人教版新课标A选修1-13.4生活中的优化问题举例练习

3.4 生活中的优化问题举例

[A组　学业达标]

1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)

A．8　　　　　　　　 B.

C．－1  D．－8

解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.

答案：C

2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为(　　)

A.   B.

C.  D．2

解析：设底面边长为x，

则表面积S＝x2＋V(x>0)．

∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.

答案：C

3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)

A．13万件  B．11万件

C．9万件  D．7万件

解析：因为y′＝－x2＋81，

所以当x>9时，y′<0；当x∈(0,9)时，y′>0.

所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增．

所以x＝9是函数的极大值点．

又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．

答案：C

4．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为(　　)

A．6 m  B．8 m

C．4 m  D．2 m

解析：设底面边长为x m，高为h m，

则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.

S′＝2x－，

令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4 (m)．

答案：C

5．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)

A．30元  B．60元

C．28 000元  D．23 000元

解析：设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)

＝(8 300－170p－p2)(p－20)

＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，

所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.

令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．

此时，L(30)＝23 000.

因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，

所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．

答案：D

6．某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为x2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.

解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋x2＝＋x2，

令f′(x)＝x－＝0，解得x＝20.

且当0<x<20时，f′(x)<0，当x>20时f′(x)>0，故x＝20时，f(x)最小．

答案：20

7．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5 m，则当高为________m时，容器的容积最大．

解析：设高为x m，

则V＝x(x＋0.5)·

＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，x∈(0，1.6)，

所以V′＝－6x2＋4.4x＋1.6.

令V′＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)．

当0<x<1时，V′>0，当1<x<1.6时，V′<0，

所以当x＝1时，容器的容积取得最大值．

答案：1

8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.

解析：设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x(0<x<40)，S′＝－2x＋40.当0<x<20时，S′>0；

当20<x<40时，S′<0；当x＝20时，

S′＝0.所以当x＝20时，Smax＝400.

答案：20

9．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2020年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的费用，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”期间的销售量p万件与促销费用x(0≤x≤a，a为正整数)万元满足p＝3－.已知生产该批产品p万件需投入成本(10＋2p)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．

(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

(2)投入促销费用多少万元时，厂家获得的利润最大？

解析：(1)由题意知，y＝p－x－(10＋2p)＝2p－x＋10，将p＝3－代入化简，得y＝16－－x(0≤x≤a)．

(2)y′＝－1－＝

＝－＝－，

若λ>1，

当x∈(0,1)时，y′>0，所以函数y＝16－x－在(0,1)上单调递增；

当x∈(1，a)时，y′<0，所以函数y＝16－x－在(1，a)上单调递减．

所以当x＝1时，y取得极大值，也是最大值．

即投入促销费用1万元时，厂家获得利润最大．

当a≤1时，因为函数y＝16－x－在(0,1)上单调递增，所以函数y＝16－x－在[0，a]上单调递增，所以当x＝a时，函数有最大值，即投入促销费用a万元时，厂家获得的利润最大．

综上，当a>1时，投入促销费用1万元时，厂家获得利润最大；

当a≤1时，投入促销费用a万元时，厂家获得利润最大．

10．将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截才能使正方形与圆的面积之和最小？

解析：设弯成圆的一段长为x cm，则另一段长为(100－x)cm，记正方形与圆的面积之和为S(x)cm2，

则S(x)＝π2＋2(0<x<100)，

S′(x)＝－(100－x)．

令S′(x)＝0，得x＝.

当x∈时，S′(x)<0；

当x∈时，S′(x)>0.

所以函数S(x)在x＝处取得极小值，这个极小值也是函数S(x)的最小值．

故当弯成圆的一段长为cm时，正方形与圆的面积之和最小．

[B组　能力提升]

11．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元， 已知总收益r与年产量x的关系是r＝则总利润最大时，年产量是(　　)

A．100  B．150

C．200  D．300

解析：设年产量为x时，总利润为y，依题意，得

y＝

即y＝

所以y′＝

由y′＝0，得x＝300.

经验证，当x＝300时，总利润最大．

答案：D

12．横梁的强度和它的矩形横断面的高的平方与宽的乘积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则矩形横断面的高和宽分别为(　　)

A.d，d   B.d，d

C.d，d   D.d，d

解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y，由题意知，当xy2取最大值时，横梁的强度最大．

∵y2＝d2－x2，

∴xy2＝x(d2－x2)(0<x<d)．

令f(x)＝x(d2－x2)(0<x<d)，

则f′(x)＝d2－3x2.

令f′(x)＝0，

解得x＝d或x＝－d(舍去)．

当0<x<d时，f′(x)>0；

当d<x<d时，f′(x)<0.

∴当x＝d时，f(x)取得极大值，也是最大值．

∴当矩形横断面的高为d，宽为d时，横梁的强度最大．

答案：C

13．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________cm.

解析：设高为h，则底面半径r＝，0<h<20，V＝π·r2·h＝π·(400－h2) ·h＝πh－h3.

由V′＝π－πh2＝0得h2＝，h＝或h＝－(舍去)，因为当0<h<时，V′>0，当h>时，V′<0，所以当h＝时，V最大．

答案：

14.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．

解析：设CD＝x，则点C坐标为，

点B坐标为，

∴矩形ACBD的面积

S＝f(x)＝x·

＝－＋x，x∈(0,2)．

由f′(x)＝－x2＋1＝0，

得x1＝－(舍)，x2＝，

∴x∈时，f′(x)>0，f(x)是递增的，

x∈时，f′(x)<0，f(x)是递减的，

∴当x＝时，f(x)取最大值.

答案：

15．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满足关系：P＝0.1x2－3.2 ln x＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)

(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数；

(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时，所获得的利润最大？最大利润为多少？

解析：(1)由题意得，所获得的利润为

y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96ln x－90(4≤x≤12)．

(2)由(1)知，y′＝＝.

当4≤x<6时，y′>0，函数在[4,6)上为增函数；当6<x≤12时，y′<0，函数在(6,12]上为减函数，所以当x＝6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y＝20×6－3×62＋96ln 6－90＝96ln 6－78(万元)．

故当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为(96ln 6－78)万元．

16.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为y轴，x轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．

(1)求a，b的值；

(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．

解析：(1)由题意知，M点的坐标为(5,40)，

N点的坐标为(20,2.5)，代入曲线C的方程y＝，

可得解得

(2)①由(1)知曲线C的方程为

y＝(5≤x≤20)，y′＝－，

所以y′|x＝t＝－即为l的斜率．

又当x＝t时，y＝，

所以P点的坐标为，

所以l的方程为

y－＝－(x－t)．

令x＝0，得y＝；

令y＝0，得x＝t.

所以f(t)＝，

其中5≤t≤20.

②由①知f(t)＝，

其中5≤t≤20.令g(t)＝2＋2＝t2＋，

所以g′(t)＝t－＝·

＝·.因为5≤t≤20，令g′(t)<0，得5≤t<10；令g′(t)＝0，得t＝10；g′(t)>0，得10<t≤20.所以g(t)在区间[5,10)单调递减，在(10，20]单调递增．所以g(10)＝675是g(t)的极小值，也是最小值．所以当t＝10时，f(t)取得最小值，最小值为f(10)＝15.即最短长度为15.