳总结】　若函数y=f(|x|)的定义域关于原点对称,则函数y=f(|x|)一定为偶函数.

2.C　∵f(x)的图象关于y轴对称,∴f(x)为偶函数,又y=sin x为奇函数,∴y=ln(mx+)为奇函数,即ln[-mx+]+ln(mx+)=0,即ln(1+4x2-m2x2)=0,1+4x2-m2x2=1,解得m=±2.故选C.

3.B　当x>0时,f(x)=ex-x+2a,则f'(x)=ex-1>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.因为函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数.当x≤0时,f(x)=(a-1)x+3a-2是单调递增函数,所以a-1>0,得a>1.e0-0+2a≥(a-1)×0+3a-2,解得a≤3.所以1<a≤3,故选B.

4.C　依题意f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+a　①,所以f(-x)-g(-x)=-x3+x2+a,即f(x)+g(x)=-x3+x2+a　②,②-①得2g(x)=-2x3,g(x)=-x3,所以g(2)=-23=-8.故选C.

5.A　由f(x)=f(x+5)可知f(x)的周期为5,又f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2,f(-1)=-1,f(-2)=0,∴f(3)=f(-2)=0,f(4)=f(-1)=-1,f(5)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=2,∴f(1)+f(2)+…+f(2 021)=f(1)+2×404=809.故选A.

6.C　解法一　因为函数f(x)=是偶函数,所以f(-x)=f(x),即,化简可得a(4x-1)=4x-1,得a=1,所以f(x)=.又cos x≤1,2x+2-x≥2,当且仅当x=0时两个“=”同时成立,所以f(x)≤.故选C.

解法二　因为函数f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),即,解得a=1,所以f(x)=.因为cos x≤1,2x+2-x≥2,当且仅当x=0时两个“=”同时成立,所以f(x)max=,故选C.

7.A　由f(x+6)=f(x)知函数f(x)是周期为6的函数.因为y=f(x+3)为偶函数,所以f(x+3)=f(-x+3),所以f()=f()=f(+3)=f(+3)=f().(题眼)(难点:利用函数的性质把自变量的取值化到同一个单调区间内)

因为1<<2,0<ln 2<1,所以0<ln 2<<3.因为f(x)在(0,3)上单调递减,所以f()<f()<f(ln 2),即f()<f()<f(ln 2),故选A.

8.D　依题意得,函数f(x)是偶函数,则f(x-2)≤1,即f(|x-2|)≤f(|-2|).由函数f(x)在[0,+∞)上单调递增得|x-2|≤2,即-2≤x-2≤2,0≤x≤4.所以满足f(x-2)≤1的x的取值范围是[0,4],故选D.

9.　因为y=f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(5)=f(+5).因为x≥1时,f(x)=f(x-1),所以f(+5)=f(+4)=…=f().又0<<1,所以f()=sin.故f(5)=.

10.(1,2)　解法一　由题意设图象的对称中心为(a,b),则2b=f(a+x)+f(a-x)对任意x均成立,代入函数解析式得,2b=(a+x)3-3(a+x)2+5(a+x)-1+(a-x)3-3(a-x)2+5(a-x)-1=2a3+6ax2-6a2-6x2+10a-2=2a3-6a2+10a-2+(6a-6)x2对任意x均成立,所以6a-6=0,且2a3-6a2+10a-2=2b,即a=1,b=2,即f(x)的图象的对称中心为(1,2).

解法二　由三次函数对称中心公式可得,f(x)的图象的对称中心为(1,2).

【方法技巧】　三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其图象的对称中心为(,f()).

11.D　f(x)=x+cosx,则f'(x)=1-sin x≥0,所以f(x)在R上单调递增,又log20.2<2-0.3<1<0.3-1=,所以f(log20.2)<f(2-0.3)<f(),即c<b<a.

12.D　由题可知y=f(x-1)的图象关于y轴对称.因为y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到y=f(x-1)的图象,所以y=f(x)的图象关于直线x=-1对称.因为y=f(x)在[-1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减.所以|-2x-1-1-(-1)|<|3-(-1)|,即0<2x-1<4,解得x<3,所以原不等式的解集为(-∞,3),故选D.

13.A　根据f(x)+f(y)=f(2x+y),f(2)=1,可得2=1+1=f(2)+f(2)=f(24),所以f(x)+f(x-1)-2≥0得f(22x-1)≥f(24).又f(x)是定义在(1,+∞)上的增函数,所以 解得x≥.所以不等式f(x)+f(x-1)-2≥0的解集为[,+∞).

14.B　由f(2+x)+f(x)=0,得函数f(x)是以4为周期的周期函数.设x∈[0,2],则-x∈[-2,0],f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2+2x.因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x2-2x=(x-1)2-1,当x=1时,f(x)取得最小值-1.由周期函数的性质知,当x∈[4,6]时,y=f(x)的最小值是-1,故选B.

15.D　因为函数y=f(x+2)是偶函数,所以函数y=f(x)图象关于x=2对称,因为f(x)在(2,+∞)上单调,所以f(x)在(-∞,2)上也单调,所以要使f(x)=f(1),则x=1或4-x=1.由x=1,得x2+3x-3=0,Δ1>0,设方程的两根分别为x1,x2,则x1x2=-3;由4-x=1,得x2+x-13=0,Δ2>0,设方程的两根分别为x3,x4,则x3x4=-13.所以x1x2x3x4=39.故选D.

16.A　当x>1时,f(x)为增函数,且f(x)∈(0,+∞),

当0<x≤1时,=a≤a-1,即f(x)∈(-∞,a-1].

因为f(x)为增函数,所以a-1≤0,则a≤1,又函数f(x)的值域为R,所以a-1≥0,即a≥1,从而a=1,函数f(x)=

因为不等式f(x)≥x+b的解集为{x|c≤x≤e},易知ln x=x+b的解为x=e,所以b=1-e,当x=1时,x+b=1+1-e=2-e<0=f(1),故0<c<1.令=x+1-e,得x2-ex+1=0,从而x=,则c=,故选A.